Паверхня: Розніца паміж версіямі
[дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
AvocatoBot (размовы | уклад) др r2.7.1) (робат дадаў: nn:Flate |
др r2.7.2) (робат дадаў: als:Fläche (Topologie) |
||
Радок 45: | Радок 45: | ||
[[Катэгорыя:Малапамерная тапалогія]] |
[[Катэгорыя:Малапамерная тапалогія]] |
||
[[als:Fläche (Topologie)]] |
|||
[[an:Superficie]] |
[[an:Superficie]] |
||
[[ar:سطح]] |
[[ar:سطح]] |
Версія ад 21:32, 21 чэрвеня 2012
Паверхня — традыцыйная назва для двухмернай разнастайнасці ў прасторы.
Спосабы задання
Паверхні вызначаецца як мноства пунктаў, каардынаты якіх задавальняюць вызначанаму віду ўраўненняў:
Калі функцыя бесперапынная ў некаторым пункце і мае ў ёй бесперапынныя частковыя вытворныя, прынамсі адна з якіх не абарачаецца ў нуль, то ў наваколлі гэтага пункта паверхня, зададзеная ўраўненнем (1), будзе правільнай паверхняй.
Апроч азначанага вышэй няяўнага спосабу задання паверхня можа быць вызначана яўна, калі адну з пераменных, напрыклад z, можна выразіць праз астатнія:
Таксама існуе параметрычны спосаб задання. У гэтым выпадку паверхня вызначаецца сістэмай ураўненняў:
Паняцце пра простую паверхню
Інтуітыўна простую паверхню можна прадставіць як кавалак плоскасці, падвергнуты бесперапынным дэфармацыям (расцяжэнням, сціскам і выгінам).
Стражэйша, простай паверхняй завецца вобраз гамеаморфнага адлюстравання (гэта значыць узаемна адназначнага і ўзаемна бесперапыннага адлюстравання) унутранасці адзінкавага квадрата. Гэтаму вызначэнню можна даць аналітычны выраз.
Хай на плоскасці з прамавугольнай сістэмай каардынат u і v зададзены квадрат, каардынаты ўнутраных пунктаў якога задавальняюць няроўнасцям 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гамеаморфная выява квадрата ў прасторы з прамавугольнай сістэмай каардынат х, у, z задаецца пры дапамозе формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрычнае заданне паверхні). Пры гэтым ад функцый x(u, v), y(u, v) і z(u, v) патрабуецца, каб яны былі бесперапыннымі і каб для розных пунктаў (u, v) і (u', v') былі рознымі адпаведныя пункты (x, у, z) і (x', у', z').
Прыкладам простай паверхні з'яўляецца паўсфера. Уся ж сфера не з'яўляецца простай паверхняй. Гэта выклікае неабходнасць далейшага абагульнення паняцця паверхні.
Падмноства прасторы, у кожнага пункта якога ёсць наваколле і якая з'яўляецца простай паверхняй, завецца правільнай паверхняй.
Абагульненне
Пра шматмерныя аналогі тэорыі гл.: