З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі
Рэзульта́нт − лікавая велічыня, якая дазваляе праверыць два мнагачлены на наяўнасць агульных каранёў .
З дапамогай рэзультанта можна звесці развязанне сістэмы алгебраічных ураўненняў да развязання аднаго ўраўнення з адным невядомым.
Рэзультант вызначаюць або праз вызначнік матрыцы Сільвестра , або праз карані мнагачленаў . Абодва гэтыя азначэнні раўназначныя, і калі адно з іх прыняць за зыходнае, то другое атрымліваецца як вынік.
Для двух мнагачленаў
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
,
{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}
g
(
x
)
=
b
m
x
m
+
b
m
−
1
x
m
−
1
+
⋯
+
b
1
x
+
b
0
{\displaystyle g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}}
рэзультант азначаюць як вызначнік матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра ) парадку m + n [ 1]
R
(
f
,
g
)
=
|
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
⋱
⋱
…
⋱
⋱
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
b
m
b
m
−
1
…
b
1
b
0
b
m
b
m
−
1
…
b
1
b
0
⋱
⋱
…
⋱
⋱
b
m
b
m
−
1
…
b
1
b
0
|
,
{\displaystyle R(f,g)=\left|{\begin{array}{cccccccc}a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\&&\ddots &\ddots &\dots &\ddots &\ddots \\&&&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\\&b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\\&&\ddots &\ddots &\dots &\ddots &\ddots \\&&&b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\end{array}}\right|,}
дзе на свабодных месцах стаяць нулі.
Няхай
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
,
{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}
g
(
x
)
=
b
m
x
m
+
b
m
−
1
x
m
−
1
+
⋯
+
b
1
x
+
b
0
.
{\displaystyle g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}.}
Калі
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}
f (x )
β
1
,
β
2
,
…
,
β
m
{\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{m}}
g (x )рэзультант вызначаюць як[ 2]
R
(
f
,
g
)
=
a
n
m
b
m
n
∏
1
≤
i
≤
n
1
≤
k
≤
m
(
α
i
−
β
k
)
.
{\displaystyle R(f,g)=a_{n}^{m}b_{m}^{n}\prod _{1\leq i\leq n \atop 1\leq k\leq m}(\alpha _{i}-\beta _{k}).}
Рэзультант пары мнагачленаў роўны нулю, калі і толькі калі яны маюць агульны корань. Няхай f g deg f = n , deg g = m .
R
(
f
,
g
)
=
a
n
m
∏
i
=
1
n
g
(
α
i
)
=
(
−
1
)
m
⋅
n
b
m
n
∏
k
=
1
m
f
(
β
k
)
{\displaystyle R(f,g)=a_{n}^{m}\prod _{i=1}^{n}g(\alpha _{i})=(-1)^{m\cdot n}b_{m}^{n}\prod _{k=1}^{m}f(\beta _{k})}
R
(
g
,
f
)
=
(
−
1
)
m
⋅
n
R
(
f
,
g
)
{\displaystyle R(g,f)=(-1)^{m\cdot n}R(f,g)}
R
(
f
h
,
g
)
=
R
(
f
,
g
)
R
(
h
,
g
)
{\displaystyle R(fh,g)=R(f,g)R(h,g)}
Калі p = f + g h deg p = deg f , то
R
(
p
,
g
)
=
R
(
f
,
g
)
{\displaystyle R(p,g)=R(f,g)}
Няхай поле K характарыстыку . Тады для любога мнагачлена
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
∈
K
[
x
]
{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}\in K[x]}
[ 2]
a
n
D
(
f
)
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
R
(
f
,
f
′
)
.
{\displaystyle a_{n}D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}R(f,f').}
↑
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
↑ а б
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — Москва: Наука, 1968.
Weisstein, Eric W. . Resultant (нявызн.) MathWorld .
![{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b413777101830286b5969151ddb9dfc85e47af9e)
