Характарыстыка кальца

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Характары́стыка (кальца ці поля) — найменшы лік n, такі што складанне n адвольных аднолькавых элементаў кальца дасць у выніку нуль. Калі такога дадатнага ліку не існуе, тады кажуць, што кальцо мае нулявую характарыстыку.

Гэта значыць, што характарыстыка кальца R (калі яна не роўная нулю) ёсць найменшы натуральны лік n, такі што для любога элемента x з кальца R справядліва роўнасць

\underbrace{x+\cdots+x}_{n} = 0.

Характарыстыка кальца R абазначаецца як char R.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Няхай R — адвольнае кальцо. Калі існуе такі дадатны лік n, што для любога элемента r \in R выконваецца роўнасць

n\cdot r = \underbrace{r+\cdots+r}_n = 0,

то найменшы з такіх лікаў n называецца характарыстыкай кальца R і абазначаецца сімвалам \operatorname{char} R. Пры гэтым кальцо R называецца кальцом дадатнай характарыстыкі \operatorname{char} R.

Калі ж такіх лікаў n не існуе, то лічаць \operatorname{char} R = 0 і называюць R кальцом характарыстыкі нуль.

У выпадку, калі кальцо R утрымлівае адзінку, азначэнне трохі спрашчаецца. У гэтым выпадку характарыстыку звычайна вызначаюць як найменшы ненулявы лік n, такі што

n\cdot 1=0,

калі ж такога n не існуе, то характарыстыка лічыцца роўнай нулю.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі кальцо R \ne \{0\} з адзінкай і без дзельнікаў нуля мае дадатную характарыстыку n, то яна з'яўляецца простым лікам. Такім чынам, характарыстыка любога поля K ёсть альбо 0, альбо просты лік p. У першым выпадку поле K утрымлівае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю рацыянальных лікаў \mathbb{Q}, у другім выпадку поле K утрымлівае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю вылікаў \mathbb{F}_p. У абодвух выпадках гэтае падполе называецца простым полем (уключаным у K).
  • Характарыстыка любога поля — просты лік ці нуль. Характарыстыка канечнага поля заўсёды дадатная, аднак з таго, што характарыстыка поля дадатная, не вынікае, што поле канечнае. У якасці контрпрыкладаў можна прывесці поле рацыянальных функцый з каэфіцыентамі ў \mathbb{F}_p і алгебраічнае замыканне поля \mathbb{F}_p.
  • Калі Rкамутатыўнае кальцо простай характарыстыкі p, то
    (a + b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n}
для ўсіх a, b \in R, n \in \mathbb{N}. Для такіх кольцаў можна вызначыць эндамарфізм Фрабеніуса(руск.) бел..

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.