Даўжыня крывой

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Даўжынёй крывой у метрычнай прасторы (X,\rho) называецца варыяцыя адлюстравання, якім задаецца крывая, г.з. даўжыня крывой \gamma:[a,b]\to X ёсць велічыня, роўная:

\sup\limits_{P} \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k)),

дзе дакладная верхняя грань бярэцца па ўсіх разбіццях P адрэзка [a,b].

Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Калі даўжыня канечная, то кажуць, што крывая выпрастальная, у адваротным выпадку невыпрастальная.

Формулы[правіць | правіць зыходнік]

Калі крывая належыць класу C^1 у \R^n, то яе даўжыня роўная:

  • У трохмернай еўклідавай прасторы \mathbb{R}^3:
    \int\limits_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\, dt.
  • У агульным выпадку n-мернай еўклідавай прасторы \mathbb{R}^n:
    \int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \left( f'_k (t) \right)^2} \, dt.
  • Калі крывая зададзена на плоскасці \mathbb{R}^2 як графік функцыі y = f(x), то яе даўжыня роўная
    \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\, dx.