Тэарэма Карно, тэрмадынаміка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэма Карнотэарэма пра каэфіцыент карыснага дзеяння (ККД) цеплавых рухавікоў. Згодна з гэтай тэарэмай, ККД цыклу Карно не залежыць ад прыроды працоўнага цела і канструкцыі цеплавога рухавіка і з'яўляецца функцыяй тэмператур награвальніка і халадзільніка[1].

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

У 1824 г. Садзі Карно прыйшоў да высновы: "рухальная сіла цяпла не залежыць ад агентаў, узятых для яе развіцця; яе колькасць выключна вызначаецца тэмпературамі цел, паміж якімі, у канчатковым рахунку, вырабляецца перанос цеплароду"

Логіка разваг Карно была такая: «... можна з дастатковай падставай параўнаць рухальную сілу цяпла з сілай падаючай вады: абедзве маюць максімум, які нельга перасягнуць, якая б ні была б у адным выпадку машына для выкарыстання дзеянні вады, і ў іншым - рэчыва, адведзены для развіцця сілы цяпла

Рухальная сіла падаючай вады залежыць ад вышыні падзення і колькасці вады; рухаючая сіла цяпла таксама залежыць ад колькасці ужытага цеплароду і залежыць ад таго, што можна назваць і што мы насамрэч і будзем называць вышынёй яго падзення, - гэта значыць ад рознасці тэмператур цел, паміж якімі адбываецца абмен цеплароду. Пры падзенні вады рухальная сіла строга прапарцыянальная рознасці узроўняў у верхнім і ніжнім рэзервуары. Пры падзенні цеплароду рухальная сіла без сумневу ўзрастае з рознасцю тэмператур паміж гарачым і халодным целамі ... ».

Некаторыя сучасныя аўтары (К. В. Глаголещ, А. Н. Марозаў з МДТУ ім. Н. Э. Баумана) гавораць ужо аб двух тэарэмах Карно, цытата: "Прыведзеныя вышэй развагі дазваляюць перайсці да фармулёўкі першай і другой тэарэм Карно. Іх можна сфармуляваць у выглядзе двух наступных сцвярджэнняў:

1. Каэфіцыент карыснага дзеяння любой зварачальнай цеплавой машыны, якая працуе па цыклу Карно, не залежыць ад прыроды працоўнага цела і прылады машыны, а з'яўляецца функцыяй толькі тэмпературы награвальніка і халадзільніка: \,\!\eta = 1 - F(T_H,T_X)

2. Каэфіцыент карыснага дзеяння любой цеплавой машыны, якая працуе па незваротнам цыкле, менш каэфіцыента карыснага дзеяння машыны з зварачальным цыклам Карно, пры ўмове роўнасці тэмператур іх награвальнікаў і халадзільнікаў: \,\!\eta_n < \!\eta_o»

Іншыя аўтары (напрыклад, Б. М. Яворскі і Ю. А. Селязнёў) паказваюць на тры аспекты адной тэарэмы Карно, цытата (cм. стар 151-152.):

«3°. Тэрмічны ККД зварачальнага цыклу Карно не залежыць ад прыроды працоўнага цела і вызначаецца толькі тэмпературамі награвальніка T_H і халадзільніка T_X:

\,\!\eta_k = \frac{T_H-T_X}{T_H} = 1 - \frac{T_X}{T_H}

\,\!\eta_k < 0, бо практычна немагчыма ажыццявіць ўмову T_H \rightarrow oo і тэарэтычна немагчыма ажыццявіць халадзільнік, у якога: T_X = 0.

4°. Тэрмічны ККД \,\!\eta_o адвольнага зварачальнага цыклу не можа перавышаць тэрмічны ККД зварачальнага цыклу Карно, ажыццёўленага паміж тымі ж тэмпературамі T_H і T_X награвальніка і халадзільніка:

\,\!\eta_o < \frac{T_H-T_X}{T_H}.

5°. Тэрмічны ККД \,\!\eta_n адвольнага незваротнага цыклу заўсёды менш тэрмічнага ККД зварачальнага цыклу Карно, праведзенага паміж тэмпературамі T_H і T_X:

\,\!\eta_n < \frac{T_H-T_X}{T_H}.

Пункты 3° - 5° складаюць змест тэарэмы Карно.»

Доказы тэарэмы Карно[правіць | правіць зыходнік]

Існуе некалькі розных доказаў гэтай тэарэмы.

Доказ Садзі Карно[правіць | правіць зыходнік]

... У розных палажэннях поршань адчувае ціску больш ці менш значныя з боку паветра, які знаходзіцца ў цыліндры; пругкая сіла паветра змяняецца як ад змены аб'ёму, так і ад змены тэмпературы, але неабходна заўважыць, што пры роўных аб'ёмах, гэта значыць для падобных палажэнняў поршня, пры разрэджанні тэмпература будзе больш высокай, чым пры сціску. Таму ў першым выпадку пругкая сіла паветра будзе больш, а адсюль рухальная сіла, вырабленая рухам ад пашырэння, будзе больш, чым сіла, патрэбная для сціску. Такім чынам, атрымаецца лішак рухальнай сілы, лішак, які можна на што-небудзь ўжыць. Паветра паслужыць нам цеплавой машынай; мы ўжылі яго нават найбольш выгадным чынам, так як не адбывалася ні аднаго бескарыснага аднаўлення раўнавагі цеплароду.

Сучасны доказ =[правіць | правіць зыходнік]

Адзін з доказаў прадстаўлена ў кнізе Д. цёр Хаара і Г. Вергеланда «Элементарная тэрмадынаміка».

Адзін з магчымых варыянтаў тэарэтычнага цыклу Карно

«Працэс D-E. (гл. мал). Паколькі газ ідэальны, (dU/dV)_T = 0 і ўнутраная энергія застаецца сталай. Усе цяпло, атрыманае ад рэзервуара пры тэмпературы T_H, ператвараецца ў вонкавую працу:

Q_{D-E} = \int\limits_{ik}^{cd}p {dV} = RT_H \ln\frac{V_{cd}}{V_{ik}}. [1]

Працэс В-C. Падобным жа чынам, праца, зробленая пры сціску, ператвараецца ў цяпло, якое перадаецца халоднаму рэзервуару:

Q_{B-C} = \int\limits_{gh}^{ef}p {dV} = RT_X \ln\frac{V_{ef}}{V_{gh}}. [2]

Працэсы E-B і C-D. Паколькі газ ідэальны і U залежыць толькі ад тэмпературы T, з ураўнення Q = U_2 - U_1 + A вынікае, што праца, якая ў адным з гэтых двух адыябатычных працэсаў, цалкам кампенсуе працу, якая здзяйсняецца ў іншым працэсе. Сапраўды, карыстаючыся адыябатычнай умовай C_VdT + p dV = 0, атрымліваем:

C_V(T_H - T_X) = \int\limits_{cd}^{gh} p dV = -\int\limits_{ef}^{ik} p dV.

Каб знайсці сувязь паміж V_{ik}, V_{cd}, V_{gh} і V_{ef}, заўважым, што, згодна з ураўненням Пуасона TV^{R/C_V}= const, у адыябатычных працэсах:

(E → B):T_HV_{cd}^{x-1}= T_XV_{gh}^{x-1}

(C → D):T_XV_{ef}^{x-1}= T_HV_{ik}^{x-1}

і, такім чынам,

\frac{V_{cd}}{V_{ik}} = \frac{V_{gh}}{V_{ef}}.

Падстаўляючы гэта суадносіны ў ўраўненні [1] і [2], атрымліваем:

\frac{Q_{B-C}}{Q_{D-E}} = \frac{T_H}{T_X}.

У той жа час мы прыходзім да выніку ... што ККД аптымальнага цыклу роўны

\,\!\eta_{max} = \frac{T_H-T_X}{T_H}

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • S. Carnot Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance — Paris, Gautier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878.
  • Карно Николя Леонар Сади, Перевод В.Р. Бурсиана и Ю.А. Круткова. Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу.
  • Д. Тер Хаар, Г. Вергеланд Элементарная термодинамика. Перевод с английского И. Б. Виханского. Под редакцией Н.М. Плакиды.(D. TER HAAR, Oxford University, H. WERGELAND, Norwegian Institute of Technology, Trondheim. ELEMENTS OF THERMODYNAMICS. Addison-Wesley Publishing Company) — М.: Издательство «Мир», 1968.
  • Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. Для студентов и инженеров вузов. Издание седьмое, исправленное — М.: Издательство «Наука», 1979.
  • Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика — М.: Издательство МГТУ им Н.Э.Баумана, 2004.
  • Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Физика. Справочное руководство: Для поступающих в вузы. – 5-е изд., переработанное. — М.: Физматлит, 2004.

Зноскі

  1. Теорема Карно//Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.