Вытворная функцыі

У кожным пункце вытворная функцыі $\scriptstyle f(x)=1+x\sin(x^{2})$ роўная тангенсу вугла нахілу датычнай да графіка функцыі. Прамая на рысунку з'яўляецца датычнай да сіняй крывой; яе нахіл роўны значэнню вытворнай у адпаведным пункце. Там дзе вытворная дадатная, прамая становіцца зялёнаю, а дзе вытворная адмоўная, там прамая чырвоная. Калі ж вытворная раўняецца нулю, прамая чорная.

Вытво́рная фу́нкцыі — асноўнае паняцце дыферэнцыяльнага злічэння, якое характарызуе хуткасць змянення функцыі пры змяненні яе аргумента. Вызначаецца як граніца дзелі прыросту функцыі на прырост яе аргумента пры імкненні прыросту аргумента да нуля, калі такая граніца існуе.

Функцыю, якая мае канечную вытворную на нейкім мностве, называюць дыферэнцава́льнай на гэтым мностве.

Працэс знаходжання вытворнай называецца дыферэнцава́ннем.

Азначэнне

Скорасць змянення як гранічнае значэнне

Рысунак 1. Датычная ў пункце (x, f(x))

Рысунак 2. Сякучая да крывой y = f(x), вызначаная пунктамі (x, f(x)) і (x+h, f(x+h))

Рысунак 3. Датычная як граніца сякучых

Няхай у некаторым наваколлі $U(x_{0})\subset \mathbb {R}$ пункта $x_{0}\in \mathbb {R}$ вызначана функцыя $f:U(x_{0})\to \mathbb {R} .$

Вытво́рнаю функцыі $f$ у пункце $x_{0}$ называецца граніца

$f'(x_{0}):=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},$

калі яна існуе і канечная.

Вытворную функцыі $y=f(x)$ у пункце $x_{0}$ звычайна абазначаюць адным з наступных спосабаў

$f'(x_{0}),\quad Df(x_{0}),\quad {\frac {df(x_{0})}{dx}},$ або ${\dot {y}}(x_{0}).$

Падрабязней пра ўжыванне кожнага са спосабаў гл. раздзел #Абазначэнні вытворнай.

Заўвага: Вытворная $f'(x_{0})$ функцыі $f$ у пункце $x_{0}$ па азначэнні ёсць граніцаю, а таму можа існаваць або не, і быць канечнай ці бесканечнай.

Анімацыя, якая дае інтуітыўнае ўяўленне аб вытворнай, як "размах" змены функцыі пры змене аргументу.

Спалучаныя з азначэннем паняцці

• Назавём $\Delta x=x-x_{0}$ прыро́стам аргуме́нта функцыі, а $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ прыро́стам значэ́ння функцыі ў пункце $x_{0}.$ Тады

  $f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$

• Няхай функцыя $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ мае канечную вытворную ў кожным пункце $x_{0}\in (a,b).$ Тады вызначана вытворная функцыя

  $f':(a,b)\to \mathbb {R} .$

• Калі вытворная функцыя сама з'яўляецца непарыўнай, то функцыю $f$ называюць непары́ўна дыферэнцава́льнай і пішуць: $f\in C^{(1)}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.$

Дыферэнцавальнасць

Асноўны артыкул: Дыферэнцавальная функцыя

Функцыя адной зменнай f(x) называецца дыферэнцава́льнай у пункце x₀, калі існуе канечны лік A, такі што ў некаторым наваколлі U(x₀) пункта x₀ справядліва роўнасць

$f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(x-x_{0})$ пры $x\to x_{0},$

дзе o(x-x₀) ёсць бесканечна малая велічыня пры x → x₀.

Тэарэма

Функцыя адной зменнай $f(x)$ з'яўляецца дыферэнцавальнай у пункце $x_{0}$, калі і толькі калі яе вытворная $f'(x_{0})$ ў гэтым пункце існуе і канечная. Пры гэтым спраўджваецца роўнасць

$A=f'(x_{0}).$

Заўвага: для функцыі адной зменнай існаванне канечнай вытворнай і дыферэнцавальнасць функцыі ў пункце раўназначныя між сабою. Аднак у выпадку функцый некалькіх зменных гэта не так: з дыферэнцавальнасці функцыі ў пункце вынікае існаванне частковых вытворных, але не наадварот (гэта значыць, з існавання частковых вытворных у пункце, увогуле кажучы, не вынікае дыферэнцавальнасць функцыі).

Вытворныя вышэйшых парадкаў

Вытворныя вышэйшых парадкаў вызначаюцца зваротным чынам праз вытворныя ніжэйшых парадкаў. А іменна, прымаем па азначэнні, што вытворная нулявога парадку — гэта сама функцыя:

$f^{(0)}(x_{0}):=f(x_{0}).$

Калі функцыя $f$ дыферэнцавальная ў $x_{0}$, то вытворная першага парадку вызначаецца як

$f^{(1)}(x_{0}):=f'(x_{0}).$

Няхай цяпер вытворная n-га парадку $f^{(n)}$ вызначана ў некаторым наваколлі кропкі $x_{0}$ і дыферэнцавальная. Тады (n+1)-ая вытворная вызначаецца як вытворная n-ай вытворнай:

$f^{(n+1)}(x_{0}):=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).$

Вытворныя вышэйшых парадкаў абазначаюцца адным з наступных спосабаў:

$f^{(n)}(x_{0}),\quad D^{n}f(x_{0}),$ або ${\frac {d^{n}f(x_{0})}{dx^{n}}}.$

Падрабязней пра абазначэнні гл. раздзел #Абазначэнні вытворнай.

Абазначэнні вытворнай

Лейбніцавы абазначэнні

Абазначэнні, уведзеныя Готфрыдам Лейбніцам, былі аднымі з першых. Яны і дагэтуль шырока ўжываюцца ў выпадку, калі ўраўненне y = f(x) разглядаецца як функцыянальная залежнасць паміж залежнай і незалежнай зменнымі. Першая вытворная абазначаецца як

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),$ або ${\frac {d}{dx}}f(x),$

Калісь такі запіс разглядалі як дзель двух бесканечна малы́х.

Вытворную n-га парадку функцыі y = f(x) (па зменнай x) запісваюць як

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x),$ або ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x).$

Па сутнасці, такія абазначэнні — скарачэнне для кратнага прымянення аператара вытворнай. Напрыклад,

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

У Лейбніцавых абазначэннях вытворную функцыі y у пункце x = a можна запісаць двума шляхамі:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).$

Абазначэнні Лейбніца дазваляюць пазначаць зменную дыферэнцавання (у назоўніку «дробу»). Гэта асабліва зручна для частковых вытворных. Таксама такія пазначэнні дапамагаюць запомніць правіла цэпа:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

Лагранжавы абазначэнні

Гэтыя абазначэнні былі ўведзены Жазэфам-Луі Лагранжам, і з'яўляюцца аднымі з самых распаўсюджаных сучасных абазначэнняў дыферэнцавання. У гэтых абазначэннях вытворную функцыі f(x) запісваюць як f′(x) ці проста f′, выкарыстоўваючы сімвал штрыха. Таму такія абазначэнні часам называюць штрыхавымі. Гэткім жа чынам пазначаюць другую і трэцюю вытворныя, а менавіта:

$(f')'=f''$ і $(f'')'=f'''.$

Ужо для чацвёртай вытворнай ставіць штрыхі становіцца нязручным, і ўзнікае патрэба ўдасканалення гэтых абазначэнняў. Некаторыя аўтары запісваюць парадак вытворнай рымскімі лічбамі ў верхнім індэксе, іншыя ж запісваюць парадак арабскімі лічбамі ў дужках:

$f^{\mathrm {iv} }$ або $f^{(4)}.$

Апошняе абазначэнне лёгка абагульняецца на адвольны парадак вытворнай: запіс f ⁽ⁿ⁾ для n-ай вытворнай функцыі f найбольш ужываны, калі разглядаюць саму вытворную як функцыю (пакідаюча па-за ўвагай «імя» зменнай), тады як Лейбніцавы абазначэнні вельмі грувасткія для гэтых мэт.

Ньютанавы абазначэнні

Ньютанавы абазначэнні для дыферэнцавання, таксама называныя кропкавымі абазначэннямі, выкарыстоўваюць кропкі, якія размяшчаюцца над іменем функцыі і сваёю колькасцю пазначаюць парадак вытворнай. Такім чынам, калі y = f(t), тады запісы

${\dot {y}}$ і ${\ddot {y}}$

абазначаюць адпаведна першую і другую вытворныя y па зменнай t. Гэтыя абазначэнні выкарыстоўваюцца амаль выключна для пазначэння вытворных па часе, маючы на ўвазе, што незалежная зменная функцыі — гэта час (г.зн. адлюстроўвае ход часу). Такія абазначэнні шырока распаўсюджаныя ў фізіцы (асабліва ў механіцы) і галінах матэматыкі, звязаных з фізікаю, такіх як дыферэнцыяльныя ўраўненні. І хоць гэтыя абазначэнні непрыдатныя для запісу вытворных высокіх парадкаў, на практыцы ўжываюцца толькі вытворныя малых парадкаў.

Ойлеравы абазначэнні

Ойлеравы абазначэнні выкарыстоўваюць дыферэнцыяльны аператар D, прымяненне якога да функцыі f дае першую вытворную Df. Другая вытворная абазначаецца як D²f, а n-ая вытворная абазачаецца як Dⁿf.

Няхай y = f(x) — функцыя. Каб падкрэсліць зменную, па якой адбываецца дыферэнцаванне, да сімвала D далучаюць ніжні індэкс x. Тады Ойлеравы абазначэнні запісваюцца як

$D_{x}y$ або $D_{x}f(x)$.

Аднак звычайна, калі і так зразумела, якую зменную маюць на ўвазе, ніжні індэкс апускаюць, так, напрыклад, робяць, калі x адзіная зменная ў выразе.

Ойлеравы абазначэнні зручныя для запісу і развязання лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў.

Геаметрычны і фізічны сэнс вытворнай

Тангенс вугла нахілу датычнай прамой

Асноўны артыкул: Датычная прамая

Калі функцыя $f:U(x_{0})\to \mathbb {R}$ мае канечную вытворную ў пункце $x_{0},$ то ў наваколлі $U(x_{0})$ яе можна прыблізіць лінейнай функцыяй

$f_{l}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).$

Функцыя $f_{l}$ вызначае датычную да графіка $f$ у пункце $x_{0}.$ Лік $f'(x_{0})$ роўны вуглавому каэфіцыенту або тангенсу вугла нахілу датычнай прамой.

Хуткасць змянення функцыі

Хай $s=s(t)$ — закон прамалінейнага руху. Тады $v(t_{0})=s'(t_{0})$ ёсць імгненная хуткасць руху ў момант часу $t_{0}.$ Другая вытворная $a(t_{0})=s''(t_{0})$ ёсць імгненнае паскарэнне ў момант часу $t_{0}.$

Наогул, вытворная функцыі $y=f(x)$ у пункце $x_{0}$ выражае хуткасць змянення функцыі ў пункце $x_{0}$, гэта значыць хуткасць працякання працэсу, апісанага ўраўненнем $y=f(x).$

Прыклады

• Хай $f(x)=x^{2}.$ Тады

$f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.$

• Хай $f(x)=|x|.$ Тады калі $x_{0}\neq 0,$ то

$f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},$

дзе праз $\operatorname {sgn}$ пазначана функцыя знака. Калі ж $x_{0}=0,$ то $f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,$ і, такім чынам, $f'(x_{0})$ не існуе.

Правілы дыферэнцавання

Асноўны артыкул: Табліца вытворных

Гл. таксама: Дыферэнцаванне складанай функцыі

Часцей за ўсё, вытворную знаходзяць не па азначэнні (г.зн. не як граніцу дзелі прыростаў), а з дапамогай правіл дыферэнцавання і табліцы вытворных найпрасцейшых элементарных функцый. Некалькі такіх правіл прыведзена ніжэй.

• Правіла сталай: калі f(x) ёсць сталая функцыя, то

$f'=0.\,$

• Правіла сумы:

$(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,$ для любых функцый f і g і любых рэчаісных лікаў $\alpha$ і $\beta$.

• Правіла Лейбніца або правіла здабытку:

$(fg)'=f'g+fg'\,$ для любых функцый f і g.

• Правіла дзелі:

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ для любых функцый f і g ў любых пунктах x, дзе g(x) ≠ 0.

• Ланцуговае правіла: Няхай $h(x)=f(g(x))$ — складаная функцыя, тады

$h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).$

• Калі функцыя f — адваротная да g (гэта значыць g(f(x)) = x і f(g(y)) = y), то

$g'(x)={\frac {1}{f'(g(x))}}.$

Уласцівасці вытворнай

• Калі функцыя дасягае ў пункце $~x$ свайго найбольшага (або найменшага) значэння і дыферэнцавальная ў гэтым пункце, то $~f'(x)=0$ (гэта сцвярджэнне яшчэ называюць лемай Ферма).

Дыферэнцавальнасць і непарыўнасць

• Функцыя, дыферэнцавальная ў пункце, непарыўная ў ім. Аднак з непарыўнасці дыферэнцавальнасць не вынікае.
• Калі функцыя дыферэнцавальная на прамежку $(a,b)$, то яна і непарыўная на гэтым прамежку.

Гл. таксама

• Табліца вытворных
• Вытворная ў матэматыцы
• Дыферэнцаванне складанай функцыі
• Першаісная
• Абагульненні вытворных
• Асноўная тэарэма аналізу
• Геаметрычны сэнс вытворнай
• Эканамічны сэнс вытворнай

Літаратура

• Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.

• В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»

Спасылкі

• Анлайн-калькулятар вытворных
• Анлайн калькулятар вытворных — вылічэнне вытворных любой складанасці, у т. л. трыганаметрычных, гіпербалічных, лагарыфмічных і інш.