Прынцып нявызначанасці Гейзенберга

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Квантавая механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Прынцып нявызначанасці Гейзенберга
Уводзіны
Матэматычныя асновы
Гл. таксама «Фізічны партал»


Прынцып нявызначанасці Гейзенберга (або Гайзенберга) у квантавай механіцы — фундаментальная няроўнасць (суадносіны нявызначанасцей), якая ўстанаўлівае мяжу дакладнасці адначасовага вызначэння пары квантавых назіраных, што характарызуюць сістэму, апісваных некамутуруючымі аператарамі (напрыклад, каардынаты і імпульсу, тока і напружання, электрычнага і магнітнага поля). Суадносіны нявызначанасцей [* 1] задае ніжнюю мяжу для здабытку сярэднеквадратовых адхіленняў пары квантавых назіраных. Прынцып нявызначанасці, адкрыты Вернерам Гейзенбергам ў 1927 г., з'яўляецца адным з краевугольных камянёў квантавай механікі.

Кароткі агляд[правіць | правіць зыходнік]

Суадносіны нявызначанасцей Гейзенберга з'яўляюцца тэарэтычнай мяжой дакладнасці адначасовых вымярэнняў двух некамутуючых назіраных. Яны справядлівыя як для ідэальных вымярэнняў, часам званых вымярэннямі фон Нэймана, так і для неідэальных вымярэнняў. [* 2]

Згодна з прынцыпу нявызначанасцей у часціцы не могуць быць адначасова дакладна вымераныя становішча і хуткасць (імпульс)[* 3]. Прынцып нявызначанасці ўжо ў выглядзе, першапачаткова прапанаваным Гейзенбергам, выкарыстоўваецца і ў дачыненні і ў выпадку, калі не рэалізуецца ні адна з двух крайніх сітуацый (цалкам вызначаны імпульс і цалкам нявызначаная прасторавая каардыната — ці цалкам нявызначаны імпульс і цалкам вызначаная каардыната).

Прыклад: часціца з пэўным значэннем энергіі, якая знаходзіцца ў скрынцы з сценкамі, што ідэальна адлюстроўваюць; яна не характарызуецца ні пэўным значэннем імпульсу (улічваючы яго кірунак![* 4]), ні якім-небудзь пэўным «становішчам» або прасторавай каардынатай (хвалевая функцыя часціцы делакалізавана на ўсю прастору скрынкі, гэта значыць яе каардынаты не маюць пэўнага значэння, лакалізацыя часціцы ажыццёўлены не дакладней памераў скрынкі).

Суадносін нявызначанасцей не абмяжоўваюць дакладнасць аднаразовага вымярэння любой велічыні (для шматмерных велічынь тут маецца на ўвазе ў агульным выпадку толькі адна кампанента). Калі яе аператар камутуецца сам з сабой у розныя моманты часу, то не абмежаваная дакладнасць і шматразовага (або бесперапыннага) вымярэння адной велічыні. Напрыклад, суадносіны нявызначанасцей для свабоднай часціцы не замінае дакладнаму вымярэнню яе імпульсу, але не дазваляе дакладна вымераць яе каардынату (гэта абмежаванне называецца стандартная квантавая мяжа для каардынаты).

Суадносіны нявызначанасцей ў квантавай механіцы ў матэматычным сэнсе ёсць прамое следства нейкай уласцівасці пераўтварэння Фур'е[* 5].

Існуе дакладная колькасная аналогія паміж суадносінамі нявызначанасці Гейзенберга і ўласцівасцямі хваль або сігналаў. Разгледзім пераменны ў часе сігнал, напрыклад гукавую хвалю. Бессэнсоўна казаць пра частотны спектр сігналу ў які-небудзь момант часу. Для дакладнага вызначэння частаты неабходна назіраць за сігналам на працягу некаторага часу, такім чынам губляючы дакладнасць вызначэння часу. Іншымі словамі, гук не можа адначасова мець і дакладнае значэнне часу яго фіксацыі, як яго мае вельмі кароткі імпульс, і дакладнага значэння частаты, як гэта мае месца для бесперапыннага (і ў прынцыпе бясконца доўгага ) чыстага тону (чыстай сінусоіды). Часовае становішча і частата хвалі матэматычна цалкам аналагічныя каардынаце і (квантава-механічнага) імпульсу часціцы. Што зусім не дзіўна, калі ўспомніць, што p_x = \hbar k_x, г. зн. імпульс у квантавай механіцы — гэта і ёсць прасторавая частата ўздоўж адпаведнай каардынаты .

У паўсядзённым жыцці мы звычайна не назіраем квантавую нявызначанасць таму, што значэнне \hbar надзвычайна малае, і таму суадносіны нявызначанасцей накладваюць такія слабыя абмежаванні на хібнасці вымярэння, якія загадзя непрыкметныя на фоне рэальных практычных хібнасцей [* 6]нашых прыбораў або органаў пачуццяў.

Вызначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Калі маецца некалькі (шмат) ідэнтычных копій сістэмы ў дадзеным стане, то вымераныя значэнні каардынаты і імпульсу будуць падпарадкоўвацца вызначанаму размеркаванні імавернасці — гэта фундаментальны пастулат квантавай механікі. Вымераючы велічыню сярэднеквадратычнага адхілення \Delta x каардынаты і сярэднеквадратычнага адхіленні \Delta p імпульсу, мы знойдзем што:

 \Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} ,

дзе ħ — прыведзеная пастаянная Планка.

Адзначым, што гэта няроўнасць дае некалькі магчымасцей — стан можа быць такім, што x можа быць вымераны з высокай дакладнасцю, але тады p будзе вядомы толькі прыблізна, ці наадварот p можа быць вызначаны дакладна, у той час як x — не. Ва ўсіх жа іншых станах і x, і p могуць быць вымераныя з «разумнай» (але не адвольна высокай) дакладнасцю.

Варыянты і прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Абагульнены прынцып нявызначанасці[правіць | правіць зыходнік]

Прынцып нявызначанасці не адносіцца толькі да каардынаты і імпульсу (як ён быў упершыню прапанаваны Гейзенбергам). У сваёй агульнай форме ён выкарыстоўваецца і ў дачыненні да кожнай пары спалучаных зменных. У агульным выпадку, і ў адрозненне ад выпадку каардынаты і імпульсу, што абмеркаваны вышэй, ніжняя мяжа здабытку «нявызначанасцей» двух спалучаных зменных залежыць ад стану сістэмы. Прынцып нявызначанасці становіцца тады тэарэмай ў тэорыі аператараў, якая будзе прыведзена далей.

Тэарэма. Для любых самаспалучаных аператараў : A\colon H \to H і B\colon H \to H, і любога элемента x з H такога, што ABx і BAx абодва вызначаны (гэта значыць, у прыватнасці, Ax і Bx таксама вызначаны), маем :

 \langle x|AB|x \rangle \langle x|BA|x \rangle = \left|\langle Bx|Ax\rangle\right|^2 \leqslant \left|\langle Ax|Ax\rangle\right| \left|\langle Bx|Bx\rangle\right| = \|Ax\|^2\|Bx\|^2

Гэта прамое следства няроўнасці Кашы — Бунякоўскага.

Такім чынам, верная наступная агульная форма прынцыпу нявызначанасці, упершыню выведзеная ў 1930 г. Говардам Персі Робертсанам і (незалежна) Эрвінам Шродзінгерам:

 \frac{1}{4} |\langle x|AB-BA|x \rangle|^2 \leqslant \|Ax\|^2\|Bx\|^2.

Гэтую няроўнасць называюць суадносінамі Робертсана — Шродзінгера.

Аператар AB-BA называюць камутатарам A і B і пазначаюць як [A,B]. Ён вызначаны для тых x, для якіх вызначаны абодваABx і BAx.

З суадносін Робертсана — Шродзінгера неадкладна вынікаюць суадносіны нявызначанасці Гейзенберга:

Выкажам здагадку, A і B — дзве фізічныя велічыні, якія звязаны з самаспалучанымі аператарамі. Калі AB\psi і BA\psi вызначаныя, тады:

 \Delta_{\psi}A\,\Delta_{\psi}B \geqslant \frac{1}{2}\left|\left\langle\left[A,{B}\right]\right\rangle_\psi\right|,

дзе :

\left\langle X\right\rangle_\psi = \left\langle\psi|X|\psi\right\rangle

— сярэдняе значэнне аператара велічыні X ў стане \psi сістэмы, і

\Delta_{\psi}X = \sqrt{\langle{X}^2\rangle_\psi-\langle{X}\rangle_\psi^2}

— аператар стандартнага адхілення велічыні X ў стане \psi сістэмы.

Прыведзеныя вышэй вызначэння сярэдняга і стандартнага адхілення фармальна вызначаны выключна ў тэрмінах тэорыі аператараў. Зацвярджэнне становіцца аднак больш значным, як толькі мы заўважым, што яны з'яўляюцца фактычна сярэднім і стандартным адхіленнем вымеранага размеркавання значэнняў. Гл. квантавая статыстычная механіка.

Тое ж самае можа быць зроблена не толькі для пары спалучаных аператараў (напрыклад каардынаты і імпульсу, або працягласці і энергіі), але наогул для любой пары эрмітавых аператараў. Існуе стаўленне нявызначанасці паміж напружанасцю поля і лікам часціц, які прыводзіць да з'явы віртуальных часціц.

Магчыма таксама існаванне двух некамутуючых самаспалучаных аператараў A B, якія маюць адзін і той жа уласны вектар \psi. У гэтым выпадку \psi прадстаўляе сабой чысты стан, які з'яўляецца адначасова вымерна для A і B.

Агульныя назіраныя зменныя, якія падпарадкоўваюцца прынцыпу нявызначанасці[правіць | правіць зыходнік]

Папярэднія матэматычныя вынікі паказваюць, як знайсці суадносіны нявызначанасцей паміж фізічнымі зменнымі, а іменна, вызначыць значэнні пар зменных A і B, камутатар якіх мае пэўныя аналітычныя ўласцівасці.

  • самае вядомае стаўленне нявызначанасці — паміж каардынатай і імпульсам часціцы ў прасторы:
 \Delta x_i \Delta p_i \geqslant \frac{\hbar}{2}
 \Delta J_i \Delta J_j \geqslant \frac {\hbar} {2} \left |\left\langle J_k\right\rangle\right |
дзе i, j, k розныя і J_i пазначае вуглавой момант ўздоўж восі x_i.
  • наступнае стаўленне нявызначанасці паміж энергіяй і часам часта прадстаўляецца ў падручніках фізікі, хоць яго інтэрпрэтацыя патрабуе асцярожнасці, так як не існуе аператара, які прадстаўляе час:
 \Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}
  • Варта падкрэсліць, што для выканання ўмоў тэарэмы, неабходна, каб абодва самаспалучаных аператары былі вызначаны на адным і тым жа мностве функцый. Прыкладам пары аператараў, для якіх гэта ўмова парушаецца, можа служыць аператар праекцыі вуглавога моманту L_z і аператар азімутальнага вугла \varphi. Першы з іх з'яўляецца самаспалучаным толькі на мностве 2π-перыядычных функцый, у той час як аператар \varphi, відавочна, выводзіць з гэтага мноства. Для вырашэння ўзніклай праблемы можна замест \varphi ўзяць \sin \varphi, што прывядзе да наступнай форме прынцыпу нявызначанасці[** 1]:
 \langle (\Delta L_z)^2 \rangle \langle (\Delta \sin \varphi)^2 \rangle \geqslant \frac{\hbar^2}{4} \langle (\cos \varphi)^2 \rangle .
Аднак, пры \langle (\varphi)^2 \rangle \ll \pi^2 ўмова перыядычнасці неістотна і прынцып нявызначанасці прымае звыклы выгляд:
 \langle (\Delta L_z)^2 \rangle \langle (\Delta \varphi)^2 \rangle \geqslant \frac{\hbar^2}{4}.

Выраз канчатковай даступнай колькасці інфармацыі Фішэра[правіць | правіць зыходнік]

Прынцып нявызначанасці альтэрнатыўна выводзіцца як выраз няроўнасці Крамера — Раа ў класічнай тэорыі вымярэнняў, у выпадку калі вымяраецца становішча часціцы. Сярэдне-квадратычны імпульс часціцы ўваходзіць у няроўнасць як інфармацыя Фішэра.

Прынцып нявызначанасці ў папулярнай літаратуры[правіць | правіць зыходнік]

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Для кожнай пары спалучаных велічынь маецца сваё суадносіны нявызначанасцей, хоць і тое, якое мае адзін і той жа выгляд \Delta A\cdot\Delta B\geqslant\hbar; таму гэты тэрмін часта ўжываюцца ў множным ліку (суадносіны нявызначанасцей), як у тым выпадку, калі гаворка ідзе аб суадносінах нявызначанасцей наогул, так і ў выпадках, калі маюцца на ўвазе некалькі канкрэтных суадносін для розных велічынь, а не для толькі адной пары.
  2. Існуюць, аднак, спосабы частковага абыходу гэтых абмежаванняў, звязаныя са слабымі вымярэннямі.
  3. Гэта ў прынцыпе тычыцца не толькі часціц, але і любых дынамічных аб'ектаў, напрыклад, палі, для якога аналагам каардынат у часціцы служаць палявыя зменныя, а аналагам кампанент імпульсу у часціцы — кананічныя імпульсы, звязаныя з зменай поля з часам.
  4. У прыкладзе з часціцай ў скрынцы модуль імпульсу, праўда, вызначаны, але затое не вызначана яго кірунак
  5. Прасцей за ўсё гэта ўласцівасць можа быць праілюстравана такім разважаннем . Хай ёсць некаторая функцыя f(x) і яе фур'е-выява(спектр) F(k) — г. зн. f(x) = \int F(k) e^{ikx} dk. Відавочна , што калі мы «сціснем функцыю f» па x у A раз, г. зн. пяройдзем да функцыі fA(x)=f(Ax)), то яе спектр расцягнецца ў столькі ж разоў: FA(k)=const·F(k/A), паколькі частата кожнай спектральнай гармонікі e^{ikx} гэтага раскладання павінны будуць відавочна памножыцца на A. Гэтая ілюстрацыя, строга кажучы, вядома, носіць даволі прыватны характар​​, аднак яна агаляе фізічны сэнс ілюстраванай уласцівасці: калі мы сціскаем сігнал, яго частоты ва столькі ж разоў павялічваюцца. Не нашмат складаней прамым вылічэннем атрымаць аналагічны выснову для выпадку гаусавых хвалевых пакетаў, паказаўшы , што паўшырыня гаусавага хвалевага пакета зваротна прапарцыянальная паўшырыне яго спектру (які мае таксама выгляд Гаўса). Могуць быць даказаны і больш агульныя тэарэмы, зводныя дакладна да суадносінах нявызначанасцей Гейзенберга, толькі без \hbar у правай частцы (ці, інакш кажучы, у дакладнасці паўтараючыя суадносінам нявызначанасцей Гейзенберга пры \hbar = 1).
  6. Тут маюцца на ўвазе хібнасці, якія маюць не квантавую прыроду, а паходзяць з недастатковай тонкасці вырабу, уплыву цеплавых і іншых шумоў т.п..

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Крыніцы
  1. А. С. Давыдов Квантовая механика, 2-ое изд., — м: Наука, 1973.
Часопісныя артыкула
Аб суадносінах нявызначанасцей Шродзінгера

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]