Характарыстыка кальца

Характары́стыка (кальца ці поля) — найменшы лік n, такі што складанне n адвольных аднолькавых элементаў кальца дасць у выніку нуль. Калі такога дадатнага ліку няма, тады кажуць, што кальцо мае нулявую характарыстыку.

Гэта значыць, што характарыстыка кальца R (калі яна не роўная нулю) ёсць найменшы натуральны лік n, такі што для любога элемента x з кальца R справядліва роўнасць

$\underbrace {x+\cdots +x} _{n}=0.$

Характарыстыка кальца R абазначаецца як char R.

Азначэнне

Няхай $R$ — адвольнае кальцо. Калі існуе такі дадатны лік $n$, што для любога элемента $r\in R$ выконваецца роўнасць

$n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r} _{n}=0,$

то найменшы з такіх лікаў $n$ называецца характарыстыкай кальца $R$ і абазначаецца сімвалам $\operatorname {char} R$. Пры гэтым кальцо $R$ называецца кальцом дадатнай характарыстыкі $\operatorname {char} R$.

Калі ж такіх лікаў $n$ няма, то лічаць $\operatorname {char} R=0$ і называюць $R$ кальцом характарыстыкі нуль.

У выпадку, калі кальцо $R$ змяшчае адзінку, азначэнне трохі спрашчаецца. У гэтым выпадку характарыстыку звычайна вызначаюць як найменшы ненулявы лік n, такі што

$n\cdot 1=0,$

калі ж такога n няма, то характарыстыка лічыцца роўнай нулю.

Прыклады

• Характарыстыкі кальца цэлых лікаў $\mathbb {Z}$, поля рацыянальных лікаў $\mathbb {Q}$, поля рэчаісных лікаў $\mathbb {R}$, поля камплексных лікаў $\mathbb {C}$ роўныя нулю.
• Характарыстыка кальца вылікаў $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ роўная $n$.
• Характарыстыка канечнага поля $\mathbb {F} _{p^{m}}$ (дзе $p$ — просты лік, $m$ — натуральны лік) раўняецца $p$.

Уласцівасці

• Калі кальцо $R\neq \{0\}$ з адзінкай і без дзельнікаў нуля мае дадатную характарыстыку $n$, то яна з’яўляецца простым лікам. Такім чынам, характарыстыка любога поля $K$ ёсть альбо $0$, альбо просты лік $p$. У першым выпадку поле $K$ змяшчае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю рацыянальных лікаў $\mathbb {Q}$, у другім выпадку поле $K$ змяшчае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю вылікаў $\mathbb {F} _{p}$. У абодвух выпадках гэтае падполе называецца простым полем (уключаным у $K$).
• Характарыстыка любога поля — просты лік ці нуль. Характарыстыка канечнага поля заўсёды дадатная, аднак з таго, што характарыстыка поля дадатная, не вынікае, што поле канечнае. У якасці контрпрыкладаў можна прывесці поле рацыянальных функцый з каэфіцыентамі ў $\mathbb {F} _{p}$ і алгебраічнае замыканне поля $\mathbb {F} _{p}$.
• Калі $R$ — камутатыўнае кальцо простай характарыстыкі $p$, то

  $(a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}$

для ўсіх $a,b\in R$, $n\in \mathbb {N}$. Для такіх кольцаў можна вызначыць эндамарфізм Фрабеніуса.

Літаратура

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.