Упісаная акружнасць

Акружнасць, упісаная ў шматвугольнік ABCDE

Акружнасць называюць упісанай у вугал, калі яна ляжыць ўнутры вугла і кранаецца яго бакоў. Цэнтр акружнасці, упісанай у вугал, ляжыць на бісектрысе гэтага вугла.

Акружнасць называецца ўпісанай у выпуклы шматвугольнік, калі яна ляжыць ўнутры дадзенага шматвугольніка і кранаецца ўсіх яго бакоў.

У шматвугольніку

• Калі ў дадзены выпуклы шматвугольнік можна ўпісаць акружнасць, то бісектрысы ўсіх унутраных кутоў дадзенага шматвугольніка перакрыжощюцца ў адным пункце, які з'яўляецца цэнтрам упісанай акружнасці.

• Радыус упісанай у шматвугольнік акружнасці роўны адносінам яго плошчы да паўперыметра

$r={\frac {S}{p}}$

У трохвугольніку

Уласцівасці ўпісанай акружнасці:

• У кожны трохвугольнік можна ўпісаць акружнасць, прытым толькі адну.
• Цэнтр I упісанай акружнасці называецца інцэнтрам, ён роўнааддалены ад усіх бакоў і з'яўляецца пунктам скрыжавання бісектрыс трыкутніка.
• Радыус упісанай у трохвугольнік акружнасці роўны

$r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}$

• Калі AB — падмурак роўнабаковага $\triangle ABC$, то акружнасць, якая кранаецца бакоў $\angle ACB$ ў пунктах A і B, праходзіць праз інцэнтр трохвугольніка ABC.
• Формула Эйлера: $R^{2}-2Rr=|OI|^{2}$, дзе $R$ — радыус апісанай вакол трохвугольніка акружнасці, $r$ — радыус упісанай у яго акружнасці, O — цэнтр апісанай акружнасці, I — цэнтр упісанай акружнасці.
• Калі прамая, якая праходзіць праз пункт I паралельная баку AB, перасякае бакі BC і CA у пунктах A₁ і B₁, то $A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}$.
• Пункты дотыку ўпісанай у трохвугольнік T акружнасці злучаныя адрэзкамі ствараюць трохкутнік T₁.
  • бісектрысы T з'яўляюцца сярэдзіннымі перпендыкулярамі T₁.
  • Хай T₂ — ортатрохвугольнік T₁. Тады яго бакі паралельныя бакам зыходнага трыкутніка T.
  • Хай T₃ — пасярэдні трохвугольнік T₁. Тады бісектрысы T з'яўляюцца вышынямі T₃.
  • Хай T4 — ортатрохвугольнік T₃, тады бісектрысы T з'яўляюцца бісектрысамі T₄.
• Радыус упісанай ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі a, b і гіпатэнузай c акружнасці роўны ${\frac {a+b-c}{2}}$.
• Адлегласць ад вяршыні С трыкутніка да пункта, у якім упісаная акружнасць кранаецца бока, роўная $d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c$.
• Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўпісанай акружнасці роўная $l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}$, дзе r — радыус упісанай акружнасці, а γ — вугал вяршыні C.
• Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра упісанай акружнасці можа таксама быць знойдзена па формулах $l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}$ и $l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}$
• Тэарэма аб трызубцы ці пра канюшыну: Калі $W$ — пункт перасячэння бісектрысы кута A з апісанай акружнасцю, а I — цэнтр упісанай акружнасці, то $|WI|=|WB|=|WC|$.
• Лема Вер'ера: хай акружнасць $V$ тычыцца бакоў $AB$, $AC$ і дугі $BC$ апісанай акружнасці трохвугольніка $ABC$. Тады пункты дотыку акружнасці $V$ з бакамі і цэнтр упісанай акружнасці трохвугольніка $ABC$ ляжаць на адной прамой.

У чатырохвугольніку

Апісаны чатырохвугольнік, калі ў яго няма самапекрыжаванняў(«просты»), павінен быць выпуклым.

У выпуклы чатырохвугольнік ABCD можна ўпісаць акружнасць тады і толькі тады, калі сумы яго процілеглых бакоў роўныя: $AB+CD=BC+AD$.

Калі ў чатырохвугольнік ўпісана акружнасць, то плошча такога чатырохвугольніка можна вылічыць формулаў: $S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$.

Ва ўсякім апісаным чатырохвугольніку сярэдзіны дыяганалей і цэнтр упісанай акружнасці ляжаць на адной прамой (тэарэма Ньютана). На ёй жа ляжыць сярэдзіна адрэзка з канцамі ў пунктах скрыжавання процілеглых бакоў чатырохвугольніка. Гэтая прамая называецца прамой Гаўса. Цэнтр упісанай у чатырохвугольнік акружнасці — пункт перакрыжавання вышынь трохвугольніка з вяршынямі ў пункце перасячэння дыяганалей і пунктах скрыжавання процілеглых бакоў (тэарэма Брокараў).

У сферычным трохвугольніку

Упісаная акружнасць для сферычнага трохвугольніка — гэта акружнасць, якая кранаецца ўсіх яго бакоў.

• Тангенс радыусу упісанай у сферычны трохвугольнік акружнасці роўны ^:73-74

$\operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(p-a)\sin(p-b)\sin(p-c)}{\sin p}}}\,$

• Упісаная ў сферычны трохвугольнік акружнасць належыць сферы. Радыус, праведзены з цэнтра сферы праз цэнтр упісанай акружнасці перасячэ сферу ў пункце перасячэння бісектрыс вуглоў (дуг вялікіх колаў сферы, якія дзеляць вуглы напалову) сферычнага трохвугольніка^:20-21.

Гл. таксама

• Інцэнтр
• Апісаная акружнасць
• Пазаупісаная акружнасць

Літаратура

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0