Характарыстыка кальца: Розніца паміж версіямі
[дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
Artsiom91Bot (размовы | уклад) др аўтаматычнае выдаленне шаблонаў стабаў |
др clean up, перанесена: не існуе → няма (3) з дапамогай AWB |
||
Радок 1: | Радок 1: | ||
'''Характары́стыка''' ([[Кальцо, матэматыка|кальца]] ці [[Поле, алгебра|поля]]) — найменшы лік {{math|''n''}}, такі што складанне {{math|''n''}} адвольных аднолькавых элементаў кальца дасць у выніку нуль. |
'''Характары́стыка''' ([[Кальцо, матэматыка|кальца]] ці [[Поле, алгебра|поля]]) — найменшы лік {{math|''n''}}, такі што складанне {{math|''n''}} адвольных аднолькавых элементаў кальца дасць у выніку нуль. |
||
Калі такога дадатнага ліку |
Калі такога дадатнага ліку няма, тады кажуць, што кальцо мае '''нулявую характарыстыку'''. |
||
Гэта значыць, што характарыстыка кальца {{math|''R''}} (калі яна не роўная нулю) ёсць найменшы [[натуральны лік]] ''n'', такі што для любога элемента {{math|''x''}} з кальца {{math|''R''}} справядліва роўнасць |
Гэта значыць, што характарыстыка кальца {{math|''R''}} (калі яна не роўная нулю) ёсць найменшы [[натуральны лік]] ''n'', такі што для любога элемента {{math|''x''}} з кальца {{math|''R''}} справядліва роўнасць |
||
Радок 12: | Радок 12: | ||
то найменшы з такіх лікаў <math>n</math> называецца '''характарыстыкай''' кальца <math>R</math> і абазначаецца сімвалам <math>\operatorname{char} R</math>. Пры гэтым кальцо <math>R</math> называецца '''кальцом дадатнай характарыстыкі''' <math>\operatorname{char} R</math>. |
то найменшы з такіх лікаў <math>n</math> называецца '''характарыстыкай''' кальца <math>R</math> і абазначаецца сімвалам <math>\operatorname{char} R</math>. Пры гэтым кальцо <math>R</math> называецца '''кальцом дадатнай характарыстыкі''' <math>\operatorname{char} R</math>. |
||
Калі ж такіх лікаў <math>n</math> |
Калі ж такіх лікаў <math>n</math> няма, то лічаць <math>\operatorname{char} R = 0</math> і называюць <math>R</math> '''кальцом характарыстыкі нуль'''. |
||
У выпадку, калі кальцо <math>R</math> утрымлівае адзінку, азначэнне трохі спрашчаецца. У гэтым выпадку характарыстыку звычайна вызначаюць як найменшы ненулявы лік {{math|''n''}}, такі што |
У выпадку, калі кальцо <math>R</math> утрымлівае адзінку, азначэнне трохі спрашчаецца. У гэтым выпадку характарыстыку звычайна вызначаюць як найменшы ненулявы лік {{math|''n''}}, такі што |
||
:<math>n\cdot 1=0,</math> |
:<math>n\cdot 1=0,</math> |
||
калі ж такога {{math|''n''}} |
калі ж такога {{math|''n''}} няма, то характарыстыка лічыцца роўнай нулю. |
||
== Прыклады == |
== Прыклады == |
Версія ад 19:45, 26 жніўня 2021
Характары́стыка (кальца ці поля) — найменшы лік n, такі што складанне n адвольных аднолькавых элементаў кальца дасць у выніку нуль. Калі такога дадатнага ліку няма, тады кажуць, што кальцо мае нулявую характарыстыку.
Гэта значыць, што характарыстыка кальца R (калі яна не роўная нулю) ёсць найменшы натуральны лік n, такі што для любога элемента x з кальца R справядліва роўнасць
Характарыстыка кальца R абазначаецца як char R.
Азначэнне
Няхай — адвольнае кальцо. Калі існуе такі дадатны лік , што для любога элемента выконваецца роўнасць
то найменшы з такіх лікаў называецца характарыстыкай кальца і абазначаецца сімвалам . Пры гэтым кальцо называецца кальцом дадатнай характарыстыкі .
Калі ж такіх лікаў няма, то лічаць і называюць кальцом характарыстыкі нуль.
У выпадку, калі кальцо утрымлівае адзінку, азначэнне трохі спрашчаецца. У гэтым выпадку характарыстыку звычайна вызначаюць як найменшы ненулявы лік n, такі што
калі ж такога n няма, то характарыстыка лічыцца роўнай нулю.
Прыклады
- Характарыстыкі кальца цэлых лікаў , поля рацыянальных лікаў , поля рэчаісных лікаў , поля камплексных лікаў роўныя нулю.
- Характарыстыка кальца вылікаў роўная .
- Характарыстыка канечнага поля (дзе — просты лік, — натуральны лік) раўняецца .
Уласцівасці
- Калі кальцо з адзінкай і без дзельнікаў нуля мае дадатную характарыстыку , то яна з'яўляецца простым лікам. Такім чынам, характарыстыка любога поля ёсть альбо , альбо просты лік . У першым выпадку поле утрымлівае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю рацыянальных лікаў , у другім выпадку поле утрымлівае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю вылікаў . У абодвух выпадках гэтае падполе называецца простым полем (уключаным у ).
- Характарыстыка любога поля — просты лік ці нуль. Характарыстыка канечнага поля заўсёды дадатная, аднак з таго, што характарыстыка поля дадатная, не вынікае, што поле канечнае. У якасці контрпрыкладаў можна прывесці поле рацыянальных функцый з каэфіцыентамі ў і алгебраічнае замыканне поля .
- Калі — камутатыўнае кальцо простай характарыстыкі , то
- для ўсіх , . Для такіх кольцаў можна вызначыць эндамарфізм Фрабеніуса .
Літаратура
- Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
- Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.