Падгрупа

Група, алгебра

Тэорыя груп Асноўныя паняцці Падгрупа Нармальная падгрупа Фактаргрупа (паў-)Прамы здабытак Тапалагічныя групы Група Лі Артаганальная група O(n) Спецыяльная ўнітарная група SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Група Лорэнца Група Пуанкарэ

Падгрупа ― падмноства $H$ групы $G$, якое само з'яўляецца групай адносна аперацыі, якая вызначаецца $G$.

Падмноства $H$ групы $G$ з'яўляецца яе падгрупай тады і толькі тады, калі:

• $H$ змяшчае адзінкавы элемент з $G$
• змяшчае здабытак любых двух элементаў з $H$,
• змяшчае разам з усякім сваім элементам $h$ адваротны да яго элемент $h^{-1}$.

У выпадку канечных і, наогул, перыядычных груп праверка другой ўмовы з'яўляецца залішняй.

Прыклады

• Падмноства групы $G$, якое складаецца з аднаго элемента 1, будзе, відавочна, падгрупай, і гэтая падгрупа называецца адзінкавай падгрупай групы $G$.
• Сама $G$ таксама з'яўляецца сваёй падгрупай.

Звязаныя азначэнні

• Усякая падгрупа, якая адрозніваецца ад усёй групы, называецца сапраўднай падгрупай гэтай групы. Сапраўдная падгрупа некаторай бясконцай групы можа быць ізаморфнай самой групе.
• Сама група $G$ і адзінкавая падгрупа называюцца няўласнымі падгрупамі групы $G$, усе астатнія ― уласнымі.
• Перасячэнне ўсіх падгруп групы $G$, якія змяшчаюць усе элементы некаторага непустога мноства $M$, называецца падгрупай, спароджанай мноствам $M$, і абазначаецца $<M>$.
• Калі $M$ складаецца з аднаго элемента $a$, то $<a>$ называецца цыклічнай падгрупай элемента $a$.
  • Група, якая супадае з адной з сваіх цыклічных падгруп, называецца цыклічнай групай.
• Калі група $G_{1}$ ізаморфная некаторай падгрупе $H$ групы $G$, то кажуць, што група $G_{1}$ можа быць ўкладзена ў групу $G$.

Уласцівасці

• Непустое мноства $H\subset G$ з'яўляецца падгрупай групы $G$ тады і толькі тады, калі для любых $a,b\in H$ выконваецца $ab^{-1}\in H.$
• Тэарэтыка-множнае перасячэнне любых двух (і любога мноства) падгруп групы $G_{1}$ з'яўляецца падгрупай групы $G$.
• Тэарэтыка-множнае аб'яднанне падгруп, наогул кажучы, не абавязана з'яўляцца падгрупай. Аб'яднаннем падгруп $H$ і $K$ называецца падгрупа, спароджаная аб'яднаннем мностваў $H\cup K$.
• Гамаморфны вобраз падгруп ― падгрупа.
• Калі дадзеныя дзве групы і кожная з іх ізаморфная некаторай сапраўднай падгрупе іншай, то адсюль яшчэ не вынікае ізамарфізм саміх гэтых груп.

Гл. таксама

• Нармальная падгрупа
• Фактаргрупа

Літаратура

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — м: Наука, 1967. — 648 с.
• Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — м: МЗ Пресс, 2007. — С. 24-25. — 224 с.