Формулы Віета

Формулы Віета — формулы, якія выражаюць каэфіцыенты мнагачлена праз яго карані.

Гэтымі формуламі зручна карыстацца для праверкі правільнасці знаходжання каранёў мнагачлена, а таксама для састаўлення мнагачлена па зададзеных каранях.

Фармулёўка

Калі $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ — карані мнагачлена

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n},$

(кожны корань узяты адпаведную яго кратнасці колькасць разоў), то каэфіцыенты $a_{1},\ldots ,a_{n}$ выражаюцца ў выглядзе сіметрычнага мнагачлена ад каранёў, а менавіта:

${\begin{matrix}a_{1}&=&-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=&c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_{3}&=&-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n}),\\&&\ldots \\a_{n-1}&=&(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=&(-1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{matrix}}$

Інакш кажучы, $(-1)^{k}a_{k}$ роўнае суме ўсіх магчымых здабыткаў з $k$ каранёў:

$a_{k}=(-1)^{k}\sum _{1\leq i_{1}\leq \dots \leq i_{k}\leq n}c_{i_{1}}\dots c_{i_{k}}.$

Калі старшы каэфіцыент мнагачлена $a_{0}\neq 1$, то для прымянення формулы Віета неабходна спачатку падзяліць усе каэфіцыенты на $a_{0}$ (гэта не ўплывае на значэнне каранёў мнагачлена). У гэтым выпадку формулы Віета даюць выраз для адносін усіх каэфіцыентаў да старшага. З апошняй формулы Віета вынікае, што калі карані мнагачлена цэлалікавыя, то яны з'яўляюцца дзельнікамі яго свабоднага члена, які пры гэтым таксама цэлалікавы.

Доказ

Доказ вынікае з роўнасці, атрыманай раскладаннем мнагачлена па каранях, улічваючы, $a_{0}=1$

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}=(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).$

Прыраўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях $x$ (тэарэма адзінасці), атрымліваем формулы Віета.

Прыклады

Квадратнае ўраўненне

Калі $x_{1}$ і $x_{2}$ — карані квадратнага ўраўнення $\ ax^{2}+bx+c=0$ ,то

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a}}.\end{cases}}$

У асобным выпадку, калі $a=1$ (прыведзеная форма $x^{2}+px+q=0$), то

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q.\end{cases}}$

Кубічнае ўраўненне

Калі $x_{1},x_{2},x_{3}$ — карані кубічнага ўраўнення $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$ то

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}},\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}.\end{cases}}$

Гл. таксама

• Тэарэма Безу
• Асноўная тэарэма алгебры