Закон Кюры

Закон Кюры — фізічны закон, які апісвае магнітную ўспрымальнасць парамагнетыкаў, якая пры пастаяннай тэмпературы для гэтага віду матэрыялаў прыблізна прама прапарцыянальная прыкладзенаму магнітнаму полю. Закон Кюры пастуліруе, што пры змене тэмпературы і пастаянным знешнім поле, ступень намагнічанасці парамагнетыкаў зваротна прапарцыянальная тэмпературы:

$M=C\cdot {\frac {B}{T}},$

дзе ў адзінках Міжнароднай сістэмы адзінак (СІ): $M$ — намагнічанасць матэрыялу, якая атрымліваецца; $B$ — магнітнае поле, як вымяраецца ў Тэслах; $T$ — абсалютная тэмпература ў Кельвінах; $C$ — пастаянная Кюры дадзенага матэрыялу. Гэтыя суадносіны, атрыманае эксперыментальна П. Кюры, выконваюцца толькі пры высокіх тэмпературах або слабых магнітных палях. У адваротным выпадку — гэта значыць пры нізкіх тэмпературах або пры моцных палях — намагнічанасць не падпарадкоўваецца гэтаму закону.

Вывад закона з выкарыстаннем квантавай статыстычнай механікі

Магнітная ўспрымальнасць парамагнетыка як функцыя тэмпературы.

Простыя мадэлі парамагнетыкаў засноўваюцца на здагадцы, што гэтыя матэрыялы складаюцца з частак або абласцей (парамагнетонаў), якія не ўзаемадзейнічаюць адзін з адным. Кожная вобласць мае ўласны магнітны момант, які можна пазначыць вектарнай велічынёй ${\vec {\mu }}$. Энергія моманту магнітнага поля можа быць запісана наступным чынам:

$E=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}$

Вобласці з двума станамі (спін-1/2)

Для таго, каб спрасціць вывад, выкажам здагадку, што кожная з абласцей разгляданага парамагнетыка мае два станы моманту, кірунак якога можа супадаць з кірункам магнітнага поля або быць накіраваным ў процілеглы бок. У дадзеным выпадку магчымыя толькі два значэнні магнітнага моманту $\mu$, $-\mu$ і два значэння энергіі $E_{0}=-\mu B$ и $E_{1}=\mu B$. Пры пошуку магнітнай успрымальнасці парамагнетsка вызначаецца імавернасць для кожнай вобласці апынуцца ў стане, сунакіраваным магнітнаму полю. Іншымі словамі, вызначаецца матэматычнае чаканне намагнічанасці матэрыялу $\mu$:

$\left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\sinh(\mu B\beta ),$

дзе імавернасць сістэмы апісваецца размеркаваннем Больцмана, статыстычная сума $Z$ забяспечвае нармалізацыю імавернасцей. Функцыя, якая нармуе, для адной вобласці можа быць прадстаўлена наступным чынам:

$Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right)$

Такім чынам, у двухспінавай мадэлі мы маем :

$\left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right)$

Выкарыстоўваючы атрыманы выраз для адной вобласці, атрымліваем магнітную ўспрымальнасць ўсяго матэрыялу:

$M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)$

Выведзеная вышэй формула носіць назву ўраўнення Ланжавэна для парамагнетыкаў. П. Кюры ў ходзе эксперыментаў выявіў набліжэнне да гэтага закона, якое выконвалася пры высокіх тэмпературах і слабых магнітных палях. Выкажам здагадку, што абсалютнае значэнне тэмпературы $T$ вялікае, а $B$ мала. У дадзеным выпадку, часам званым рэжымам Кюры, велічыня аргументу гіпербалічнага тангенса малая:

$\left({\mu B \over kT}\right)\ll 1$

І так як вядома, што ў выпадку $|x|\ll 1$ выконваюцца суадносіны:

$\tanh x\approx x,$

атрымліваем вынік:

$\mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={N\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},$

дзе канстанта Кюры роўная $C=N\mu ^{2}/k$. Таксама варта адзначыць, што ў процілеглым выпадку нізкіх тэмператур і моцных палёў, $M$ і $N\mu$ маюць тэндэнцыю прымаць максімальныя значэнні, што адпавядае выпадку, калі ўсе вобласці маюць магнітны момант, які супадае па кірунку з магнітным полем.

Агульны выпадак

У агульным выпадку адвольнага размеркавання напрамкаў магнітных момантаў формула становіцца некалькі больш складанай (гл.англ.: Brillouin function). Як толькі значэнне спіна набліжаецца да бясконцасці, формула для магнітнай успрымальнасці прымае класічны выгляд.

Атрыманне з дапамогай класічнай статыстычнай механікі

Альтэрнатыўны падыход мяркуе, што парамагнетоны прадстаўляюць з сябе вобласці з магнітнымі момантамі, якія свабодна верцяцца. У дадзеным выпадку іх становішча вызначаецца вугламі ў сферычных каардынатах, а энергія адной вобласці прадстаўляецца ў выглядзе:

$E=-\mu B\cos \theta ,$

дзе $\theta$ — вугал паміж кірункам магнітнага моманту і кірункам магнітнага поля, які, выкажам здагадку, накіраваны ўздоўж каардынаты $z$. Адпаведная функцыя для адной вобласці будзе мець выгляд:

$Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).$

Як відаць, у дадзеным выпадку няма відавочнай залежнасці ад вугла $\phi$, і мы таксама можам ажыццявіць замену зменнай $y=\cos \theta$$y=\cos \theta$, што дазваляе атрымаць:

$Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}$

Матэматычнае чаканне кампаненты $z$ будзе адпавядаць ступені намагнічанасці, а астатнія дзве звернуцца ў нуль пасля інтэгравання па $\phi$:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].$

Для спрашчэння вылічэнняў, запішам выраз у дыферэнцыяльнай форме па зменнай $Z$:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over ZB}\partial _{\beta }Z,$

што дае:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),$

дзе $L$ носіць назву функцыі Ланжавэна:

$L(x)=\coth x-{1 \over x}.$

Гэтая функцыя мае сінгулярнасць (разрыў) для маленькіх значэнняў $x$, але на самой справе няма, так як дзве сінгулярнасці кампаненты з процілеглым знакам захоўваюць бесперапыннасць функцыі. На самай справе, яе паводзіны пры невялікіх значэннях аргументу $L(x)\approx x/3$, што захоўвае дзеянне закона Кюры, але з утрая меншым пастаянным множнікам-канстантай Кюры. У выпадку мяжы з вялікім значэннем аргументу прымяненне гэтай функцыі таксама магчыма.

Прымяненне

Захаванне закона Кюры для парамагнетыкаў ў слабым магнітным полі дазваляе іх выкарыстанне ў якасці магнітных тэрмометраў.

Гл. таксама

• Закон Кюры — Вейса
• Парамагнетызм
• П’ер Кюры

Спасылкі

• Закон Кюри — статья с сайта Элементы.ру
• Закон Кюры — артыкул з БСЭ