Адлюстроўваючая функцыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Адлюстроўваючая функцыя (руск.: отражающая функция) — функцыя, якая злучае мінулы стан сістэмы з яе будучым станам у сіметрычны момант часу. Паняцце адлюстроўваючай функцыі ўведзена Уладзімірам Іванавічам Міроненкам.

Дэфініцыя[правіць | правіць зыходнік]

Хай \varphi(t;t_0,x) ёсць агульнае рашэнне у форме Кашы сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў \dot x=X(t,x), рашэнні якой адназначна вызначаюцца сваімі пачатковымі дадзенымі. Адлюстроўваючая функцыя гэтай сістэмы вызначаецца формулай F(t,x)=\varphi(-t;t,x).

Ужыванне[правіць | правіць зыходнік]

Для \,2\omega-перыядычнай па зменнай t сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў з адлюстроўваючай функцыяй \,F(t,x) адлюстраванне \,\Pi(x) за перыяд \,[-\omega;\omega] (адлюстраванне Пуанкарэ) знаходзіцца па формуле \,\Pi(x)=F(-\omega,x). Таму веданне адлюстроўваючай функцыі дазваляе знаходзіць пачатковыя дадзеныя \,(\omega,x_0) для \,2\omega-перыядычных рашэнняў \varphi(t;-\omega,x_0) разглядваемай сістэмы і даследаваць гэтыя рашэнні на устойлівасць па Ляпунову. Адлюстроўваючая функцыя \,F(t,x) сістэмы \dot x=X(t,x) задавальняе так званым асноўным суадносінам

\,F_t+F_x X+X(-t,F)=0, \,F(0,x)=x.

З дапамогай гэтых суадносін усталёўваецца, што для шматлікіх неінтэгруемых у квадратурах сістэм дыферэнцыяльных раўнанняў адлюстраванне \,\Pi(x) за перыяд \,[-\omega;\omega] можа быць знойдзена нават праз элементарныя функцыі. У гэтым адлюстроўваючая функцыя можа быць супастаўлена з інтэгравальным множнікам.

Адлюстроўваючая функцыя выкарыстоўваецца пры даследаванні пытанняў існавання і ўстойлівасці перыядычных рашэнняў краявых задач для сістэм дыферэнцыяльных раўнанняў.


Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]