Першаісная

Першаі́сная функцыі f(x) − такая функцыя F(x), вытворная якой для ўсіх x з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі f(x), гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць

$F'(x) = f(x).$

Сукупнасць усіх першаісных функцыі f(x) на прамежку (a,b) называецца нявы́значаным інтэгра́лам і пазначаецца сімвалам

$\int f(x)\,dx.$

Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграва́ннем.

Уласцівасці нявызначанага інтэграла

• Калі F(x) − першаісная функцыі f(x) на прамежку (a,b), то ўсякая першаісная функцыі f(x) на гэтым прамежку ма́е выгляд F(x) + C, дзе C - адвольная сталая.

Сувязь з дыферэнцыялам і вытворнай

• Сувязь першаіснай з вытворнаю

$\left(\int f(x)\,dx\right)' = f(x) ,$

$\int F'(x)\,dx = F(x) + C .$

• Сувязь першаіснай з дыферэнцыялам

$d\left (\int f(x)\,dx \right ) = f(x)\,dx ,$

$\int d(F(x)) = F(x)+C .$

Лінейнасць нявызначанага інтэграла

• Няхай a ≠ 0 ёсць ненулявою сталаю, тады

$\int a\,f(x)\,dx = a \int f(x)\,dx .$

• Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:

$\int (f(x) + g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx .$

Сувязь з інтэгралам Рымана

• Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана. Няхай f(x) непарыўная на прамежку [a , b]. Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой

$F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt$

ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b] .

• Формула Ньютана-Лейбніца. Няхай F(x) ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b], тады праўдзіцца роўнасць

$\int\limits_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),$

называная формулай Ньютана-Лейбніца.

Асноўныя метады інтэгравання

Лінейныя пераўтварэнні

• Метад раскладання. Калі

  $g(x)= g_1(x) + g_2(x), \,$

  то

  $\int g(x)\,dx = \int g_1(x)\,dx + \int g_2(x)\,dx. \,$

Метад падстаноўкі

• Увядзенне новага аргумента. Калі

  $\int g(x)\,dx = G(x) + C, \,$

  то

  $\int g(u)\,du = G(u) + C, \,$

  дзе $u = \varphi (x) \,$ — непарыўна дыферэнцавальная функцыя.

• Метад падстаноўкі. Калі $g(x)$ — непарыўная, то, прымаючы

  $x = \varphi (t), \,$

  дзе $\varphi (t) \,$ — непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем

  $\int g(x)\,dx = \int g(\varphi (t))\,\varphi' (t)\,dt.$

Інтэграванне па частках

• Метад інтэгравання па частках. Калі $u$ і $v$ — нейкія дыферэнцавальныя функцыі ад x, то

$\int u\,dv = uv - \int v\,du. \,$

Першаісная ў камплексным аналізе

• Функцыя f(z) мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.

• Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.

Прыклад:

$\int\limits_1^z \frac{dt}{t} = \operatorname{Ln} z$

Першаісныя найпрасцейшых элементарных функцый

У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй (тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная). Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы:

$\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \sin(x^2)\,dx, \qquad \int \frac{e^x}{x}\,dx, \qquad \int \frac{\sin x}{x}\,dx, \qquad \int\frac{dx}{\ln x}.$

У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый:

$\int 0 \, dx = C ;$

$\int 1 \, dx = x + C ;$

$\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C, \qquad (\alpha \ne -1); \,$

$\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C ; \,$

$\int e^x\,dx = e^x + C ; \,$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \qquad (a>0, \ a \ne 1); \,$

$\int \cos x \,dx = \sin x + C ; \,$

$\int \sin x \,dx = - \cos x + C ; \,$

$\int \frac {dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C ; \,$

$\int \frac {dx}{\sin^2 x} = - \operatorname{ctg} x + C ; \,$

$\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = - \arccos x + C_1, \qquad (C_1 = \frac {\pi}{2} + C); \,$

$\int \frac {dx}{1+x^2} = \operatorname{arctg} x + C; \,$

$\int \operatorname{ch} x\,dx = \operatorname{sh} x + C; \,$

$\int \operatorname{sh} x\,dx = \operatorname{ch} x + C; \,$

Гл. таксама

• Вытворная функцыі
• Інтэграл Рымана
• Спіс інтэгралаў