Вызначнік (алгебра): Розніца паміж версіямі
[дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
др Mikalai Udodau перанёс старонку Вызначнік, матэматыка у Вызначнік, алгебра |
вікіфікацыя |
||
Радок 53: | Радок 53: | ||
\end{pmatrix}.</math> |
\end{pmatrix}.</math> |
||
'''Вызначнікам''' называецца функцыя ад матрыцы {{math|''A''}}, якая прымае значэнні з [[колца |
'''Вызначнікам''' называецца функцыя ад матрыцы {{math|''A''}}, якая прымае значэнні з [[колца, алгебра|колца]] {{math|''R''}} і задавальняе наступныя ўмовы: |
||
# Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы: |
# Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы: |
||
#:<math>\det E = 1</math> |
#:<math>\det E = 1</math> |
||
Радок 77: | Радок 77: | ||
*: <math>\det A^T = \det A </math> |
*: <math>\det A^T = \det A </math> |
||
* Няхай [[колца |
* Няхай [[колца, алгебра|колца]] {{math|''R''}} ёсць [[поле, алгебра|полем]]. Тады |
||
*:<math>\det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} </math> |
*:<math>\det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} </math> |
||
Версія ад 19:25, 16 студзеня 2013
Вызначнік[1] (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай матрыцы (мнагачлен ад n2 зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца выраджаная. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).
Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных раўнанняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.
Строгае азначэнне
Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы
Няхай
Вызначнік n × n-матрыцы A − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:
дзе складанне адбываецца па ўсіх перастаноўках σ мноства {1,...,n} , sgn(σ) − знак перастаноўкі σ, роўны +1, калі σ цотная, і роўны -1, калі σ няцотная.
Праз адметныя уласцівасці
Няхай
− матрыца, каэфіцыенты aij якой належаць колцу R, у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе адзінка.
Абазначым праз ai i-ты слупок матрыцы A:
Вызначнікам называецца функцыя ад матрыцы A, якая прымае значэнні з колца R і задавальняе наступныя ўмовы:
- Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:
- Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):
- Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):
Уласцівасці
- Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:
- Вызначнік здабытку матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:
- Няхай r ёсць скалярнай велічынёю, A ёсць квадратнай матрыцай парадку n. Тады
- Транспанаванне не змяняе велічыні вызначніка:
- Калі матрыца A трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: aij = 0 пры i > j; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: aij = 0 пры i < j), то яе вызначнік роўны здабытку ейных дыяганальных элементаў:
Вызначнікі малых парадкаў
Для матрыцы першага парадку вызначнік роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:
Для матрыцы 2 × 2 вызначнік роўны
Для матрыцы n × n вызначнік можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як раскаданне па першым радку):
дзе — дадатковы мінор элемента
Заўвага: каб атрымаць дадатковы мінор Mij элемента aij , трэба закрэсліць i-ты радок і j-ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.
Адсюль вынікае, што вызначнік матрыцы 3 × 3 раўняецца:
Зноскі
- ↑ Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
Крыніцы
- Винберг Э.Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.