Кампактыфікацыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

У агульнай тапалогіі кампактыфіка́цыя — аперацыя, якая пераўтворыць адвольныя тапалагічныя прасторы ў кампактныя.

Фармальна кампактыфікацыя прасторы X вызначаецца як пара (Y,\;f), дзе Y кампактна, f:X \to Y гамеамарфізм на свой ​​вобраз f(X) і f(X) шчыльна ў Y.

На кампактыфікацыях некаторай фіксаванай прасторы X можна ўвесці частковы парадак. Пакладзем f_1 \leqslant f_2 для двух кампактыфікацый f_1: X \to Y_1, f_2: X \to Y_2, калі існуе бесперапыннае адлюстраванне g: Y_2 \to Y_1 такое, што g f_2 = f_1. Максімальны (з дакладнасцю да гамеамарфізма) элемент у гэтым парадку называецца кампактыфікацыяй Стоўна — Чэха[1] і пазначаецца \beta X. Для таго, каб у прасторы X існавала кампактыфікацыя Стоўна — Чэха, якая задавальняе аксіёме аддзельнасці Хаусдорфа, неабходна і дастаткова, каб X задавальняла аксіоме аддзельнасці T_{3\frac{1}{2}}, г.зн. была цалкам рэгулярным.

Аднакропкавая кампактыфікацыя (або кампактыфікацыя Аляксандрава) ўладкованая наступным чынам. Няхай Y=X \cup \{\infty\} і адкрытымі мноствамі ў Y лічацца ўсе адкрытыя мноства X, а таксама мноства выгляду O \cup \{\infty\}, дзе O \subseteq X мае кампактнае (у X) дапаўненне. f бярэцца як натуральнае ўкладанне X у Y. (Y,\; f) тады кампактыфікацыя, прычым Y хаусдарфавае тады і толькі тады, калі X хаусдарфавае і лакальна кампактнае.

Прыклады аднакропкавай кампактыфікацыі[правіць | правіць зыходнік]

\R \cup \{\infty\} з тапалогіяй, сканструяванай як паказана вышэй, з'яўляецца кампактнай прасторай. Няцяжка даказаць, што калі дзве прасторы гамеаморфныя, то і адпаведныя аднакропкавыя кампактыфікацыі гамеаморфныя. У прыватнасці, так як акружнасць на плоскасці без адной кропкі гамеаморфная з \R (прыклад гамеамарфізму — стэрэаграфічная праекцыя), цэлая акружнасць гамеаморфная з \R \cup \{\infty\}. Аналагічна, \mathbb R^n \cup \{\infty\} гамеаморфна c n-мернай гіперсферай.

Зноскі

  1. Таксама «стоўнчэхаўская кампактыфікацыя» і «чэхстоўнава кампактыфікацыя».