Мультыплікатыўная функцыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

У тэорыі лікаў, мультыплікатыўная функцыяарыфметычная функцыя f(m), такая што

f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)

для любых узаемна простых лікаў m_1 і m_2.

Звычайна мяркуецца, што f(m) не роўная тоесна нулю, гэта раўназначна ўмове

f(1)=1.

Мультыплікатыўная функцыя называецца моцна мультыплікатыўнаю, калі

f(p^\alpha) = f(p)

для ўсіх простых p і ўсіх натуральных \alpha.

У тэорыі лікаў функцыі f(m), якія задавальняюць умову мультыплікатыўнасці для ўсіх натуральных m_1, m_2, называюцца цалкам мультыплікатыўнымі (поўнасцю мультыплікатыўнымі).

Варта адзначыць, што па-за тэорыяй лікаў пад мультыплікатыўнаю функцыяй разумеюць любую функцыю f, вызначаную на некаторым мностве X так, што

f(x_1 x_2) = f(x_1) f(x_2)

для любых x_1, x_2 \in X.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Калі f(m) — мультыплікатыўная функцыя, то функцыя

g(m) = \sum_{d|m} f(d)

таксама будзе мультыплікатыўнаю. Наадварот, калі функцыя g(m), вызначаная гэтымі суадносінамі, з'яўляецца мультыплікатыўнаю, то і зыходная функцыя f(m) таксама мультыплікатыўная.

Больш таго, калі f(m) і g(m) — мультыплікатыўныя функцыі, то мультыплікатыўнаю будзе і іх згортка Дзірыхле

h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right).

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Кубилюс Й. П. Мультипликативная арифметическая функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.) — М.: Советская энциклопедия. — Т. 3.
  • Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
  • Paul T. Baterman, Harold G. Diamond. 2.5 Multiplicative functions // Analytic Number Theory. An introductory course — Singapore: World Scientific Publishing, 2004. — С. 31—38. — ISBN 981-238-938-5.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]