Характарыстыка кальца

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Характары́стыка (кальца ці поля) — найменшы лік n, такі што складанне n адвольных аднолькавых элементаў кальца дасць у выніку нуль. Калі такога дадатнага ліку не існуе, тады кажуць, што кальцо мае нулявую характарыстыку.

Гэта значыць, што характарыстыка кальца R (калі яна не роўная нулю) ёсць найменшы натуральны лік n, такі што для любога элемента x з кальца R справядліва роўнасць

Характарыстыка кальца R абазначаецца як char R.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Няхай — адвольнае кальцо. Калі існуе такі дадатны лік , што для любога элемента выконваецца роўнасць

то найменшы з такіх лікаў называецца характарыстыкай кальца і абазначаецца сімвалам . Пры гэтым кальцо называецца кальцом дадатнай характарыстыкі .

Калі ж такіх лікаў не існуе, то лічаць і называюць кальцом характарыстыкі нуль.

У выпадку, калі кальцо утрымлівае адзінку, азначэнне трохі спрашчаецца. У гэтым выпадку характарыстыку звычайна вызначаюць як найменшы ненулявы лік n, такі што

калі ж такога n не існуе, то характарыстыка лічыцца роўнай нулю.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі кальцо з адзінкай і без дзельнікаў нуля мае дадатную характарыстыку , то яна з'яўляецца простым лікам. Такім чынам, характарыстыка любога поля ёсть альбо , альбо просты лік . У першым выпадку поле утрымлівае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю рацыянальных лікаў , у другім выпадку поле утрымлівае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю вылікаў . У абодвух выпадках гэтае падполе называецца простым полем (уключаным у ).
  • Характарыстыка любога поля — просты лік ці нуль. Характарыстыка канечнага поля заўсёды дадатная, аднак з таго, што характарыстыка поля дадатная, не вынікае, што поле канечнае. У якасці контрпрыкладаў можна прывесці поле рацыянальных функцый з каэфіцыентамі ў і алгебраічнае замыканне поля .
  • Калі камутатыўнае кальцо простай характарыстыкі , то
для ўсіх , . Для такіх кольцаў можна вызначыць эндамарфізм Фрабеніуса(руск.) бел..

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.