Даўжыня крывой

Даўжынёй крывой у метрычнай прасторы $(X,\rho)$ завецца варыяцыя якая задае крывую адлюстравання, г.з. даўжыня крывой $\gamma:[a,b]\to X$ ёсць велічыня роўная:

$\sup\limits_{P} \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k))$,

дзе дакладная верхняя грань бярэцца па ўсіх разбіццях $P$ адрэзка $[a,b]$.

Звязаныя азначэнні

Калі даўжыня канчатковая, то кажуць, што крывая выпрастальная, у адваротным выпадку неспрамляемая.

Формулы

Калі крывая класа $C^1$ у $\R^n$, то яе даўжыня роўная:

• Увогуле выпадку $\mathbb{R}^n$ — $\int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \left( f'_k (t) \right)^2} \, dt$.
• У $\mathbb{R}^3$ — $\int\limits_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\, dt$.
• Калі крывая зададзеная ў $\mathbb{R}^2$ як f(x), то даўжыня роўная $\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\, dx$.