Прамая геадэзічная задача

Прамая геадэзічная задача

Прамая геадэзічная задача - вылічэнне геадэзічных каардынат - шыроты і даўгаты некаторай кропкі, якая ляжыць на зямным эліпсоідзе, па каардынатах іншай кропкі і па вядомым даўжыні і дырэкцыйнаму вуглу дадзенага накірунку, што злучае гэтыя кропкі.

Для кропак, размешчаных на сфероідзе, рашэнне дадзенай задачы ўяўляе значныя цяжкасці. Для кропак на плоскасці яна вырашаецца наступным чынам (гл. выяву).

Дадзена: Кропка $A(X_{A},Y_{A})$, $S_{AB}$ и $\alpha _{AB}$.

Знайсці: Кропку $B(X_{B},Y_{B})$

Непасрэдна з выявы маем:

$\Delta X=X_{B}-X_{A}$

$\Delta Y=Y_{B}-Y_{A}$

Рознасці $\Delta X$ і $\Delta Y$ каардынат кропак наступнай і папярэдняй называюцца прырашчэннямі каардынат. Яны ўяўляюць сабою праекцыі адрэзка АВ на адпаведныя восі каардынат. Іх значэння знаходзім з прамавугольнага трохвугольника АВС:

$\Delta X=S_{AB}\cos \alpha _{AB}$

$\Delta Y=S_{AB}\sin \alpha _{AB}$

Так як ў гэтых формулах $S_{AB}$ заўсёды чысло станоўчае, то знакі прырашчэнняў каардынат $\Delta X$ і $\Delta Y$ залежаць ад знакаў $\cos \alpha _{AB}$ і $\sin \alpha _{AB}$. Для розных значэнняў вуглоў знакі $\Delta X$ і $\Delta Y$ прадстаўлены ў табліцы.

Прырашчэнні каардынат	Чвэрць акружнасці ў якую накіравана лінія
Первая строчка	I (ПнУ)	II (ПдУ)	III (ПдЗ)	IV (ПнЗ)
$\Delta X$	$+$	—	—	$+$
$\Delta Y$	$+$	$+$	—	—

Пры дапамозе румба прырашчэння каардынат вылічаюць па формулах:

$\Delta X=S_{AB}\cdot \cos r_{AB}$;

$\Delta Y=S_{AB}\cdot \sin r_{AB}$.

Знакі прырашчэнням даюць у залежнасці ад назвы румба.

Вылічыўшы прырашчэнні каардынат, знаходзім шуканыя каардынаты іншай кропкі:

$X_{B}=X_{A}+\Delta X$;

$Y_{B}=Y_{A}+\Delta Y$.

Такім чынам можна знайсці каардынаты любой колькасці кропак паводле правіла: каардынаты наступнай кропкі роўныя каардынатам папярэдняй кропкі плюс адпаведныя прырашчэнні.