F4 (матэматыка)

Група, алгебра

Тэорыя груп Асноўныя паняцці Падгрупа Нармальная падгрупа Фактаргрупа (паў-)Прамы здабытак Тапалагічныя групы Група Лі Артаганальная група O(n) Спецыяльная ўнітарная група SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Група Лорэнца Група Пуанкарэ

У матэматыцы, F₄ — назва адной з пяці (кампактных або комплексных) адмысловых простых груп Лі, а таксама яе алгебры Лі ${\mathfrak {f}}_{4}$. F₄ мае 4 ранг і размернасць 52. Група F₄ адназвязная, а яе група знешніх аўтамарфізмаў трывіяльная. Найбольш простае дакладнае лінейнае прадстаўленне групы F₄, а таксама яе алгебры Лі 26-мернае і непрыводнае.

Кампактная рэчаісная форма (комплекснай) групы F₄ з’яўляецца групай ізаметрый 16-мернай рыманавай мнагастайнасці, вядомай як 'октаніённая праектыўная плоскасць', OP₂. Гэта можа быць паказана з дапамогай агульнага прыёму, які выкарыстоўвае канструкцыю, вядомую як магічны квадрат, распрацаваную Г. Фрэйдэнталем і Ж. Тытсам.

Ёсць 3 рэчаісныя групы Лі з алгебрай ${\mathfrak {f}}_{4}$: кампактная, падзеленая і трэцяя.

Алгебра Лі F₄ можа быць атрымана шляхам дадавання да 36-мернай алгебры Лі so(9) 16 генератараў, якія ператвараюцца як спінары, аналагічна таму, як гэта робіцца ў канструяванні E8.

Алгебра

Каранёвыя вектары F₄

$(\pm 1,\pm 1,0,0)$,

$(\pm 1,0,\pm 1,0)$,

$(\pm 1,0,0,\pm 1)$,

$(0,\pm 1,\pm 1,0)$,

$(0,\pm 1,0,\pm 1)$,

$(0,0,\pm 1,\pm 1)$,

$(\pm 1,0,0,0)$,

$(0,\pm 1,0,0)$,

$(0,0,\pm 1,0)$,

$(0,0,0,\pm 1)$,

$\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}}\right)$,

і простыя дадатныя каранёвыя вектары

$(0,1,-1,0)$,

$(0,0,1,-1)$,

$(0,0,0,1)$,

$\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)$.

Група Вейля/Група Каксетэра

Для дадзенай групы гэта — група сіметрыі гіперактаэдра.

Матрыца Картана

${\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}$

Рашотка сіметрыі F₄

4-мерная аб'ёмнацэнтраваная кубічная рашотка мае F₄ як кропкавую групу сіметрыі. Гэта аб’яднанне дзвюх гіперкубічных рашотак, кропкі кожнай з якіх ляжаць у цэнтрах гіперкубоў іншай, утварае кальцо, званае кальцом кватэрніёнаў Гурвіца. 24 кватэрніёны Гурвіца з нормай 1 утвараюць гіперактаэдр.

Гл. таксама

• G2
• E6
• E7
• E8

Літаратура

• John Baez, The Octonions, Section 4.2: F₄, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. On-line HTML варыянт (англ.)