Пераход між сістэмамі злічэння

Перахо́д між сістэ́мамі злічэ́ння, гэта значыць пераклад ліка з адной сістэмы злічэння ў іншую, можа быць неабходным тады, калі ёсць патрэба апераваць лікамі, прадстаўленымі ў розных сістэмах злічэння. Класічны прыклад – пераклад ліка з дзесятковай сістэмы ў двайковую, або наадварот.

Калі ўжываюцца адразу некалькі сістэм злічэння, то, каб пазбегнуць неадназначнасцяў, пасля ліка ніжнім індэксам запісваюць аснову сістэмы, у якой ён запісаны. Напрыклад, $56_{8}$ абазначае «васемковы лік 56».

Пераклад ліка з дзесятковай сістэмы ў іншую пазіцыйную сістэму

Разгледзім пазіцыйную сістэму злічэння з асновай B (B-ковую сістэму). Лік A, які ў гэтай сістэме запісваецца як ${\overline {d_{1}d_{2}...d_{n}}}$ (дзе $d_{i}$ – лічба B-ковай сістэмы), роўны

$A={\overline {d_{1}d_{2}...d_{n}}}_{B}=d_{1}B^{n-1}+d_{2}B^{n-2}+...+d_{n-2}B^{2}+d_{n-1}B+d_{n}$

Можна заўважыць, што ўсе складаемыя ў выразе справа дзеляцца на B, акрамя $d_{n}$. Гэта значыць, што астатак ад дзялення A на B складае $d_{n}$ (улічваючы, што $d_{i}<B$). У той жа час, дзель гэтага дзялення (яе цэлая частка) будзе складаць

$[(d_{1}B^{n-1}+d_{2}B^{n-2}+...+d_{n-2}B^{2}+d_{n-1}B+d_{n})/B]=d_{1}B^{n-2}+d_{2}B^{n-3}+...+d_{n-2}B+d_{n-1}={\overline {d_{1}d_{2}...d_{n-1}}}_{B}$

Мы атрымалі новы B-ковы лік, і яго апошняя лічба (паводле гэткай жа логікі) ёсць астаткам ад яго дзялення на B. У той жа час, гэтая лічба ёсць перадапошняю лічбай ліка A (у B-ковым прадстаўленні). Такім чынам, паслядоўна дзелячы A (а потым вынік ад дзялення) на B, мы будзем паслядоўна атрымліваць у астатку ўсе лічбы B-ковага ліка A, ад наймалодшай да найстарэйшай.

Вось жа, маем наступны алгарытм перакладу ліка з дзесятковай сістэмы ў B-ковую:

1) падзяліць лік на B. Астатак ад дзялення запісаць як апошнюю лічбу ліка

2) падзяліць вынік ад дзялення на B. Астатак ад дзялення запісаць як перадапошнюю лічбу ліка

3) працягваць п.2, пакуль вынікам ад дзялення не будзе 0. Кожны астатак ад дзялення запісваць злева ад ужо атрыманых лічбаў.

Напрыклад,

Перакласці лік 345 у трайковую сістэму злічэння

345	/ 3 =	115	0
115	/ 3 =	38	1
38	/ 3 =	12	2
12	/ 3 =	4	0
4	/ 3 =	1	1
1	/ 3 =	0	1

Такім чынам, $345_{10}=110210_{3}$.

Пераклад ліка ў дзесятковую сістэму з іншай пазіцыйнай сістэмы

Алгарытм перакладу ліка з B-ковай сістэмы ў дзесятковую палягае ў выкананні адваротных дзеянняў у адваротным парадку:

1) запісаць першую (найстарэйшую) лічбу ліка

2) памножыць яе на B

3) дадаць да выніка наступную (другую злева) лічбу B-ковага ліка

4) памножыць вынік на B

5) працягваць пп. 3 – 4, паслядоўна, злева направа, дадаючы да выніка ўсе лічбы. Пасля таго, як будзе дададзеная апошняя лічба, гэта і будзе дзесятковы запіс гэтага ліка.

Напрыклад,

Перакласці лік 11010011101 з двайковай сістэмы злічэння ў дзесятковую

		1			1	* 2 =	2
2	+	1	=	3;	3	* 2 =	6
6	+	0	=	6;	6	* 2 =	12
12	+	1	=	13;	13	* 2 =	26
26	+	0	=	26;	26	* 2 =	52
52	+	0	=	52;	52	* 2 =	104
104	+	1	=	105;	105	* 2 =	210
210	+	1	=	211;	211	* 2 =	422
422	+	1	=	423;	423	* 2 =	846
846	+	0	=	846;	846	* 2 =	1692
1692	+	1	=	1693

Такім чынам, $11010011101_{2}=1693_{10}$.

У асобных выпадках пераход між сістэмамі злічэння можа быць больш простым. Так, пры пераходзе між двайковай і шаснаццаткавай сістэмамі дастаткова замяніць кожны шаснаццаткавы разрад камбінацыяй з чатырох двайковых разрадаў (або наадварот).