Даўжыня крывой: Розніца паміж версіямі

[недагледжаная версія]

Змесціва выдалена Змесціва дададзена

Лінейны

Версія ад 21:49, 7 студзеня 2014

Даўжынёй крывой у метрычнай прасторы $(X,\rho )$ называецца варыяцыя адлюстравання, якім задаецца крывая, г.з. даўжыня крывой $\gamma :[a,b]\to X$ ёсць велічыня, роўная:

\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k}))

,

дзе дакладная верхняя грань бярэцца па ўсіх разбіццях $P$ адрэзка $[a,b]$ .

Звязаныя азначэнні

Калі даўжыня канечная, то кажуць, што крывая выпрастальная, у адваротным выпадку невыпрастальная.

Формулы

Калі крывая належыць класу $C^{1}$ у $\mathbb {R} ^{n}$ , то яе даўжыня роўная:

У трохмернай еўклідавай прасторы $\mathbb {R} ^{3}$ :
$\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt.$
У агульным выпадку n-мернай еўклідавай прасторы $\mathbb {R} ^{n}$ :
$\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}\left(f'_{k}(t)\right)^{2}}}\,dt.$
Калі крывая зададзена ў на плоскасці $\mathbb {R} ^{2}$ як графік функцыі y = f(x), то яе даўжыня роўная
$\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.$

Шаблон:Math-stub

@@ Радок 1: / Радок 1: @@
+'''Даўжынёй крывой''' у [[метрычная прастора|метрычнай прасторы]] <math>(X,\rho)</math> называецца [[варыяцыя функцыі|варыяцыя]] адлюстравання, якім задаецца крывая,
-{{арфаграфія}}
+г.з. [[даўжыня]] крывой <math>\gamma:[a,b]\to X</math> ёсць велічыня, роўная:
-'''Даўжынёй крывой''' у [[метрычная прастора|метрычнай прасторы]] <math>(X,\rho)</math> завецца [[варыяцыя функцыі|варыяцыя]] якая задае крывую адлюстравання,
-г.з. [[даўжыня]] крывой <math>\gamma:[a,b]\to X</math> ёсць велічыня роўная:
 : <math>\sup\limits_{P} \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k))</math>,
 дзе [[дакладная верхняя грань]] бярэцца па ўсіх [[разбіццё|разбіццях]] <math>P</math> [[Адрэзак|адрэзка]] <math>[a,b]</math>.
 == Звязаныя азначэнні ==
-Калі даўжыня канчатковая, то кажуць, што крывая '''выпрастальная''', у адваротным выпадку '''неспрамляемая'''.
+Калі даўжыня канечная, то кажуць, што крывая '''выпрастальная''', у адваротным выпадку '''невыпрастальная'''.
 == Формулы ==
-Калі крывая класа <math>C^1</math> у <math>\R^n</math>, то яе даўжыня роўная:
+Калі крывая належыць класу <math>C^1</math> у <math>\R^n</math>, то яе даўжыня роўная:
+* У трохмернай еўклідавай прасторы <math>\mathbb{R}^3</math>:
+*: <math>\int\limits_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\, dt.</math>
+* У агульным выпадку {{math|''n''}}-мернай еўклідавай прасторы <math>\mathbb{R}^n</math>:
+*: <math>\int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \left( f'_k (t) \right)^2} \, dt.</math>
+* Калі крывая зададзена ў на плоскасці <math>\mathbb{R}^2</math> як графік функцыі {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}}, то яе даўжыня роўная
+*: <math>\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\, dx.</math>
+{{math-stub}}
-* Увогуле выпадку <math>\mathbb{R}^n</math> — <math>\int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \left( f'_k (t) \right)^2} \, dt</math>.
-* У <math>\mathbb{R}^3</math> — <math>\int\limits_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\, dt</math>.
-* Калі крывая зададзеная ў <math>\mathbb{R}^2</math> як ''f(x)'', то даўжыня роўная <math>\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\, dx</math>.
 [[Катэгорыя:Крывыя]]