Першаісная

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Першаі́сная[1] функцыі f(x) − такая функцыя F(x), вытворная якой для ўсіх x з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі f(x), гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць


F'(x) = f(x).

Сукупнасць усіх першаісных функцыі f(x) на прамежку (a,b) называецца нявы́значаным інтэгра́лам[1] і пазначаецца сімвалам


\int f(x)\,dx.

Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграва́ннем.

Уласцівасці нявызначанага інтэграла[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі F(x) − першаісная функцыі f(x) на прамежку (a,b), то ўсякая першаісная функцыі f(x) на гэтым прамежку ма́е выгляд F(x) + C, дзе C - адвольная сталая[2].

Сувязь з дыферэнцыялам і вытворнай[правіць | правіць зыходнік]

\left(\int f(x)\,dx\right)' = f(x) ,
\int F'(x)\,dx = F(x) + C .
d\left (\int f(x)\,dx \right ) = f(x)\,dx ,
\int d(F(x)) = F(x)+C .

Лінейнасць нявызначанага інтэграла[правіць | правіць зыходнік]

  • Няхай a ≠ 0 ёсць ненулявою сталаю, тады
\int a\,f(x)\,dx = a \int f(x)\,dx .
  • Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:
\int (f(x) + g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx .

Сувязь з інтэгралам Рымана[правіць | правіць зыходнік]

  • Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана. Няхай f(x) непарыўная на прамежку [a , b]. Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой

F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt

ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b] [2].


\int\limits_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),

называная формулай Ньютана-Лейбніца.

Асноўныя метады інтэгравання[правіць | правіць зыходнік]

Лінейныя пераўтварэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Метад раскладання. Калі
    g(x)= g_1(x) + g_2(x), \,
    то
    \int g(x)\,dx = \int g_1(x)\,dx + \int g_2(x)\,dx. \,

Метад падстаноўкі[правіць | правіць зыходнік]

  • Увядзенне новага аргумента. Калі
    \int g(x)\,dx = G(x) + C, \,
    то
    \int g(u)\,du = G(u) + C, \,
    дзе u = \varphi (x) \, — непарыўна дыферэнцавальная функцыя.
  • Метад падстаноўкі. Калі g(x) — непарыўная, то, прымаючы
    x = \varphi (t), \,
    дзе \varphi (t) \, — непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем
    \int g(x)\,dx = \int g(\varphi (t))\,\varphi' (t)\,dt.

Інтэграванне па частках[правіць | правіць зыходнік]

\int u\,dv = uv - \int v\,du. \,

Першаісная ў камплексным аналізе[правіць | правіць зыходнік]

  • Функцыя f(z) мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.
  • Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.

Прыклад:


\int\limits_1^z \frac{dt}{t} = \operatorname{Ln} z

Першаісныя найпрасцейшых элементарных функцый[правіць | правіць зыходнік]

У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй (тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная). Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы[3]:


\int e^{-x^2}\,dx,\qquad
\int \sin(x^2)\,dx, \qquad
\int \frac{e^x}{x}\,dx, \qquad
\int \frac{\sin x}{x}\,dx, \qquad
\int\frac{dx}{\ln x}.

У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый[2][3]:

\int 0 \, dx = C ;
\int 1 \, dx = x + C ;
\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C, \qquad (\alpha \ne -1); \,
\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C ; \,
\int e^x\,dx = e^x + C ; \,
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \qquad (a>0, \ a \ne 1); \,
\int \cos x \,dx = \sin x + C ; \,
\int \sin x \,dx = - \cos x + C ; \,
\int \frac {dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C ; \,
\int \frac {dx}{\sin^2 x} = - \operatorname{ctg} x + C ; \,
\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = - \arccos x + C_1, \qquad (C_1 = \frac {\pi}{2} + C); \,
\int \frac {dx}{1+x^2} = \operatorname{arctg} x + C; \,
\int \operatorname{ch} x\,dx = \operatorname{sh} x + C; \,
\int \operatorname{sh} x\,dx = \operatorname{ch} x + C; \,

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

  1. 1,0 1,1 Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.
  2. 2,0 2,1 2,2 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления — Москва: Физматгиз, 1962. — Т. 2.
  3. 3,0 3,1 Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.