Няроўнасць Чабышова

Няроўнасць Чaбышова, таксама вядомая як няроўнасць Б’енэме-Чaбышова, — няроўнасць з тэорыі меры і тэорыі імавернасцей. Яна была ўпершыню сфармулявана Б’енэме ў 1853 годзе (праўда, без доказу), а пасля даказана Чабышовым. Няроўнасць, якая выкарыстоўваецца ў тэорыі меры, з’яўляецца больш агульнай чым тая, што выкарыстоўваецца ў тэорыі імавернасцей — у тэорыі імавернасцей выкарыстоўваецца яе вынік.

Няроўнасць Чaбышова ў тэорыі імавернасцей

У тэорыі імавернасцей, няроўнасць Чaбышова гарантуе, што ў любым размеркаванні імавернасцей, «амаль усе» значэнні будуць блізкія да сярэдняга, больш дакладна, доля значэнняў, аддаленых ад сярэдняга больш чым на $k$ стандартных адхіленняў, не большая за $1/k^{2}$. Інакш кажучы, няроўнасць дае ацэнку імавернасці таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне, далёкае ад свайго сярэдняга. Няроўнасць Чaбышова з’яўляецца вынікам няроўнасці Маркава.

Фармулёўкі

Няхай выпадковая велічыня $X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ вызначана на імавернаснай прасторы $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, а яе матэматычнае чаканне $\mu$ і дысперсія $\sigma ^{2}$ канечныя. Тады

$\mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}},$

дзе $a>0.$

Калі $a=k\sigma$, дзе $\sigma$ — стандартнае адхіленне і $k>0,$ тады атрымаем

$\mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}.$

У прыватнасці, выпадковая велічыня з канечнай дысперсіяй адхіляецца ад сярэдняга больш, чым на $2$ стандартныя адхіленні, з імавернасцю менш $25\%.$ Яна ж адхіляецца ад сярэдняга на $3$ стандартныя адхіленні з імавернасцю менш $11{,}2\,\%.$ Іншымі словамі, у граніцах $2\sigma$ (2-х стандартных адхіленняў) знаходзяцца па меншай меры ${100}{-}{25}{=}{75\,\%}$ значэнняў, а ў граніцах $3\sigma$ знаходзяцца па меншай меры ${100}{-}{11{,}2}{=}{88{,}8\,\%}$ значэнняў.

Для найважнейшага выпадку аднамадальных размеркаванняў Няроўнасць Высачанскага — Пятуніна істотна ўзмацняе няроўнасць Чaбышова, уключаючы ў сябе дзель $4/9$ і набліжае няроўнасць Чaбышова да правіла трох сігм (ужываецца для нармальнага размеркавання). Як вынік, размеркаванне змяняецца, і ў граніцах $3\sigma$ знаходзяцца «амаль усе» (а дакладней, $95{,}06\,\%$) значэнні выпадковай велічыні.

Гл. таксама

• Няроўнасць Маркава

Літаратура

• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М., 1976.

Спасылкі

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Няроўнасць Чабышова
• Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва(недаступная спасылка)