Шасцідзесятковая сістэма злічэння

Сістэмы злічэння ў культуры
Інда-арабская сістэма злічэння
Арабская Індыйская Тамільская Бірманская	Кхмерская Лаоская Мангольская Тайская
Усходнеазіяцкія сістэма злічэння
Кітайская Японская Сучжоу Карэйская	В'етнамская Лічыльныя палачкі
Алфавітныя сістэмы злічэння
Абджадыя Армянская Арыябхата Кірылічная	Грэчаская Эфіопская Яўрэйская Катапаядзі
Іншыя сістэмы
Вавілонская Егіпецкая Этруская Рымская	Аттычная Кіпу Майская
Пазіцыйныя сістэмы злічэння
Дзесятковая сістэма злічэння (10)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 20, 60
Нега-пазіцыйная сістэма злічэння
Сіметрычная сістэма злічэння
Змешаныя сістэмы злічэння
Сістэма злічэння Фібаначчы
Непазіцыйныя сістэма злічэння
Адзінкавая (унарная) сістэма злічэння
Спіс сістэм злічэння

Шасцідзесятковая сістэма злічэння — пазіцыйная сістэма злічэння з цэлалікавай асновай 60. Яна зарадзілася ў старажытных шумераў у III тысячагоддзі да н.э., а пазней была перанятая вавілонянамі як асноўная сістэма для іхняй астраноміі і матэматыкі. Сёння, у перапрацаваным выглядзе, яна шырока выкарыстоўваецца ва ўсім свеце для вымярэння часу, геаметрычных вуглоў і геаграфічных каардынат.

Унікальнасць гэтай сістэмы абумоўлена матэматычнымі ўласцівасцямі самога ліку 60. Гэта звышсастаўны лік, які мае аж дванаццаць дзельнікаў (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 і 60), сярод якіх 2, 3 і 5 з’яўляюцца простымі. Акрамя таго, 60 — гэта найменшы лік, які дзеліцца без астатку на ўсе лічбы ад 1 да 6 (з’яўляецца іхнім найменшым агульным кратным). Дзякуючы такой багатай колькасці множнікаў працаваць з шасцідзесятковымі дробамі на практыцы вельмі зручна, бо яны лёгка спрашчаюцца. Напрыклад, адну гадзіну можна роўна падзяліць на адрэзкі па 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2 і 1 хвіліне.

Тэхнічная заўвага: у гэтым артыкуле ўсе шасцідзесятковыя лічбы прадстаўлены звычайнымі дзесятковымі лікамі, калі не пазначана іншае. Напрыклад, найбольшай лічбай у такой сістэме з’яўляецца «59».

Гістарычны нарыс

Перадумовы і паходжанне

Ранні протаклінапіс (4 тысячагоддзе да н.э.) і клінапісныя знакі для шасцідзесятковай сістэмы (60, 600, 3600 і г.д.)

Паводле Ота Нойгебаўэра, паходжанне шасцідзесятковай сістэмы злічэння не з’яўляецца такім простым, паслядоўным або адзіным у часе, як гэта часта малююць. З аднаго боку, сістэма надзвычай зручная тым, што яе аснова дзеліцца без астатку на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 і 30. Гэта заўсёды было яе самай магутнай матэматычнай перавагай пры запісе і вылічэнні дробаў. З іншага боку, наяўнасць 60 лічбаў стварала шматлікія нязручнасці: напрыклад, табліца множання на гліняных таблічках налічвала 1770 радкоў. Таму фінікійскім і вавілонскім матэматыкам давялося распрацаваць спецыяльную тэхніку запісу: лік адлюстроўваўся ў пазіцыйнай шасцідзесятковай сістэме, а ягоныя лічбы — у адытыўнай дзесятковай. Праз гэта шасцідзесятковыя абазначэнні заўсёды ўтрымлівалі моцны прыхаваны ўплыў дзесятковай сістэмы.

Дакладнае паходжанне сістэмы да канца не высветлена, і наконт гэтага існуе некалькі гіпотэз:

• Лічэнне на пальцах: І. М. Весялоўскі выказаў меркаванне, што яна звязана са старажытнымі практыкамі лічэння на фалангах пальцаў. (Падрабязней пра разбор такога спосабу гл. § Лічэнне на руках.)
• Зліццё мер вагі і грошай: О. Нойгебаўэр (у 1927 г.) прапанаваў тэорыю, паводле якой пасля акадскага заваявання шумерскай дзяржавы доўгі час адначасова суіснавалі дзве грашова-вагавыя адзінкі, што запатрабавала іхняй інтэграцыі. Гэта мела відавочныя перавагі для гандляроў і пакупнікоў пры палягчэнні паўсядзённых фінансавых аперацый з вялікай колькасцю тавараў. У канцы 3-га тысячагоддзя да н.э. шумера-акадскія адзінкі вагі ўключалі какару (талант, прыкладна 30 кг), які дзяліўся на 60 ману (мін), што, у сваю чаргу, падзяляліся на 60 шыклу (шэкеляў). Такое дзяленне (1 міна = 60 шэкеляў) стала звыклым і спарадзіла адпаведную сістэму запісу любых лікаў. Падобны погляд падзяляе і гісторык матэматыкі Курт Фогель.
  • Крытыка: І. М. Весялоўскі выступаў з крытыкай гэтай гіпотэзы, адзначаючы, што сістэма існавала ў шумераў яшчэ ў IV тысячагоддзі да н.э., задоўга да акадскага заваявання. Аднак іншыя гісторыкі аспрэчваюць гэта, даказваючы на падставе археалагічных знаходак, што спрадвечная лікавая сістэма шумераў была дзесятковай.
• Сінтэз больш старажытных сістэм: Французскі гісторык Жорж Іфра ў сваёй манаграфіі «Усеагульная гісторыя лікаў» (1985) аргументаваў меркаванне, што шасцідзесятковая сістэма з’яўляецца вынікам накладання дзвюх больш старажытных сістэм — дванаццатковай і пяцярковай. Археалагічныя знаходкі паказалі, што абедзве гэтыя сістэмы сапраўды выкарыстоўваліся, а шумерскія назвы лікаў 6, 7 і 9 выяўляюць сляды пяцярковага лічэння, якое, відаць, з’яўляецца найбольш старажытным.

Выкарыстанне сістэмы ў старажытнасці не заўсёды было аднастайным. Найбольш паслядоўна яна ўжывалася ў матэматычных табліцах даных. У іншых тэкстах непаслядоўнасці распаўсюджваліся аж да самых базавых клінапісных сімвалаў. Напрыклад, клінапісным сімвалам для 1 быў эліпс, зроблены шляхам прыціскання закругленага канца стыласа пад вуглом да гліны, у той час як сімвалам для 60 быў большы авал, або «вялікая 1». У тых жа тэкстах лік 10 пазначаўся кругам, зробленым перпендыкулярна гліне, а 100 — большым кругам («вялікая 10»). Гэтыя знакі маглі змешвацца паміж сабой нават у межах аднаго ліку. Дэталі і парадкі велічынь часта залежалі ад кантэксту (паколькі нуль не выкарыстоўваўся паслядоўна) і былі характэрнымі для пэўных эпох і культур.

Вавілонская матэматыка

Асноўныя артыкулы: Вавілонскія лічбы і Вавілонская матэматыка

Нягледзячы на назву, шасцідзесятковая сістэма старажытнай Месапатаміі не была «чыстай» сістэмай з асновай 60 (у тым сэнсе, што вавілоняне не мелі 60 асобных унікальных сімвалаў для кожнай лічбы). Замест гэтага яны выкарыстоўвалі арыгінальны гібрыдны падыход: унутры самога шасцідзесятковага разраду працавала дапаможная дзесятковая сістэма на ўзор падыходу «знак-значэнне».

Любая шасцідзесятковая лічба складалася з камбінацыі ўсяго двух базавых клінапісных знакаў: вузкі вертыкальны клін, які абазначаў адзінкі (ад 1 да 9 — , , , , …, ), і шырокі вуглавы знак, які абазначаў дзясяткі (ад 10 да 50 — , , , , ). Такім чынам, значэнне канкрэтнай лічбы вызначалася простым складаннем гэтых знакаў. Напрыклад, лік 35 запісваўся як тры «дзясяткі» і пяць «адзінак».

Для запісу лікаў, большых за 59, вавілоняне выкарыстоўвалі пазіцыйны прынцып. Блокі клінапісных знакаў запісваліся адзін за адным, і кожная пазіцыя (справа налева) азначала наступную ступень шасцідзесяці. Аднак тут хавалася галоўная складанасць для інтэрпрэтацыі: доўгі час у іх не існавала сімвала для нуля. Праз гэта сімвалы для лікаў 1 і 60 выглядалі абсалютна аднолькава — як адзін вертыкальны клін. Сапраўднае значэнне ліку і ягоны парадак часта даводзілася вызначаць выключна з кантэксту. Толькі ў пазнейшых вавілонскіх тэкстах з’явіўся спецыяльны знак-запаўняльнік (своеасаблівы прататып нуля), але ён ставіўся толькі ў сярэдзіне ліку для абазначэння прапушчаных разрадаў і ніколі не выкарыстоўваўся з правага боку ліку (як, напрыклад, у ліку 13 200).

Матэматычная таблічка «Plimpton 322»

Гэтая сістэма, нягледзячы на ўяўную грувасткасць запісу, аказалася надзвычай магутным інструментам для складаных вылічэнняў (асабліва для працы з дробамі). Да нашых дзён дайшлі выдатныя артэфакты, такія як гліняная таблічка «Plimpton 322», што сведчыць пра глыбокія матэматычныя і геаметрычныя веды вавілонян. Яшчэ адным уражлівым прыкладам з’яўляецца таблічка «YBC 7289», на якой захаваўся неверагодна дакладны прыблізны падлік квадратнага кораня з 2. Гэта даказвае, што шасцідзесятковая сістэма дазваляла дасягаць высокага ўзроўню дакладнасці, які пазней перанялі і развілі грэчаскія астраномы.

У еўрапейскай навуцы

Старажытнагрэчаскія і эліністычныя астраномы перанялі шасцідзесятковую сістэму непасрэдна ад вавілонян разам з іхнімі табліцамі назіранняў за небам. Важную ролю ў гэтым працэсе перадачы ведаў адыграў Берос — вавілонскі жрэц і астраном III стагоддзя да н.э. Перабраўшыся ў Грэцыю, ён заснаваў на востраве Кос астралагічную школу і непасрэдна пазнаёміў антычны свет з дасягненнямі месапатамскай астраноміі. Падрабязней пра ўплыў вавілонскай навукі на антычных грэкаў гл. Вавілонская астраномія § Уплыў на антычную і эліністычную астраномію.

Цікава, што шасцідзесятковая сістэма знайшла адлюстраванне і ў грэчаскай філасофіі. У VIII кнізе «Дзяржавы» Платона прыводзіцца алегорыя шлюбу, засяроджаная на ліку 60⁴ = 12,960,000 і ягоных дзельніках. У шасцідзесятковай сістэме гэты лік мае асабліва просты выгляд: 1,0,0,0,0. Пазнейшыя даследчыкі звярталіся як да вавілонскай матэматыкі, так і да тэорыі музыкі ў спробах растлумачыць гэты загадкавы ўрывак.

Аднак у практычных вылічэннях антычныя вучоныя ўнеслі важныя карэктывы: яны выкарыстоўвалі аснову 60 выключна для запісу дробаў (дробных частак адзінкі), у той час як для цэлых лікаў ужывалі ўласныя традыцыйныя сістэмы. У II стагоддзі н.э. Клаўдзій Пталамей у сваім фундаментальным трактаце па матэматычнай астраноміі «Альмагест» выкарыстоўваў шасцідзесятковыя дробы. Ягоная табліца хорд, якая больш за тысячагоддзе заставалася галоўным трыганаметрычным даведнікам, утрымлівала дробныя часткі градуса з асновай 60 (што практычна эквівалентна сучаснай табліцы сінусаў). Іншы выбітны грэчаскі матэматык, Тэон Александрыйскі, пакінуў пасля сябе падрабязны метад вылічэння квадратных каранёў для лікаў, запісаных у шасцідзесятковай сістэме.

Што тычыцца паўсядзённага жыцця, то тут антычная Еўропа хутчэй аддалялася ад вавілонскай спадчыны. Напрыклад, грэкі свядома змянілі старажытную ўсходнюю прапорцыю мер вагі, зрабіўшы шэкель ¹⁄₅₀ часткай міны замест ¹⁄₆₀, каб адаптаваць яе да больш звыклай для іх дзесятковай логікі.

У сярэднявечную Еўропу больш дасканалыя шасцідзесятковыя метады трапілі шмат у чым дзякуючы кантактам з арабо-мусульманскім светам. Сярэднявечныя астраномы пачалі актыўна выкарыстоўваць шасцідзесятковыя лікі для запісу часу. У 1000 годзе Аль-Біруні падчас абмеркавання яўрэйскіх месяцаў упершыню падзяліў гадзіну ў шасцідзесятковай сістэме на дробныя часткі: хвіліны, секунды, тэрцыі і кварты. Каля 1235 года каталіцкі манах і астраном Іаан Сакрабоска працягнуў гэтую традыцыю, хаця гісторык Нотхафт меркаваў, што менавіта Сакрабоска зрабіў гэта першым. Пазней, каля 1320 года, у парыжскай версіі «Альфонсавых табліц» дзень выкарыстоўваўся як асноўная адзінка часу, а ўсе ягоныя кратныя велічыні і дробныя часткі запісваліся ў шасцідзесятковай сістэме абазначэнняў.

Сярод еўрапейскіх інтэлектуалаў нават узнікалі ідэі зрабіць гэтую сістэму асноўнай. У XIII стагоддзі ўплывовы рэктар Парыжскага ўніверсітэта Пётр Філамен (вядомы як Petrus de Dacia), а ў XV стагоддзі прафесар матэматыкі Венскага ўніверсітэта Іаган Гмундэн выступалі за паўсюднае ўкараненне шасцідзесятковай сістэмы ва ўсіх сферах еўрапейскай навукі. Аднак абедзве ініцыятывы засталіся без наступстваў.

Пачынаючы з XVI стагоддзя зручныя дзесятковыя дробы пачалі імкліва і канчаткова выцясняць шасцідзесятковыя з шырокага ўжытку. Тым не менш, у астраноміі сістэма захоўвала свае пазіцыі і часта выкарыстоўвалася еўрапейскімі вучонымі для выканання разлікаў аж да 1671 года. Напрыклад, у канцы XVI стагоддзя такія выдатныя матэматыкі, як Ёст Бюргі ў сваім трактаце «Fundamentum Astronomiae» (які быў прадстаўлены імператару Рудольфу II у 1592 годзе), ягоны калега Урсус у «Fundamentum Astronomicum» і, магчыма, Генры Брыгс, выкарыстоўвалі спецыяльныя табліцы множання на аснове шасцідзесятковай сістэмы для вылічэння сінусаў.

Хаця ў штодзённых еўрапейскіх вылічэннях сістэма не прыжылася, яе ўплыў на гандаль і побыт захоўваўся стагоддзямі. Гэтыя адгалоскі жывыя і сёння ў такіх тэрмінах і мерах, як тузін (12), паўтузіна (6), і асабліва ў нямецкім слове Schock (копа) — гістарычнай адзінцы лічэння, якая азначае роўна 60 штук.

Іншае гістарычнае выкарыстанне

Прапорцыя ¹⁄₆₀ і яе сімвалічнае значэнне глыбока ўкараніліся ў культуры і рэлігійных тэкстах Блізкага Усходу. Выдатны прыклад — Вавілонскі Талмуд, дзе прыводзіцца наступнае параўнанне, цалкам пабудаванае на шасцідзесятковым дзяленні:

Агонь — ¹⁄₆₀ частка геены вогненнай. Фінікавы нектар — ¹⁄₆₀ частка манны нябеснай. Шабат — ¹⁄₆₀ частка раю. Сон — ¹⁄₆₀ частка смерці. Мара — ¹⁄₆₀ частка прароцтва.

Арыгінальны тэкст (іўрыт)  

אש אחד מששים לגיהנם דבש אחד מששים למן שבת אחד מששים לעולם הבא שינה אחד מששים למיתה חלום אחד מששים לנבואה‎

— Берахот 57 б

Камбінацыі пяці элементаў і дванаццаці жывёл кітайскага задыяку ўтвараюць 60-гадовы шасцідзесятковы цыкл.

У старажытным Кітаі лік 60 стаў асновай для вымярэння доўгіх перыядаў часу. У традыцыйным кітайскім календары гістарычна выкарыстоўваецца 60-гадовы цыкл, які ўтвараецца камбінацыяй дзвюх паслядоўнасцей: 10 «нябесных ствалоў» і 12 «зямных галін». Адзін і той жа ствол і галіна супадаюць і паўтараюцца кожныя 60 крокаў гэтага цыкла. Сістэматычнае вымярэнне часу такім чынам пачалося яшчэ ў часы дынастыі Шан (паміж 1191 і 1154 гадамі да н.э.). Паводле ж эзатэрычных легенд, гэты шасцідзесятковы цыкл іерогліфаў і дванаццаці музычных тонаў быў вынайдзены яшчэ раней — міфічным Жоўтым імператарам.

Індуісцкі каляндар таксама ўключае шасцідзесятковыя элементы з 3102 года да н.э. Індыйскія навукоўцы ўмела адаптавалі і развілі гэтыя метады (магчыма, пераняўшы іх ад грэкаў пасля паходаў Аляксандра Македонскага). Індыйцы зрабілі надзвычай важны ўнёсак у практычнасць сістэмы: пазіцыя шасцідзесятковай лічбы называлася ў іх ouss (усс), і менавіта індыйскія астраномы настойліва рэкамендавалі выкарыстоўваць шасцідзесятковы «нуль» (усс градуса), каб не губляць разрад лічбаў пры складаных вылічэннях. Традыцыя жыла вельмі доўга: у канцы XVIII — пачатку XIX стагоддзяў еўрапейцы выявілі, што тамільскія астраномы працягваюць рабіць найскладанейшыя астранамічныя вылічэнні, выконваючы падлікі з дапамогай ракавін і выкарыстоўваючы ўнікальную сумесь дзесятковай і шасцідзесятковай сістэм абазначэнняў, якая дайшла яшчэ ад эліністычнай эпохі.

Цікавая сітуацыя склалася ў дакалумбавай Амерыцы. Хоць цывілізацыя мая славіцца сваёй пазіцыйнай дваццатковай сістэмай (аснова 20), у іхніх каляндарных вылічэннях прысутнічала вельмі важная мадыфікацыя: значэнне трэцяга разраду складала не 400 (як павінна быць у чыстай сістэме з асновай 20), а 360 (18 × 20). Гэты лік, максімальна набліжаны да колькасці дзён у сонечным годзе, з’яўляецца прамым кратным шасцідзесяці (6 × 60). Такім чынам, незалежныя астранамічныя і каляндарныя патрэбы прывялі мая да выкарыстання лікавых суадносін, канцэптуальна блізкіх да класічнай шасцідзесятковай логікі.

Сістэмы злічэння з асновай 60 маглі ўзнікаць у чалавецтва цалкам самастойна, без уплыву Блізкага Усходу. Яскравым прыкладам з’яўляюцца культуры, якія не мелі ніякіх кантактаў з шумерамі або еўрапейцамі — напрыклад, народ экары (капаўку) з Заходняй Новай Гвінеі. Гэты народ гістарычна выкарыстоўваў і працягвае паспяхова выкарыстоўваць уласную сістэму з асновай 60 для штодзённага лічэння.

Сістэмы абазначэнняў

Прыклад ранняга грэчаскага сімвала нуля ${\overline {o}}$ (у ніжнім правым куце) з папіруса II стагоддзя.

У эліністычных грэчаскіх астранамічных тэкстах, такіх як працы Клаўдзія Пталамея, шасцідзесятковыя лікі запісваліся з выкарыстаннем грэчаскай літарнай сістэмы злічэння, прычым кожная шасцідзесятковая лічба разглядалася як асобны лік. Эліністычныя астраномы таксама прынялі новы сімвал для нуля — ${\overline {o}}$. На працягу стагоддзяў ён трансфармаваўся ў іншыя формы, у тым ліку ў звычайную грэчаскую літару омікрон (ο). Звычайна гэтая літара азначала 70, што не стварала блытаніны ў шасцідзесятковай сістэме, паколькі максімальнае магчымае значэнне ў любой яе пазіцыі складае толькі 59. Грэкі абмежавалі выкарыстанне шасцідзесятковых лікаў выключна дробавай часткай.

У сярэднявечных лацінскіх тэкстах шасцідзесятковыя лікі запісваліся ўжо з дапамогай арабскіх лічбаў; пры гэтым розныя ўзроўні дробаў пазначаліся словамі minuta (г. зн. «дробная частка»), minuta secunda («другая дробная частка»), minuta tertia і гэтак далей. Да XVII стагоддзя стала звычайнай практыкай пазначаць цэлую частку шасцідзесятковых лікаў нулём у верхнім індэксе, а розныя дробавыя часткі — адным або некалькімі штрыхамі. Выбітны матэматык Джон Валіс у сваім трактаце «Mathesis universalis» абагульніў гэтую натацыю, уключыўшы ў яе больш высокія кратныя ліку 60. У якасці прыкладу ён прывёў наступны лік:

49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′25″36‴49⁗

У гэтым запісе лікі злева ад цэнтра множацца на вышэйшыя ступені 60, лікі справа — дзеляцца на ступені 60, а цэнтр, пазначаны нулём у верхнім індэксе, множыцца на 1. Менавіта гэтая сістэма абазначэнняў гістарычна прывяла да з’яўлення сучасных знакаў градусаў, хвілін і секунд. Сучасны запіс часу, дзе гадзіны, хвіліны і секунды запісаны ў дзесятковай сістэме і аддзелены адна ад адной двукроп’ямі (напрыклад, 14:30:15), таксама можа інтэрпрэтавацца як форма шасцідзесятковай натацыі.

У некаторых гістарычных сістэмах вымярэння кожная пазіцыя пасля шасцідзесятковай коскі нумаравалася з дапамогай лацінскіх або французскіх каранёў: лац.: primus або prime (першая), лац.: secundus або seconde (другая), tierce (трэцяя), quatre, quinte і гэтак далей. Гэтая лінгвістычная традыцыя захоўваецца і дагэтуль: менавіта таму частка гадзіны або градуса другога парадку называецца «секундай». Больш за тое, прынамсі да XVIII стагоддзя ¹⁄₆₀ секунды афіцыйна называлася «тэрцыяй» (ад лац.: tertia — трэцяя).

У 1930-х гадах гісторык матэматыкі Ота Нейгебаўэр увёў сучасную сістэму абазначэнняў для зручнага запісу вавілонскіх і эліністычных лікаў. Гэтая сістэма замяняе складаныя клінапісныя сімвалы сучаснай дзесятковай натацыяй (ад 0 да 59) для кожнай пазіцыі. Пры гэтым выкарыстоўваюцца наступныя правілы:

• Кропка з коскай (;) служыць для аддзялення цэлай часткі ліку ад дробавай.
• Звычайная коска (,) выкарыстоўваецца для аддзялення пазіцый (разрадаў) унутры кожнай з частак.

Напрыклад, сярэдні сінадычны месяц, які выкарыстоўваўся як вавілонскімі, так і эліністычнымі астраномамі (і дагэтуль выкарыстоўваецца ў яўрэйскім календары), складае 29;31,50,8,20 дзён. Гэтая натацыя з’яўляецца агульнапрынятым акадэмічным стандартам і выкарыстоўваецца ў навуковай літаратуры.

Матэматычныя ўласцівасці

Дзельнікі

Лік 60 з’яўляецца звышсастаўным лікам. Ён мае дванаццаць дзельнікаў: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 і 60, з якіх 2, 3 і 5 з’яўляюцца простымі лікамі. Для параўнання, аснова 10 мае толькі чатыры дзельнікі (1, 2, 5 і 10). Акрамя таго, 60 — гэта найменшы лік, які без астатку дзеліцца на ўсе лікі ад 1 да 6 (г. зн. найменшае агульнае кратнае для лікаў 1, 2, 3, 4, 5 і 6).

У старажытнасці, калі сучасныя алгарытмы дзялення яшчэ не былі вядомыя, такая велізарная колькасць множнікаў давала вялікую практычную перавагу, бо значна спрашчала працу з дробамі. Сёння, з паўсюдным укараненнем пазіцыйнай дзесятковай сістэмы злічэння, гэтая ўласцівасць страціла былую значнасць. Тым не менш, спробы ўвесці цалкам дзесятковае вымярэнне часу (напрыклад, дзяліць гадзіну на 100 частак) не мелі поспеху праз ўніверсальнасць і глыбокую гістарычную ўкаранёнасць шасцідзесятковай сістэмы.

Складанне і адніманне

Дзякуючы пазіцыйнаму прынцыпу, складанне і адніманне ў шасцідзесятковай сістэме выконваліся падобна да таго, як гэта робіцца ў сучаснай дзесятковай сістэме: калі значэнне перавышала 60, адзінка пераносілася ў старэйшы (наступны злева) разрад. Спецыяльных матэматычных знакаў «+» і «−» у Вавілоне не было (іх увёў толькі ў XV стагоддзі еўрапейскі матэматык Ёган Відман). Замест іх выкарыстоўваліся слоўныя апісанні: «павялічыць» або «адняць» (літар. «адцягнуць»).

• Прыклад складання: 59 + 11 + 20 = 1,30 (у дзесятковай сістэме гэта 59 + 11 + 20 = 90, што роўна 1 × 60 + 30).
• Прыклад аднімання: 4,40 − 1,40 − 1,50 = 1,10 (дзе 4,40 = 280, 1,40 = 100 і г.д.).

Калі рознасць атрымлівалася адмоўнай, гэта апісвалі выразам накшталт «выкарыстанае для аднімання перавышае».

Множанне

Прынцып множання ў Вавілоне быў шмат у чым падобны да сучаснага ў дзесятковай сістэме. Аднак, калі сёння дастаткова ведаць базавую табліцу множання ад 1 × 1 да 9 × 9, то вавілонянам давялося б ведаць напамяць усе магчымыя здабыткі аж да 59 × 59. Каб пазбегнуць гэтай велізарнай нагрузкі, яны масава стваралі і выкарыстоўвалі гатовыя даведачныя табліцы множання.

Кожны радок такой табліцы пачынаўся з аднаго і таго ж «загалоўнага ліку», напрыклад, 2. Затым ішоў выраз «множана на» і сам множнік (напрыклад, 1), а ў канцы — гатовы вынік (2). Пры гэтым множнікі ў табліцы ішлі запар ад 1 да 20, а затым для эканоміі месца пералічваліся толькі дзясяткі: 30, 40 і 50. Калі патрабаваўся прамежкавы множнік (напрыклад, 29), вылічэнне проста разбівалася на часткі: гатовыя значэнні для 20 і для 9 браліся з табліцы, а затым складаліся.

Паколькі ўнутры шасцідзесятковай сістэмы лікі да 60 фармаваліся з крокам у 10, а ў паўсядзённым жыцці і гандлі часта выкарыстоўваліся буйныя дзесятковыя велічыні, табліцы множання складаліся ў тым ліку для такіх загалоўных лікаў, як 1,40 (што адпавядае дзесятковаму ліку 100) і 16,40 (што адпавядае 1000). Яшчэ адной важнай прычынай выбару пэўных загалоўных лікаў было іхняе шчыльнае ўзаемадзеянне з табліцамі адваротных велічынь, неабходнымі для выканання дзялення.

Ніжэй прыведзены стандартныя загалоўныя лікі, для якіх складаліся табліцы множання (рыска зверху азначае перыядычны дроб):

Шасцідзесятковы		$1{,}15$	$1{,}20$	$1{,}30$	$1{,}40$	$2$	$2{,}13{,}20$	$2{,}15$	$2{,}24$	$2{,}30$	$3$	$3{,}20$	$3{,}45$	$4$
Дзесятковы		$1{,}25$	$1{,}{\overline {3}}$	$1{,}5$	$1{,}{\overline {6}}$	$2$	$2{,}{\overline {2}}$	$2{,}25$	$2{,}4$	$2{,}5$	$3$	$3{,}{\overline {3}}$	$3{,}75$	$4$
Звычайны дроб		1 1⁄4	1 1⁄3	1 1⁄2	1 2⁄3	2	2 2⁄9	2 1⁄4	2 2⁄5	2 1⁄2	3	3 1⁄3	3 3⁄4	4
Шасцідзесятковы	$4{,}30$	$5$	$6$	$6{,}40$	$7$	$7{,}12$	$7{,}30$	$8$	$8{,}20$	$9$	$10$	$12$	$12{,}30$	$15$
Дзесятковы	$4{,}5$	$5$	$6$	$6{,}{\overline {6}}$	$7$	$7{,}2$	$7{,}5$	$8$	$8{,}{\overline {3}}$	$9$	$10$	$12$	$12{,}5$	$15$
Звычайны дроб	4 1⁄2	5	6	6 2⁄3	7	7 1⁄5	7 1⁄2	8	8 1⁄3	9	10	12	12 1⁄2	15
Шасцідзесятковы	$16$	$16{,}40$	$18$	$20$	$22{,}30$	$24$	$25$	$30$	$36$	$40$	$44{,}26{,}40$	$45$	$48$	$50$
Дзесятковы	$16$	$16{,}{\overline {6}}$	$18$	$20$	$22{,}5$	$24$	$25$	$30$	$36$	$40$	$44{,}{\overline {4}}$	$45$	$48$	$50$
Звычайны дроб	16	16 2⁄3	18	20	22 1⁄2	24	25	30	36	40	44 4⁄9	45	48	50

Прыклад складанага множання

Вавілоняне выконвалі множанне лікаў, выкарыстоўваючы разбіўку на часткі. Вось прыклад вылічэння 29 × 1,12 (што ў дзесятковай сістэме адпавядае 29 × 72):

Множнік 1,12 лагічна прадстаўляецца як 1,0 (гэта значыць 60) і 0,12 (гэта значыць 12). У сваю чаргу, множанне 29 на 12 таксама разбіваецца для зручнасці на дзясяткі і адзінкі (20 і 9). Працэс запісваецца наступным чынам:

29 × 1,12 = 29 × 1,0 + 20 × 0,12 + 9 × 0,12

Затым кожны са здабыткаў разлічваецца і фіксуецца ў шасцідзесятковым выглядзе:

• 29 × 1,0 = 29,00 (у дзесятковай: 29 × 60 = 1740)
• 20 × 0,12 = 4,00 (у дзесятковай: 20 × 12 = 240, што якраз складае 4 × 60)
• 9 × 0,12 = 1,48 (у дзесятковай: 9 × 12 = 108, што складае 1 × 60 + 48)

У канцы атрыманыя часткі складаюцца:

29,00 + 4,00 + 1,48 = 34,48

Вынік 34,48 у пераліку на дзесятковую сістэму роўны 34 × 60 + 48 = 2088. Матэматычна гэта абсалютна дакладна супадае з дзесятковым вылічэннем 29 × 72 = 2088.

Дзяленне праз адваротныя велічыні

Вавілоняне не мелі асобнага алгарытму дзялення. Замест таго, каб падзяліць лік $a$ на лік $n$, яны выконвалі аперацыю множання ліку $a$ на адваротную велічыню дзельніка ($1/n$):

$a:n=a\cdot {\frac {1}{n}}$

Адваротную велічыню ліку $n$ можна было знайсці ў табліцы множання з загалоўным лікам $n$ (пры ўмове, што $n$ з’яўлялася дзельнікам якой-небудзь ступені ліку 60). Калі здабытак у табліцы раўняўся адзінцы, то адпаведны множнік $m$ і быў шуканай адваротнай велічынёй. Тут варта адзначыць, што ў клінапісным запісе адзін і той жа знак мог абазначаць і 1, і 60, і 60². Дзякуючы адсутнасці «шасцідзесятковай коскі», значэнні $m$ і ${\frac {m}{60^{l}}}$ візуальна выглядалі абсалютна аднолькава. Таму з ураўнення $n\cdot m=60^{l}$ лагічна вынікала неабходная прапорцыя:

${\frac {m}{60^{l}}}={\frac {1}{n}}$

Для палягчэння штодзённых вылічэнняў адваротныя велічыні натуральных лікаў зводзіліся ў спецыяльныя даведачныя табліцы адваротных велічынь (рэцыпрокаў). Калі ж лік быў нерэгулярным (гэта значыць меў простыя множнікі ≥7, напрыклад, 7, 11, 13), дакладнай адваротнай велічыні для яго не існавала. У такіх выпадках у табліцы проста пісалі «не існуе», а на практыцы выкарыстоўвалі прыблізныя значэнні (гэтак жа, як і для ірацыянальных лікаў).

Найбольш распаўсюджаная стандартная табліца адваротных велічынь утрымлівала наступныя пары лікаў:

n	1/n	n	1/n	n	1/n	n	1/n	n	1/n	n	1/n	n	1/n	n	1/n	n	1/n	n	1/n
2	30	3	20	4	15	5	12	6	10	8	7,30	9	6,40	10	6	12	5	15	4
16	3,45	18	3,20	20	3	24	2,30	25	2,24	27	2,13,20	30	2	32	1,52,30	36	1,40	40	1,30
45	1,20	48	1,15	50	1,12	54	1,6,40	60	1	1,4	56,15	1,12	50	1,15	48	1,20	45	1,21	44,26,40

Заўвага: Лічбы ў левых слупках апошняга радка табліцы (1,4; 1,12; 1,15 і гэтак далей) — гэта пазіцыйны запіс лікаў, большых за 60. Напрыклад, 1,4 азначае 1 × 60 + 4 = 64. Адпаведна, 1,12 — гэта 72, а 1,15 — гэта 75.

Такая табліца была ўніверсальнай. Яе значэнні можна было чытаць па-рознаму ў залежнасці ад «разраду», які меўся на ўвазе. Напрыклад, звязка лікаў 3 і 20 магла азначаць:

• ${\frac {1}{3}}=0;20$
• ${\frac {1}{180}}$ (што запісваецца як ${\frac {1}{3,0}}$) $=0;0,20$
• $1:0;3$ (што роўна $60:3$) $=20$

Гэтае правіла працавала і ў адваротны бок: калі ${\frac {1}{3}}=0;20$, то ${\frac {1}{20}}=0;3$.

Прыклады вылічэнняў

• Дзяленне 4 на 3. Знаходзім адваротную велічыню для 3 (гэта 0;20) і множым на яе:

$4:3=4\cdot {\frac {1}{3}}=4\cdot 0;20=1;20$

• Дзяленне 0;12 на 25. Знаходзім адваротную велічыню для 25 (гэта 0;2,24) і множым:

$0;12:25=0;12\cdot {\frac {1}{25}}=0;12\cdot 0;2,24=0;0,28,48$

Дробы і рэгулярныя лікі

Аснова шасцідзесятковай сістэмы мае ў сваім раскладанні на простыя множнікі толькі тры лікі: 2, 3 і 5 (60 = 2² × 3 × 5). У вавілонскай матэматыцы лік называецца рэгулярным, калі ў ягоным раскладанні на простыя множнікі прысутнічаюць толькі гэтыя тры лічбы. Гэта мае найважнейшае матэматычнае наступства: любы дроб, назоўнік якога з’яўляецца рэгулярным лікам, можа быць выражаны дакладным канчатковым (неперыядычным) значэннем у шасцідзесятковай сістэме.

Як і ў выпадку з цэлымі лікамі, вавілоняне не выкарыстоўвалі асобнага знака для аддзялення цэлай часткі ад дробавай (так званай «шасцідзесятковай коскі»). Разрад дробу меўся на ўвазе выключна з кантэксту. Напрыклад, лік 30 мог азначаць і цэлы лік 30, і дроб ³⁰⁄₆₀ (гэта значыць ¹⁄₂). Гэтая логіка падобная да сучаснага ўспрымання велічынь у залежнасці ад сітуацыі: напрыклад, 75 сантылітраў без дадатковых тлумачэнняў могуць азначаць як ³⁄₄ літра, так і 75 %.

Для зручнасці ў сучаснай навуковай літаратуры дробавая частка аддзяляецца ад цэлай кропкай з коскай (;), а самі шасцідзесятковыя разрады — коскамі (,).

Ніжэй прыведзены ўсе дакладныя (канчатковыя) шасцідзесятковыя дробы, назоўнік якіх з’яўляецца рэгулярным лікам і меншы або роўны 60:

¹⁄₂ = 0;30 (або ³⁰⁄₆₀)

¹⁄₃ = 0;20 (або ²⁰⁄₆₀)

¹⁄₄ = 0;15

¹⁄₅ = 0;12

¹⁄₆ = 0;10

¹⁄₈ = 0;7,30 (што азначае ⁷⁄₆₀ + ³⁰⁄₃₆₀₀)

¹⁄₉ = 0;6,40

¹⁄₁₀ = 0;6

¹⁄₁₂ = 0;5

¹⁄₁₅ = 0;4

¹⁄₁₆ = 0;3,45

¹⁄₁₈ = 0;3,20

¹⁄₂₀ = 0;3

¹⁄₂₄ = 0;2,30

¹⁄₂₅ = 0;2,24

¹⁄₂₇ = 0;2,13,20

¹⁄₃₀ = 0;2

¹⁄₃₂ = 0;1,52,30

¹⁄₃₆ = 0;1,40

¹⁄₄₀ = 0;1,30

¹⁄₄₅ = 0;1,20

¹⁄₄₈ = 0;1,15

¹⁄₅₀ = 0;1,12

¹⁄₅₄ = 0;1,6,40

¹⁄₆₀ = 0;1

Прынцып утварэння такіх значэнняў можна прадэманстраваць на прыкладзе дробу ¹⁄₈. Ягоны шасцідзесятковы запіс выглядае як 0;7,30. Гэта азначае, што адзінка дзеліцца на 8 частак наступным чынам:

${\frac {1}{8}}={\frac {7}{60}}+{\frac {30}{60^{2}}}$

Гэтак жа дроб ¹⁄₂₇, які запісваецца як 0;2,13,20, матэматычна раскладаецца на:

${\frac {1}{27}}={\frac {2}{60}}+{\frac {13}{60^{2}}}+{\frac {20}{60^{3}}}$

Вылічэнне такіх дробаў і іхніх адваротных велічынь зводзілася да пошуку ліку, здабытак якога на зыходны назоўнік даваў бы бліжэйшую ступень ліку 60 (напрыклад, 3600 або 216000). Дзякуючы ўласцівасцям рэгулярных лікаў, для назоўнікаў з табліцы вышэй такі здабытак заўсёды атрымліваўся дакладным і без астатку.

Перыядычныя дробы

Лікі, якія не з’яўляюцца рэгулярнымі (не маюць у аснове толькі 2, 3 і 5), утвараюць больш складаныя бясконцыя перыядычныя дробы. Некаторыя прыклады (рыска зверху азначае паслядоўнасць лічбаў, якая паўтараецца бясконца):

¹⁄₇ = 0;8,34,17

¹⁄₁₁ = 0;5,27,16,21,49

¹⁄₁₃ = 0;4,36,55,23

¹⁄₁₄ = 0;4,17,8,34

¹⁄₁₇ = 0;3,31,45,52,56,28,14,7

¹⁄₁₉ = 0;3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

¹⁄₅₉ = 0;1

¹⁄₆₁ = 0;0,59

Той факт, што два суседнія з шасцідзесяццю лікі (59 і 61) з’яўляюцца простымі, азначае важную ўласцівасць: дробы, якія паўтараюцца з перыядам у адну або дзве шасцідзесятковыя лічбы, могуць мець як назоўнік толькі рэгулярныя лікі, кратныя 59 або 61. Усе іншыя нерэгулярныя лікі ўтвараюць дробы, якія паўтараюцца з значна даўжэйшым перыядам.

Ірацыянальныя лікі і вылічэнне каранёў

Прадстаўленне ірацыянальных лікаў у любой пазіцыйнай сістэме (як у дзесятковай, так і ў шасцідзесятковай) ніколі не заканчваецца і не мае перыяду. Нягледзячы на гэта, шасцідзесятковая сістэма дазваляла старажытным матэматыкам дасягаць выключнай дакладнасці ў прыбліжэннях.

Квадратны корань з 2

Вавілонская таблічка «YBC 7289», якая паказвае шасцідзесятковы лік 1;24,51,10, што з’яўляецца прыбліжэннем √2.

Найбольш вядомым прыкладам з’яўляецца вавілонская гліняная таблічка «YBC 7289» (створаная каля 1900—1650 гг. да н.э.). На ёй адлюстраваны квадрат з праведзенымі дыяганалямі і лікавымі значэннямі, якія дэманструюць надзвычай дакладнае прыбліжэнне квадратнага кораня з 2 (√2).

Значэнне √2 высечана на таблічцы як 1;24,51,10. У пераліку на сучасныя дробы гэта вылічваецца наступным чынам:

$1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}\approx 1,41421296$

Гэты вынік адрозніваецца ад сапраўднага значэння (≈ 1,41421356…) толькі ў мільённых долях. На гэтай жа таблічцы прыведзены прыклад практычнага выкарыстання геаметрыі: даўжыня боку квадрата пазначана як 30, а даўжыня ягонай дыяганалі — як 42;25,35. Гэта дакладна адпавядае здабытку:

30 × 1;24,51,10 = 42;25,35

Для дасягнення такой дакладнасці вавілонскія матэматыкі выкарыстоўвалі ітэрацыйны геаметрычны метад (які пазней у антычнасці быў апісаны Геронам Александрыйскім у выглядзе формулы ${\sqrt {a^{2}\pm b}}\approx a\pm {\frac {b}{2a}}$). Працэс вылічэння выглядаў наступным чынам:

1. Спачатку бралася грубае, базавае прыбліжэнне. З табліцы квадратаў было вядома, што √2 блізкі да велічыні 1;25:
   √2 = √1;20² + 0;13,20 ≈ 1;20 + 0;5 = 1;25
2. Паколькі 1;25 (што роўна ¹⁷⁄₁₂ або ≈ 1,41666667) крыху большае за рэальны корань, можна вылічыць сустрэчнае значэнне: 21;25 ≈ 1;24,42,21 (што роўна ≈ 1,41176389).
3. Сапраўднае значэнне √2 ляжыць роўна паміж гэтымі дзвюма велічынямі. Пошук іхняга сярэдняга арыфметычнага дае менавіта тое высокадакладнае значэнне, якое высечана на таблічцы:
   (1;25 + 1;24,42,21) × 0;30 ≈ 1;24,51,10… ( A070197)

Лік Пі (π)

Падобная шасцідзесятковая дакладнасць выкарыстоўвалася і ў пазнейшыя эпохі для прыбліжэння ліку π. Грэчаскі матэматык і астраном Клаўдзій Пталемей выкарыстоўваў значэнне 3;8,30:

$3+{\frac {8}{60}}+{\frac {30}{60^{2}}}={\frac {377}{120}}\approx 3,141666\dots$

Найбольшага ж поспеху ў шасцідзесятковым вылічэнні дасягнуў персідскі матэматык XV стагоддзя Джамшыд аль-Кашы. Ён змог вылічыць значэнне 2π з дакладнасцю да дзевяці шасцідзесятковых разрадаў (што эквівалентна 16 дзесятковым знакам):

6;16,59,28,1,34,51,46,14,50 ( A091649)

Як і ў выпадку з √2, лік π з’яўляецца ірацыянальным, таму ягонае сапраўднае шасцідзесятковае раскладанне працягваецца бясконца, і ўсе гістарычныя вылічэнні застаюцца высокадакладнымі прыбліжэннямі.

Лічэнне на руках

Гл. таксама: Лічэнне на пальцах

У звыклай дзесятковай сістэме людзі лічаць з дапамогай дзесяці пальцаў (2 × 5) абедзвюх рук. Аднак у некаторых рэгіёнах свету практыкавалася больш складанае лічэнне па фалангах пальцаў. На адной руцэ такі метад дазваляе злічыць да 12 (дванаццатковая сістэма), а пры выкарыстанні абедзвюх рук — да 60. Важна адзначыць, што лічэнне да 60 на дзвюх руках працуе па прынцыпе 5 × 12, у адрозненне ад класічнай шасцідзесятковай сістэмы, якая грунтуецца на прынцыпе 6 × 10.

Лічэнне на адной руцэ (да 12)

Падлік да 12 адной рукою

Асноўны прынцып: 4 × 3 = 12

Як указальнік выкарыстоўваецца вялікі палец, а аб’ектамі лічэння выступаюць фалангі астатніх чатырох пальцаў той жа рукі. Лічэнне пачынаецца з верхняй фалангі мезенца і ідзе ўніз, пасля чаго паслядоўна пераходзіць на суседнія пальцы:

Лік	Палец	Фалангі (па парадку лічэння)
1, 2, 3	Мезенец	Верхняя, сярэдняя, ніжняя
4, 5, 6	Безназоўны	Верхняя, сярэдняя, ніжняя
7, 8, 9	Сярэдні	Верхняя, сярэдняя, ніжняя
10, 11, 12	Указальны	Верхняя, сярэдняя, ніжняя

Такім чынам, чатыры пальцы, якія маюць па 3 фалангі кожны, у суме даюць 12.

Лічэнне на дзвюх руках (да 60)

Асноўны прынцып: 5 × 12 = 60 Калі на першай руцэ адлічаны поўны тузін (12 фалангаў), яе ліміт вычэрпваецца. Тады ў гульню ўступае другая рука, якая да гэтага была сціснутая ў кулак.

1. Кожны поўны тузін фіксуецца адгінаннем аднаго пальца на другой руцэ (пачынаючы, напрыклад, з вялікага).
2. Пасля гэтага лічэнне па фалангах на першай руцэ пачынаецца нанова.
3. Паколькі на другой руцэ пяць пальцаў, з яе дапамогай можна зафіксаваць роўна пяць тузінаў: 5 × 12 = 60.
4. Пры неабходнасці на першай руцэ можна адлічыць яшчэ адзін тузін зверху, дасягнуўшы такім чынам ліку 72 (60 + 12).

Гэтая старажытная сістэма лічэння на пальцах дагэтуль сустракаецца ў некаторых раёнах Турцыі, Ірака, Індыі і Індакітая. Больш за тое, калі на другой руцэ таксама лічыць не цэлымі пальцамі, а па фалангах, максімальны лік можа скласці 144 (12 × 12, або так званы грос) або нават 156 (144 + 12).

Лічэнне з памочнікам (да 3600)

Асноўны прынцып: 10 × 60 = 600 або 60 × 60 = 3600 Для падліку яшчэ большых колькасцей выкарыстоўваюцца дапаможныя сродкі (камяні, палачкі, засечкі) або рукі чалавека-памочніка. У такім выпадку кожныя 60 адзінак фіксуюцца адным пальцам памочніка. Дзесяць пальцаў другога чалавека дазваляюць злічыць да 600 (10 × 60). Калі ж памочнік таксама выкарыстоўвае шасцідзесятковую сістэму лічэння на фалангах, агульная колькасць дасягае 3600 (60 × 60).

Крыніцы

Літаратура

англійскай мовай

• Aaboe, Asger (1998) [1963]. Episodes From The Early History Of Mathematics. New Mathematical Library. Vol. 13. Washington, DC: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-613-1. LCCN 63021916.
• Al-Biruni (1879) [1000]. The Chronology of Ancient Nations. Перакладчык Sachau, C. Edward. pp. 147–149.
• Barton, George A. (1908). On the Babylonian origin of Plato's nuptial number. Journal of the American Oriental Society. 29: 210–219. doi:10.2307/592627. JSTOR 592627.
• Bowers, Nancy (1977). Kapauku numeration: Reckoning, racism, scholarship, and Melanesian counting systems (PDF). Journal of the Polynesian Society. 86 (1): 105–116. Архівавана з арыгінала (PDF) 2009-03-05.
• Cajori, Florian (2007) [1928]. A History of Mathematical Notations. Vol. 1. New York: Cosimo, Inc. ISBN 9781602066854.
• Folkerts, Menso; Launert, Dieter; Thom, Andreas (2016). Jost Bürgi's method for calculating sines. Historia Mathematica. 43 (2): 133–147. arXiv:1510.03180. doi:10.1016/j.hm.2016.03.001. MR 3489006. S2CID 119326088.
• Fowler, David; Robson, Eleanor (1998). Square root approximations in old Babylonian mathematics: YBC 7289 in context. Historia Mathematica. 25 (4): 366–378. doi:10.1006/hmat.1998.2209. MR 1662496.
• Lean, Glendon Angove (1992). Chapter 4. Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania (Ph.D. thesis). Papua New Guinea University of Technology. Архівавана з арыгінала 2007-09-05. Праверана 2026-05-24.
• McClain, Ernest G.; Plato (1974). Musical "Marriages" in Plato's "Republic". Journal of Music Theory. 18 (2): 242–272. JSTOR 843638.
• Neugebauer, Otto; Sachs, Abraham J.; Götze, Albrecht (1945). Mathematical Cuneiform Texts. American Oriental Series. Vol. 29. New Haven: American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research.
• Neugebauer, Otto (1952). Tamil Astronomy: A Study in the History of Astronomy in India. Osiris. 10: 252–276. doi:10.1086/368555. S2CID 143591575.; перадрукавана ў Neugebauer, Otto (1983), Astronomy and History: Selected Essays, New York: Springer-Verlag, Bibcode:1983ahse.book.....N, ISBN 0-387-90844-7
• Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences In Antiquity. Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium. 9. Dover Publications: 17–19. ISBN 0-486-22332-9. PMID 14884919.
• Newton, Isaac (1671). The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-lines. London: Henry Woodfall (апублікавана 1736). p. 146.
• Nothaft, C. Philipp E. (2018). Scandalous error: calendar reform and calendrical astronomy in medieval Europe. Oxford: Oxford university press. ISBN 978-0-19-879955-9.
• Smith, David E. (1958). History of mathematics. Vol. 1. Dover Publications. ISBN 9780486204291.
• Toomer, G.J., рэд. (1984). Ptolemy's Almagest. New York: Springer Verlag. ISBN 0-387-91220-7.
• Wade, Nicholas (1998). A natural history of vision. MIT Press. ISBN 978-0-262-73129-4.
• Youschkevitch, Adolf P.; Rosenfeld, Boris A. (1973). al-Kāshī. Dictionary of Scientific Biography. VII: 255–262.

нямецкай мовай

• Vogel, Kurt (1959). Vorgriechische Mathematik. Teil II: Die Mathematik der Babylonier. Hannover; Paderborn: Schroedel; Schöningh.

рускай мовай

• Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике. — Москва: Де Агостини, 2014. — С. 23—24. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3.
• Глейзер Г.И. История математики в школе. — Москва: Просвещение, 1964. — 376 с. Архівавана 4 снежня 2017 года.
• Веселовский И.Н. Вавилонская математика // Труды Института истории естествознания и техники. — Москва: Академия наук СССР, 1955. — В. 5. — С. 241—303.
• Торра, Бизенц. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления. — Москва: Де Агостини, 2014. — С. 17—18. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 15). — ISBN 978-5-9774-0710-6.

французскай мовай

• Berthelot, René (1933). L'Astrobiologie et la pensée de l'Asie. Revue de métaphysique et de morale. 40 (1): 41–64.
• Rey, Abel (1933). Le système sexagésimal assyrien. Journal des savants: 107–119.
• Woepcke, Franz (1859). Sur l'introduction de l'arithmétique indienne en occident et sur deux documents importants publiés par le Prince Don Balthazar Boncompagni et relatifs à ce point de l'histoire des sciences. Rome: Impr. des sciences mathématiques et physiques. Архівавана з арыгінала 2022-07-20.