Фактаргрупа

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Група, матэматыка
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп
Гл. таксама «Фізічны партал»


Фактаргрупа — канструкцыя, якая дае новую групу (фактаргрупу) па групе і яе нармальнай падгрупе.

Фактаргрупа групы G па нармальнай падгрупе H звычайна абазначаецца G/H.

Вызначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Няхай Gгрупа, і H — яе нармальная падгрупа. Тады на класах сумежнасці H у G

aH=\{\,ah\mid\,h\in H\}

можна ўвесці множанне:

(aH)(bH)=abH

Лёгка праверыць, што гэтае памнажэнне не залежыць ад выбару элементаў у класах сумежнасці, гэта значыць калі aH=a'H і bH=b'H, то abH=a'b'H. Гэтае множанне вызначае структуру групы на мностве класаў сумежнасці, а атрыманая група G/H называецца фактаргрупай G па H.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Тэарэма аб гомамарфізме: Для любога гомамарфізма \varphi:G\to K
G / \mathrm{Ker}\, \varphi \cong \varphi (G),
г. зн. фактаргрупа G па ядру \mathrm{Ker}\, \varphi ізаморфна яе вобразу \varphi (G) у K.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Няхай G = \mathbb{Z}, H = 2\mathbb{Z}, тады G/H ізаморфная \mathbb{Z}_2.
  • Няхай G = \mathbf{UT}_n (група нявыраджаных верхнетрохвугольных матрыц), H = \mathbf{SUT}_n (група верхніх унітрохвугольных матрыц), тады G/H ізоморфна групе дыяганальных матрыц.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — м: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.