Адваротная матрыца

Адваротная матрыца — такая матрыца A⁻¹, пры дамнажэнні на якую, зыходная матрыца A дае ў выніку адзінкавую матрыцу E:

$\!AA^{-1}=A^{-1}A=E.$

Квадратная матрыца абарачальная тады і толькі тады, калі яна нявыраджаная, гэта значыць яе вызначнік не роўны нулю. Для неквадратных матрыц і выраджаных матрыц адваротных матрыц не існуе. Аднак магчыма абагульніць гэта паняцце і ўвесці псеўдаадваротныя матрыцы, падобныя на адваротныя па многіх уласцівасцях.

Уласцівасці адваротнай матрыцы

• $\det A^{-1}={\frac {1}{\det A}},$ дзе $\det$ абазначае вызначнік.
• $\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ для любых дзвюх абарачальных матрыц $A$ і $B$.
• $\ (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T},$ дзе $*^{T}$ абазначае транспанаваную матрыцу.
• $\ (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$ для любога каэфіцыента $k\not =0$.
• Калі неабходна рашыць сістэму лінейных ураўненняў $Ax=b$, (b — ненулявы вектар) дзе $x$ — шуканы вектар, і калі $A^{-1}$ існуе, то $x=A^{-1}b$. У адваротным выпадку альбо размернасць прасторы рашэнняў большая за нуль, альбо іх няма зусім.

Прыклады

Матрыца 2х2

$A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.$

Абарачэнне матрыцы 2х2 магчыма толькі пры ўмове, што $ad-bc=\det A\neq 0$.