Матрыца (матэматыка)

Матрыца — табліца пэўных элементаў (найчасцей — лікаў). Матрыцы выкарыстоўваюцца для вырашэння сістэм лінейных ураўненняў і для лінейных пераўтварэнняў.

Абазначэнні

Матрыца складаецца са слупкоў і радкоў. Калі яна складаецца з $n$ радкоў і $m$ слупкоў, то кажуць, што памер матыцы роўны $n*m$. Элемент, які знаходзіцца ў i-тым радку і j-тым слупку абазначаецца $a_{ij}$ .

Матрыца, у якой колькасць радкоў ці слупкоў роўная 1, называецца вектарам.

Матрыцы называюцца роўнымі, калі іх адпаведныя элементы роўныя паміж сабой:

$A=B:a_{ij}=b_{ij}\,$ .

Прыклад

$A={\begin{bmatrix}3&0&-2&4\\4&10&0&1\end{bmatrix}}$

А — матрыца памера $2*4$. Складаецца з 2-х радкоў і 4-х слупкоў.

Аперацыі з матрыцамі

Сума

Складанне матрыц заключаецца ў складанні іх адпаведных элементаў. Каб матрыцы можна было скласці, іх памеры павінны супадаць.

$C=A+B:c_{ij}=a_{ij}+b{ij}$

Памнажэнне на лік

Каб памножыць матрыцу на лік, трэба памножыць кожны яе элемент на гэты лік.

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

Здабытак

Каб перамножыць 2 матрыцы, трэба каб колькасць слупкоў у першай супадала з колькасццю радкоў ў 2-ой. Здабытак будзе мець радкоў як у першай і слупкоў як ў 2-ой матрыцы. Кожны элемент здабытку вылічваецца па наступнай формуле:

Сістэмы лінейных ураўненняў

Сістэму лінейных ураўненняў

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}=b_{1}$

$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}=b_{2}$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$

$a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}=b_{n}$

можна запісаць у выглядзе здабытку

$AX=B\,$

Рашэнне гэтай сістэмы заключаецца ў знаходжанні адваротнай матрыцы А-1, бо калі мы памножым папярэдняе ўраўненне на гэтую матрыцу

$A^{-1}AX=A^{-1}B\,$

то зможам атрымаць слупок

$X=A^{-1}B\,$

Віды матрыц

• Нулевая матрыца — матрыца, ў якой усе элементы роўныя 0.
• Квадратная матрыца — матрыца, у якой колькасць радкоў і слупкоў супадае.
• Адзінкавая матрыца — матрыца, у якой усе элементы, якія знаходзяцца на асноўнай дыяганалі (аій: і=й) роўныя адзінцы, а ўсе астатнія роўныя 0.
• Выраджаная матрыца — матрыца, дэтэрмінант якой роўны 0.
• Транспанаваная матрыца — матрыца, у якой слупкі і радкі перамененыя месцамі.
• Адваротная матрыца — матрыца, памнажэнне на якую дае адзінкавую матрыцу.
• Сіметрычная матрыца — матрыца, якая супадае са сваёй транспанаванай матрыцай.
• Трохвугольная матрыца — матрыца, у якой усе элементы ніжэй (вышэй) асноўнай дыяганалі роўныя 0.