Размовы:Прынцып нявызначанасці Гейзенберга

Артыкул трэба дапоўніць наступным чынам. На планкаўскiм узроўні асноўную ролю будуць адыгрываць суадносіны нявызначанасцяў $\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}$, дзе $r_{g}$ - радыус Шварцшыльда (цi гравітацыйны радыус), $r$ - радыяльная каардыната, $\ell _{P}$ - планкаўская даўжыня. Гэтыя суадносiны з'яўляюцца іншай формай суадносін нявызначанасцяў Гейзенберга паміж імпульсам і каардынатай у дачыненні да планкаўскага маштаба. Сапраўды, гэтыя суадносіны можна напісаць у наступным выглядзе: $\Delta (2GM/c^{2})\Delta r\geq G\hbar /c^{3}$, дзе $G$ - гравітацыйная пастаянная, $M$ - маса цела, $c$ - хуткасць святла, $\hbar$ - пастаянная Дзiрака. Скарачаючы злева і справа аднолькавыя канстанты, прыходзім да суадносін нявызначанасцяў Гейзенберга $\Delta (Mc)\Delta r\geq \hbar /2$. Усталяваныя суадносіны нявызначанасцяў прадказваюць з'яўленне віртуальных чорных дзюр (квантавай пены) на планкаўскам маштабе і паказваюць, што флуктуацыі хуткасці фатонаў $\Delta c$ пры іх распаўсюдзе праз усю Метагалактыку вызначаюцца не планкаўской даўжынёй $\ell _{P}$, а яе квадратам $\ell _{P}^{2}$, так што гэтыя флуктуацыі будуць невымерна малыя і аддаленые зоркi будуць выразнымі нават на метагалактычных адлегласцях. Пры гэтым ўзнікненне віртуальных планкаўскiх чорных дзюр (флуктуацый квантавай пены, асновы «тканіны» Сусвету) на планкаўскiм маштабе аказваецца энергетычна найбольш выгадным ў трохмернай прасторы, што, магчыма, абумовіла трохвымернасць назіранай прасторы (гл. кнiгу: Мирозданье постигая ...: [физико-философские очерки], Александр Климец, выд-во Питер ПЭН, 2007, с.86-98; c.105-109, Нацыянальная бібліятэка Беларусі, а таксама тут).

Доказ

Ураўненне Эйнштэйна мае выгляд $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ дзе $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-(1/2)g_{\mu \nu }\,R$ - тэнзар Эйнштэйна, які складаецца з тэнзара Рыччы, скалярнай крывизны і метрычнага тэнзара, $\Lambda$ - касмалагічныя пастаянная, $T_{\mu \nu }$ - тэнзар энергіі-імпульсу матэрыі, $\pi$ - лік, $c$ - хуткасць святла, $G$ -гравітацыйная пастаянная Ньютана. Гэта ўраўненне можа быць запісана як ${\frac {1}{4\pi }}(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu })=2\left({G \over c^{3}}\right)\left({1 \over c}\,T_{\mu \nu }\right)$ дзе $\left({1 \over c}\,T_{\mu \nu }\right)$ - шчыльнасць энергіі-імпульсу матэрыі. Пры вывадзе сваіх ураўненняў Эйнштэйн выказаў здагадку, што фізічны прастора-час з'яўляецца рыманавым, г.зн. скрыўленым. Невялікая яго вобласць з'яўляецца прыблізна плоскай. Для любога тэнзарнага поля $N_{\mu \nu ...}$ велічыню $N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}$ мы можам назваць тэнзарнай шчыльнасцю, дзе $g$ з'яўляецца вызначальнікам метрычнага тэнзара $g_{\mu \nu }$. Інтэграл $\int N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ з'яўляецца тэнзарам калі вобласць прасторы-часу малая. Ён не з'яўляецца тэнзарам калі вобласць прасторы-часу не малая, таму што ён тады складаецца з сумы тэнзараў, размешчаных у розных кропках і ён не трансфармуецца якім-небудзь простым чынам пры пераўтварэнні каардынатаў (Дзiрак П.A.M. (1978), Агульная тэорыя адноснасці, Масква, Атамiздат, с.39). Тут мы разгледзім толькі невялікія вобласцi. Гэта таксама дакладна і для інтэгравання па трохмернай гіперпаверхні $S^{\nu }$. Такім чынам, ўраўненні Эйнштэйна для малай прасторава-часовай вобласці можа быць інтэграваны па трохмернай гіперпаверхні $S^{\nu }$. Маем ${\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }={2G \over c^{3}}\int \left({\frac {1}{c}}T_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ Паколькі інтэгруемая вобласць прасторы-часу малая, мы атрымаем тэнзарнае ўраўненне $R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }$ дзе $P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ - ${\mu }$-кампанента 4-імпульсу матэрыі, $R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ - ${\mu }$-кампанента радыусу крывізны малой вобласці. Так як $P_{\mu }=mc\,U_{\mu }$ то $R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{g}\,U_{\mu }$ дзе $r_{g}$ - радыус Шварцшыльда, $U_{\mu }$ - 4-хуткасць, $m$ - гравітацыйная маса. Гэты запіс раскрывае фізічны сэнс $R_{\mu }$. Тут $R_{\mu }R^{\mu }=r_{g}^{2}$ (параўнайце з $dx_{\mu }dx^{\mu }=dS^{2}$). Існуе падабенства паміж атрыманым тэнзарным ўраўненнем і выразам для гравітацыйнага радыусу цела. Сапраўды, для статычнага сферычна-сіметрычнага поля і статычнага размеркавання рэчывы маем $U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)$. У гэтым выпадку мы атрымліваем $R_{0}={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{0}={\frac {2G\,m}{c^{2}}}=r_{g}$ У невялікім участку прастора-час амаль плоскiя, і гэта ўраўненне можна запісаць у выглядзе аператара ${\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial \,x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial \,x^{\mu }}}$ дзе $\hbar$ - пастаянная Дзiрака. Камутатарам аператараў ${\hat {R}}_{\mu }$ i ${\hat {x}}_{\mu }$ з'яўляецца $[{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}$ Адсюль вынікаюць суадносіны нявызначанасці $\sigma _{R_{\mu }}\sigma _{x_{\mu }}\geq \ell _{P}^{2}$ Падстаўляючы значэння $R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}m\,c\,U_{\mu }$ i $\ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}$ і скарачаючы справа і злева аднолькавыя сімвалы, мы атрымліваем прынцып нявызначанасці Гейзенберга. $\sigma _{P_{\mu }}\sigma _{x_{\mu }}=\sigma _{(mc\,U_{\mu })}\sigma _{x_{\mu }}\geq {\frac {\hbar }{2}}$ Паколькі $R_{\mu }=({2G}/{c^{3}})\,P_{\mu }$ і $P_{\mu }=\hbar \,k_{\mu }$, тады $R_{\mu }=\ell _{P}^{2}\,k_{\mu }$, дзе $k_{\mu }$ - хвалевый 4-вектар. Гэта значыць, што $R_{\mu }$ (радыус Шварцшыльда) квантован, але крок квантавання вельмі малы. У прыватным выпадку статычнага сферычна-сіметрычнага поля і статычнага размеркавання рэчывы $U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)$ i застаецца $\sigma _{R_{0}}\sigma _{x_{0}}=\sigma _{r_{g}}\sigma _{r}\geq \ell _{P}^{2}$ дзе $r_{g}$ - радыус Шварцшыльда, $r$ -радыяльная каардыната. Тут $R_{0}=r_{g}$ i $x_{0}=c\,t=r$, так як матэрыя рухаецца з хуткасцю святла ў маштабе Планка. Апошнiя суадносіны нявызначанасцяў дазваляюць зрабіць нам некаторыя ацэнкі ўраўненняў агульнай тэорыі адноснасці ў маштабе Планка. Напрыклад, ўраўненне для інварыянтнага інтэрвала $dS$ ў вырашэнні Шварцшильда мае выгляд $dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{g}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$ Падстаўляя ў адпаведнасці з адносінамi нявызначанасцi $r_{g}\approx \ell _{P}^{2}/r$ мы атрымаем $dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$ Відаць, што ў маштабе Планка $r=\ell _{P}$ метрыка прасторы-часу абмежавана знізу планкаўскай даўжыней і ў такім маштабе існуюць рэальныя і віртуальныя планкаўскiя чорныя дзіркі. Другі прыклад. Хуткасць святла ў гравітацыйным полі мае наступны выгляд: $c\,'=c\,(1+2\,\varphi /c^{2})=c\,(1-r_{g}/r)$. Таму хуткасць святла i яго флуктуацыі на планкаўскiм маштабе мае выгляд: $c'\approx c\,(1-\ell _{P}^{2}/\Delta \lambda ^{2})$. Тут $\varphi$ - гравітацыйны патэнцыял, $\lambda$ - даўжыня хвалі святла. Ваганні хуткасцi фатонаў вызначаюцца велічынёй $\ell _{P}^{2}/\Delta \lambda ^{2}$ (але не $\ell _{P}/\Delta \lambda$), таму гэтыя ваганні невымерна малыя і выявы аддаленых зорак будуць рэзкімі нават на мэтагалактычных адлегласцях.

Alexander Klimets (размовы) 13:45, 12 сакавіка 2017 (+03)