Прагляд зыходнага тэксту старонкі Ураўненні Максвела

{{Электрадынаміка}}
'''Ураўне́нні Ма́ксвела''' — [[сістэма ўраўненняў]] у [[Дыферэнцыяльнае ўраўненне|дыферэнцыяльнай]] або [[інтэгральнае ўраўненне|інтэгральнай]] форме, якія апісваюць [[электрамагнітнае поле]] і яго сувязь з [[Электрычны зарад|электрычнымі зарадамі]] і [[Электрычны ток|токамі]] ў [[вакуум]]е і [[суцэльнае асяроддзе|суцэльных асяроддзях]]. Разам з выразам для [[Сіла Лорэнца|сілы Лорэнца]], што задае меру ўздзеяння электрамагнітнага поля на зараджаныя часціцы, ураўненні Максвела ўтвараюць поўную сістэму ўраўненняў [[Класічная фізіка|класічнай]] [[Электрадынаміка|электрадынамікі]], якую часам называюць ''ураўненнямі Максвела — Лорэнца''. Ураўненні, сфармуляваныя [[Джэймс Клерк Максвел|Джэймсам Клеркам Максвелам]] на аснове назапашаных к сярэдзіне [[XIX стагоддзе|XIX стагоддзя]] эксперыментальных вынікаў, адыгралі ключавую ролю ў развіцці ўяўленняў [[Тэарэтычная фізіка|тэарэтычнай фізікі]] і аказалі моцны, у некаторых выпадках вырашальны, уплыў не толькі на ўсе вобласці [[Фізіка|фізікі]], непасрэдна звязаныя з [[электрамагнетызм]]ам, але і на многія пазнейшыя фундаментальныя тэорыі, прадмет якіх не зводзіўся да электрамагнетызму (адным з самых яскравых прыкладаў тут можа служыць [[спецыяльная тэорыя адноснасці]]).

== Гісторыя ==

[[Файл:James Clerk Maxwell.jpg|міні|справа|Джэймс Клерк Максвел]]

Ураўненні, сфармуляваныя [[Джэймс Клерк Максвел|Джэймсам Клеркам Максвелам]], узніклі на аснове шэрага важных эксперыментальных адкрыццяў пачатку [[XIX стагоддзе|XIX стагоддзя]]. У [[1820]] годзе [[Ганс Хрысціян Эрстэд]] [[Вопыт Эрстэда|выявіў]]<ref>Эрстэд Г. Х. «Вопыты, якія адносяцца да дзеяння электрычнага канфлікту на магнітную стрэлку»</ref>, што гальванічны ток, які прапускаецца праз провад, прымушае адхіляцца магнітную стрэлку [[компас]]а. Гэта адкрыццё прыцягнула шырокую ўвагу навукоўцаў таго часу. У тым жа 1820 [[Жан-Батыст Біё|Біё]] і [[Фелікс Савар|Савар]] эксперыментальна знайшлі выраз<ref>J.-B. Biot and F. Savart, [http://www.ampere.cnrs.fr/ice/ice_page_detail.php?lang=fr&type=text&bdd=ampere&table=ampere_text&bookId=7&typeofbookDes=Textessci&pageOrder=71&facsimile=off&search=no Note sur le Magnétisme de la pile de Volta]. — Annales Chim. Phys. — vol. 15. — pp. 222—223 (1820)</ref> для спароджанай токам [[Магнітная індукцыя|магнітнай індукцыі]] ([[Закон Біё — Савара — Лапласа|закон Біё — Савара]]), і [[Андрэ Мары Ампер]] выявіў, што [[Сіла Ампера|ўзаемадзеянне]] на адлегласці ўзнікае таксама паміж двума [[праваднік]]амі, па якіх прапускаецца [[Электрычны ток|ток]]. Ампер ўвёў тэрмін «[[Электрадынаміка|электрадынамічны]]» і выказаў гіпотэзу, што прыродны [[магнетызм]] звязаны з існаваннем у [[магніт]]ах кругавых токаў<ref>{{Кніга|аўтар=Марио Льоцци|загаловак=История физики|месца=М.|выдавецтва=Мир|старонак=464|старонкі=253-257}}</ref>.

Уплыў току на магніт, выяўлены Эрстэдам, прывёў [[Майкл Фарадэй|Майкла Фарадэя]] да ідэі аб тым, што павінен існаваць і адваротны ўплыў магніта на токі. Пасля працяглых эксперыментаў, ў [[1831]] годзе, Фарадэй адкрыў, што магніт, які перамяшчаецца каля правадніка, спараджае ў правадніку [[электрычны ток]]. Гэта з’ява была названа [[Электрамагнітная індукцыя|электрамагнітнай індукцыяй]]. Фарадэй увёў паняцце «поля сіл» — пэўнага асяроддзя, якое знаходзіцца паміж [[Электрычны зарад|зарадамі]] і токамі. Яго разважанні насілі якасны характар, але яны аказалі вялікі ўплыў на даследаванні Максвела.

Пасля адкрыццяў Фарадэя стала ясна, што старыя мадэлі электрамагнетызму (Ампера, Пуасона і інш.) няпоўныя. Неўзабаве з’явілася тэорыя [[Вільгельм Эдуард Вебер|Вебера]], заснаваная на дальнадзеянні. Аднак на той момант уся [[фізіка]], акрамя [[Закон сусветнага прыцягнення|тэорыі прыцягнення]], мела справу толькі з блізкадзеючымі сіламі ([[оптыка]], [[тэрмадынаміка]], [[механіка суцэльных асяроддзяў]] і інш.). [[Карл Фрыдрых Гаус|Гаус]], [[Георг Фрыдрых Бернхард Рыман|Рыман]] і шэраг іншых навукоўцаў выказвалі здагадкі, што [[святло]] мае электрамагнітную прыроду, так што тэорыя электрамагнітных з’яў таксама павінна быць блізкадзеючай. Гэты прынцып стаў істотнай асаблівасцю тэорыі Максвела.

У сваім знакамітым «Трактаце аб электрычнасці і магнетызме» ([[1873]]) Максвел пісаў<ref>{{Кніга |аўтар=Максвелл Дж.К. |загаловак=Избранные сочинения по теории электромагнитного поля |месца=М. |выдавецтва=ГИТТЛ |год=1952 |старонкі=349 |старонак=687}}</ref>:

<blockquote>
Прыступаючы да вывучэння працы Фарадэя, я выявіў, што яго метад разумення з’яў таксама быў матэматычным, хоць і не прадстаўленым у форме звычайных матэматычных знакаў. Я таксама знайшоў, што гэты метад можна выказаць у звычайнай матэматычнай форме і такім чынам параўнаць з метадамі прафесійных матэматыкаў.
</blockquote>

Замяняючы фарадэеўскі тэрмін «поле сіл» на паняцце «напружанасць поля», Максвел зрабіў яго ключавым аб’ектам сваёй тэорыі<ref>{{Кніга |аўтар=Максвелл Дж.К. |загаловак=Избранные сочинения по теории электромагнитного поля |месца=М. |выдавецтва=ГИТТЛ |год=1952 |старонкі=632 |старонак=687}}</ref>:

<blockquote>
Калі мы прымем гэта асяроддзе ў якасці гіпотэзы, я лічу, што яно павінна займаць выдатнае месца ў нашых даследаваннях, і што нам варта было б паспрабаваць сканструяваць рацыянальнае ўяўленне аб ўсіх дэталях яго дзеяння, што і было маёй пастаяннай мэтай у гэтым трактаце.
</blockquote>

Падобная электрадынамічнае асяроддзе стала абсалютна новым паняццем для ньютанаўскай фізікі. Апошняя вывучала ўзаемадзеянне паміж сабой матэрыяльных цел. Максвел жа запісаў ураўненні, якім павінна падпарадкоўвацца асяроддзе, якое вызначае ўзаемадзеянне зарадаў і токаў і існуе нават у іх адсутнасць.

[[Файл:Electromagnetism.svg|200px|міні|справа|Электрычны ток стварае магнітную індукцыю (закон Ампера)]]

Аналізуючы вядомыя эксперыменты, Максвел атрымаў сістэму ўраўненняў для электрычнага і магнітнага палёў. У [[1855]] годзе ў сваім самым першым артыкуле «Аб фарадэевых сілавых лініях»<ref>''Максвелл Дж. К.'' «О фарадеевых силовых линиях» у кнізе Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 11—88. — 687 с.</ref> («On Faraday’s Lines of Force»<ref>{{артыкул|аўтар =Maxwell J. C.|загаловак =On Faraday's Lines of Force|спасылка =http://blazelabs.com/On%20Faraday's%20Lines%20of%20Force.pdf|выданне =Transactions of the Cambridge Philosophical Society|год =1856|том =10|нумар =1|старонкі =155—229}}</ref>) ён упершыню запісаў у дыферэнцыяльнай форме сістэму ўраўненняў электрадынамікі, але не ўводзячы яшчэ ток зрушэння. Такая сістэма ўраўненняў апісвала ўсе вядомыя на той час эксперыментальныя дадзеныя, але не дазваляла звязаць паміж сабой зарады і токі і прадказаць [[Электрамагнітная хваля|электрамагнітныя хвалі]]<ref name="Shapiro">{{артыкул|аўтар = Шапиро И. С.|загаловак =К истории открытия уравнений Максвелла |спасылка =http://ufn.ru/ufn72/ufn72_10/Russian/r7210f.pdf|выданне = УФН|год =1972|том = 108|нумар = 2|старонкі = 319-333}}</ref>. Упершыню ток зрушэння быў уведзены Максвелам у працы «Аб фізічных сілавых лініях»<ref>Максвелл Дж. К. «О физических силовых линиях» у кнізе Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 107—177. — 687 с.</ref> («On Physical Lines of Force»<ref>{{артыкул|аўтар =Maxwell J. C.|загаловак =On Physical Lines of Force|спасылка =http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/On_Physical_Lines_of_Force.pdf|выданне =Philosophical Magazine|тып =Ser. 4|год =1861,1862|том =11,13|старонкі =161—175, 281—291, 338—347; 12—23, 85—95}}</ref>), якая складаецца з чатырох частак і была апублікавана ў 1861—1862 гадах. Абагульняючы [[Сіла Ампера|закон Ампера]], Максвел ўводзіць [[ток зрушэння, электрадынаміка|ток зрушэння]], імаверна, каб звязаць токі і зарады [[Ураўненне непарыўнасці|ўраўненнем непарыўнасці]], якое ўжо было вядома для іншых [[Фізічная велічыня|фізічных велічынь]]<ref name="Shapiro"/>. Такім чынам, у гэтым артыкуле фактычна была завершана фармулёўка поўнай сістэмы ўраўненняў электрадынамікі. У артыкуле [[1864]] «Дынамічная тэорыя электрамагнітнага поля»<ref>Максвелл Дж. К. «Динамическая теория электромагнитного поля» ў кнізе Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 251—316. — 687 с.</ref> («A dynamical theory of the electromagnetic field»<ref>{{cite journal|author =Maxwell J. C.|title =A dynamical theory of the electromagnetic field|url =http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf|journal =Philosophical Transactions of the Royal Society of London|year =1865|volume =155|pages =459—512}}</ref>) разгледжана сфармуляваная раней сістэма ўраўненняў з 20 скалярных ураўненняў для 20 скалярных невядомых. У гэтым артыкуле Максвел ўпершыню сфармуляваў паняцце [[Электрамагнітнае поле|электрамагнітнага поля]] як фізічнай рэальнасці, якая мае ўласную энергію і канечны час распаўсюджвання, які і вызначае з’яву запазнення электрамагнітнага ўзаемадзеяння<ref name="Shapiro"/>.

[[Файл:Induction1.jpg|200px|міні|справа|Пераменны паток магнітнага поля стварае электрычнае поле (закон Фарадэя)]]

Аказалася, што не толькі ток, але [[электрычнае поле]], якое змяняецца з часам, (ток зрушэння) спараджае [[магнітнае поле]]. У сваю чаргу, згодна з законам Фарадэя, пераменнае магнітнае поле зноў спараджае электрычнае. У выніку, у пустой прасторы можа распаўсюджвацца [[электрамагнітная хваля]]. З ураўненняў Максвела вынікала, што яе хуткасць роўная [[Хуткасць святла|хуткасці святла]], таму Максвел зрабіў выснову аб электрамагнітнай прыродзе святла.

Частка фізікаў выступіла супраць тэорыі Максвела (асабліва шмат пярэчанняў выклікала канцэпцыя току зрушэння). [[Герман Людвіг Фердынанд Гельмгольц|Гельмгольц]] прапанаваў сваю тэорыю, кампрамісную ў адносінах да мадэлей Вебера і Максвела, і даручыў свайму вучню [[Генрых Герц|Генрыху Герцу]] правесці яе эксперыментальную праверку. Аднак вопыты Герца адназначна пацвердзілі слушнасць тэорыі Максвел

Максвел не ўжываў [[Вектар (матэматыка)|вектарных]] абазначэнняў і запісваў свае ўраўненні ў досыць грувасткім кампанентным выглядзе. У сваім трактаце <ref>''Maxwell J. C.'' A Treatise on Electricity And Magnetism, 1873</ref> ён, акрамя таго, часткова выкарыстаў кватэрніённую фармулёўку. Сучасная форма ўраўненняў Максвела з’явілася каля [[1884]] пасля работ [[Олівер Хэвісайд|Хэвісайда]], Герца і [[Джазая Уілард Гібс|Гібса]]. Яны не толькі перапісалі сістэму Максвела ў вектарным выглядзе, але і сіметрызавалі яе, перафармуляваўшы ў тэрмінах поля і пазбавіўшыся ад [[Электрычны патэнцыял|электрычнага]] і магнітнага патэнцыялаў, істотных у тэорыі Максвела, бо лічылі, што гэтыя функцыі з’яўляюцца толькі непатрэбнымі дапаможнымі матэматычнымі абстракцыямі<ref>{{cite book | title = Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age | last = Paul J. Nahin | publisher = JHU Press | year = 2002 | isbn = 9780801869099 | pages = 108–112 | url = http://books.google.com/books?id=e9wEntQmA0IC&pg=PA109}}</ref>. Цікава, што сучасная фізіка падтрымлівае Максвела, але не падзяляе негатыўнае стаўленне яго ранніх паслядоўнікаў да патэнцыялаў. Электрамагнітны патэнцыял выконвае важную ролю ў [[Квантавая фізіка|квантавай фізіцы]] і праяўляецца як фізічна вымяраемая велічыня ў некаторых эксперыментах, напрыклад, у [[Эфект Ааронава — Бома|эфекце Ааронава — Бома]]<ref>{{cite journal |author=Aharonov, Y; Bohm, D |year=1959 |title=Significance of electromagnetic potentials in quantum theory |url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1959-07-15_115_2/page/n263 |journal=[[Physical Review]] |volume=115 |pages=485–491 |doi=10.1103/PhysRev.115.485 | issn = 0031-899X}}</ref>.

Сістэма ўраўнанняў у фармулёўцы Герца і Хэвісайда некаторы час называлася ўраўненнямі Герца — Хэвісайда<ref>''Nahin P. J.'' [http://books.google.com/books?id=e9wEntQmA0IC&pg=PA111&dq=nahin+hertz-heaviside+maxwell-hertz&ei=R3c4SpePAojElQSWt-i8BQ#PPA112,M1 Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age]. — JHU Press. — pp. 108—112. — ISBN 978-0-8018-6909-9</ref>. [[Эйнштэйн]] у класічным артыкуле «Да электрадынамікі цел у руху» <ref name="Einstein">''Einstein A.'' Zur Elektrodynamik bewegter Körper Ann Phys. — 1905. — Bd 17. — S. 891. Пераклад на рускую мову: ''Эйнштейн А.'' [http://path-2.narod.ru/02/03/kedt.pdf К электродинамике движущихся тел]</ref> назваў іх ураўненнямі Максвела — Герца. Часам у літаратуры сустракаецца таксама назва ўраўненні Максвела — Хэвісайда<ref>{{cite book|title = Modern nonlinear optics|author = Myron Evans| publisher = John Wiley and Sons | year = 2001| isbn = 9780471389316 | page = 240 | url = http://books.google.com/books?id=9p0kK6IG94gC&pg=PA240&dq=maxwell-heaviside+equations&lr=&as_brr=0&ei=wXc4SqfQHZ-OkATL2pi9BQ}}</ref>.

Ураўненні Максвела адыгралі важную ролю пры ўзнікненні [[Спецыяльная тэорыя адноснасці|спецыяльнай тэорыі адноснасці]] (СТА). Джозэф Лармор ([[1900]])<ref>''Larmor J.'' Aether and matter. — Cambridge. — 1900. — p. 162—193.</ref> і незалежна ад яго [[Хендрык Лорэнц]] ([[1904]] год)<ref>''Lorentz H. A.'' Electromagnetic Phenomena in a System Moving with any Velocity Smaller than that of Light. — Amst. Proc. — V. 6. — P. 809; 1904. — V. 12. — P. 986.</ref> знайшлі пераўтварэнні каардынат, часу і электрамагнітных палёў, якія пакідаюць ўраўненні Максвелла інварыянтнымі пры пераходзе ад адной [[інерцыяльная сістэма адліку|інерцыяльнай сістэмы адліку]] да іншай. Гэтыя пераўтварэнні адрозніваліся ад пераўтварэнняў Галілея [[Класічная механіка|класічнай механікі]] і, з падачы [[Анры Пуанкарэ]]<ref>''Poincare H.'' Sur la dynainique de l’electron. — Comptes Rendues, Acad. Sci. — Paris. — 1905. — V. 140. — P. 1504.</ref>, сталі называцца [[пераўтварэнні Лорэнца|пераўтварэннямі Лорэнца]]. Яны сталі матэматычным падмуркам [[спецыяльная тэорыя адноснасці|спецыяльнай тэорыі адноснасці]].

Распаўсюджванне [[Электрамагнітная хваля|электрамагнітных хваль]] з [[Хуткасць святла|хуткасцю святла]] першапачаткова тлумачылася як ўзбурэнне (хваляванне) некаторага асяроддзя, так званага [[Эфір (фізіка)|эфіру]]<ref>Паули В. Теория Относительности. — М.: Наука. — С. 13-17.</ref>. Рабіліся шматлікія спробы выявіць рух Зямлі адносна эфіру, аднак яны нязменна давалі адмоўны вынік{{efn|Выключэннем сталі эксперыменты Мілера на гары Маунт Вільсан. У далейшым паўтор гэтых эксперыментаў іншымі даследчыкамі на больш дакладнай апаратуры эфекту не выявіў. Гл. [http://www.ufn.ru/ru/articles/1932/1/g Паўтарэнні вопыту Майкельсона]}}. Таму [[Анры Пуанкарэ]] выказаў гіпотэзу аб прынцыповай немагчымасці выявіць падобны рух (прынцып адноснасці). Яму ж належыць пастулат аб незалежнасці хуткасці святла ад хуткасці яго крыніцы і вывад (разам з Лорэнцам), зыходзячы са сфармуляванага так прынцыпу адноснасці, дакладнага выгляду пераўтварэнняў Лорэнца (пры гэтым былі паказаны і [[група (алгебра)|групавыя]] ўласцівасці гэтых пераўтварэнняў). Гэтыя дзве гіпотэзы (пастулаты) ляглі і ў аснову артыкула [[Альберт Эйнштэйн|Альберта Эйнштэйна]] ([[1905]] год)<ref name="Einstein" />. З іх дапамогай ён таксама вывеў пераўтварэнні Лорэнца і зацвердзіў іх агульнафізічны сэнс, асабліва падкрэсліўшы магчымасць іх прымянення для пераходу з любой [[інерцыяльная сістэма адліку|інерцыяльных сістэм адліку]] ў любую іншую інерцыяльную. Гэта праца фактычна адзначыла сабой пабудову [[спецыяльная тэорыя адноснасці|спецыяльнай тэорыі адноснасці]]. У СТА пераўтварэнні Лорэнца адлюстроўваюць агульныя ўласцівасці прасторы і часу, а [[Эфір (фізіка)|мадэль эфіру]] аказваецца непатрэбнай. Электрамагнітныя палі з’яўляюцца самастойнымі аб’ектамі, існуючымі нароўні з матэрыяльнымі часціцамі.

Класічная электрадынаміка, заснаваная на ўраўненнях Максвелла, ляжыць у аснове шматлікіх прыкладанняў [[Электратэхніка|электра]]- і радыётэхнікі, ЗВЧ і [[Оптыка|оптыкі]]. На сённяшні дзень не выяўлена ні аднаго эфекту, які патрабаваў бы перайначвання ўраўненняў. Яны аказваюцца дастасавальнымі і ў квантавай механіцы, калі разглядаецца рух, напрыклад, зараджаных часціц ў знешніх электрамагнітных палях. Таму ўраўненні Максвелла з’яўляюцца асновай мікраскапічнага апісання электрамагнітных уласцівасцей рэчыва.

Ураўненні Максвелла запатрабаваныя таксама ў [[астрафізіка|астрафізіцы]] і [[касмалогія|касмалогіі]], бо многія [[Планета|планеты]] і [[Зорка|зоркі]] маюць [[магнітнае поле]]. Магнітнае поле вызначае, у прыватнасці, ўласцівасці такіх аб’ектаў, як [[пульсар]]ы і [[квазар]]ы.

На сучасным узроўні разумення ўсё фундаментальныя часціцы з’яўляюцца квантавымі ўзбуджэннямі («квантамі») розных палёў. Напрыклад, [[фатон]] — гэта квант электрамагнітнага поля, а [[электрон]] — квант [[спінарнае поле|спінарнага поля]]<ref>Берестецкий, В. Б., Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Квантовая электродинамика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2002. — 720 с. — («Теоретическая физика», том IV). — ISBN 5-9221-0058-0</ref>. Таму палявы падыход, прапанаваны Фарадэем і істотна развіты Максвелам, з’яўляецца асновай сучаснай фізікі фундаментальных часціц, у тым ліку яе [[Стандартная мадэль|стандартнай мадэлі]].

Гістарычна трохі раней ён адыграў важную ролю ў з’яўленні квантавай механікі ў [[Ураўненне Шродзінгера|фармулёўцы Шродзінгера]] і наогул адкрыцці квантавых ураўненняў, якія апісваюць рух часціц, у тым ліку і рэлятывісцкіх ([[ураўненне Клейна — Гордана]], [[ураўненне Дзірака]]), хоць першапачаткова аналогія з ураўненнямі Максвела тут бачылася хутчэй толькі ў агульнай ідэі, тады як пасля аказалася, што яе можна разумець як больш канкрэтную і дэталёвую (як гэта апісана вышэй).

Таксама палявы падыход, які у цэлым узыходзіць да Фарадэя і Максвела, стаў цэнтральным ў тэорыі гравітацыі (у тым ліку ў [[Агульная тэорыя адноснасці|АТА]]).

== Запіс ураўненняў Максвела і сістэмы адзінак ==

Запіс большасці ўраўненняў у фізіцы не залежыць ад выбару сістэмы адзінак. Аднак у [[Электрадынаміка|электрадынаміцы]] гэта не так. У залежнасці ад выбару сістэмы адзінак ва ўраўненнях Максвела ўзнікаюць розныя каэфіцыенты (канстанты). Міжнародная сістэма адзінак ([[СІ (міжнародная сістэма адзінак вымярэння)|СІ]]) з’яўляецца стандартам у тэхніцы і выкладанні, аднак спрэчкі сярод [[фізік]]аў аб яе перавагах і недахопах у параўнанні з сіметрычнай гаусавай сістэмай адзінак ([[СГС]]) не сціхаюць<ref>{{кніга
| аўтар          = Л. Б. Окунь
| частка          = Приложение I
| загаловак       = Физика элементарных частиц
| месца          = М.
| выдавецтва = Наука
| год = 1984
}}</ref>. Перавага сістэмы СГС ў электрадынаміцы заключаецца ў тым, што ўсе палі ў ёй маюць адну [[размернасць фізічнай велічыні|размернасць]], а ўраўненні, на думку многіх навукоўцаў, запісваюцца прасцей і натуральней<ref name="Sivukh">{{артыкул|аўтар=Д. В. Сивухин|загаловак=О международной системе физических величин|спасылка=http://ufn.ru/ru/articles/1979/10/h/|мова=ru|выданне=УФН|год=1979|том=129|нумар=10|старонкі=335}}</ref>. Таму СГС працягвае прымяняцца ў навуковых публікацыях па электрадынаміцы і ў выкладанні [[Тэарэтычная фізіка|тэарэтычнай фізікі]], напрыклад, у [[Курс тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца|курсе тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца]]. Але для ўжывання на практыцы многія прынятыя ў СГС адзінкі вымярэння нязручныя, бо ці не маюць назвы, як безразмерныя, ці вызначаны неадназначна і адрозніваюцца ў розных пашырэннях сістэмы СГС. Сістэма ж СІ стандартызавана і лепш самаўзгоднена, на гэтай сістэме пабудавана ўся сучасная [[метралогія]]<ref name="Karsh">{{артыкул|аўтар=С. Г. Каршенбойм|загаловак=Фундаментальные физические константы: роль в физике и метрологии и рекомендованные значения|спасылка=http://ufn.ru/ru/articles/2005/3/c/|мова=ru|выданне=УФН|год=2005|том=175|нумар=3|старонкі=271}}</ref>. Акрамя таго, сістэма СІ звычайна выкарыстоўваецца ў курсах агульнай фізікі. У сувязі з гэтым усе суадносіны, калі яны па-рознаму запісваюцца ў сістэмах СІ і СГС, далей прыводзяцца ў двух варыянтах.

Часам (напрыклад, у «[[Фейнманаўскія лекцыі па фізіцы|Фейнманаўскіх лекцыях па фізіцы]]», а таксама ў сучаснай [[Квантавая тэорыя поля|квантавай тэорыі поля]]) ужываецца сістэма адзінак, у якой [[хуткасць святла]], [[Электрычная пастаянная|электрычная]] і [[магнітная пастаянная]] прымаюцца за адзінку (<math>c = \varepsilon_0 = \mu_0 = 1</math>). У такой сістэме ўраўненні Максвела запісваюцца наогул без каэфіцыентаў, усе палі маюць аднолькавую размернасць, а ўсе патэнцыялы — сваю аднолькавую. Такая сістэма асабліва зручная ў каварыянтнай чатырохмернай фармулёўцы законаў электрадынамікі праз [[4-патэнцыял]] і [[Тэнзар электрамагнітнага поля|4-тэнзар электрамагнітнага поля]].

== Дыферэнцыяльная форма ==

Ураўненні Максвела прадстаўляюць сабой у вектарным запісе сістэму з чатырох ураўненняў, якая зводзіцца ў кампанентным прадстаўленні да васьмі (два вектарныя ураўненні ўтрымліваюць па тры кампаненты кожнае, плюс два скалярныя{{efn|Яны змяшчаюць дывергенцыі вектарных палёў, якія з’яўляюцца [[скалярная велічыня|скалярамі]].}}) лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў ў [[частковая вытворная|частковых вытворных]] першага парадку для 12 кампанент чатырох вектарных функцый (<math>\mathbf{D},\;\mathbf{E},\;\mathbf{H},\;\mathbf{B}</math>):
{|  class="standard" | width="100%"
|-
! width="%15"| <center>Назва</center>
! width="%25"| <center>[[СГС]]</center>
! width="%25"| <center>[[СІ (міжнародная сістэма адзінак вымярэння)|СІ]]</center>
! width="%35"| <center>Прыкладнае апісанне словамі</center>
|-
! [[Тэарэма Гауса|Закон Гауса]]
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{D}=4\pi \rho</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{D}= \rho</math>
| [[Электрычны зарад]] з’яўляецца крыніцай [[электычная індукцыя|электрычнай індукцыі]].
|-
! [[Тэарэма Гауса|Закон Гауса для магнітнага поля]]
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
| Не існуе [[магнітны манаполь|магнітных зарадаў]]{{efn|name="monopol"|Калі свабодныя магнітныя [[магнітны манаполь|манаполі]] будуць эксперыментальна выяўлены, то ў закон Гауса для магнітнага поля трэба будзе ўвесці шчыльнасці магнітных зарадаў, а ў закон індукцыі Фарадэя — шчыльнасці іх токаў.}}.
|-
! [[Электрамагнітная індукцыя|Закон індукцыі Фарадэя]]
|
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
|
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
| Змяненне [[магнітная індукцыя|магнітнай індукцыі]] спараджае віхравое [[электрычнае поле]]{{efn|name="monopol"}}.
|-
! [[Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля]]
|
: <math>\nabla\times\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c} \mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math>
|
: <math>\nabla\times\mathbf{H}= \mathbf{j}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math>
| [[Электрычны ток]] і змяненне [[электрычная індукцыя|электрычнай індукцыі]] спараджаюць віхравое [[магнітнае поле]].
|}

Тоўстым шрыфтам у далейшым абазначаюцца [[Вектар (матэматыка)|вектарныя]] велічыні, курсівам — [[скаляр]]ныя.

Уведзеныя абазначэнні:

* <math>\rho\ </math> — шчыльнасць старонняга [[электрычны зарад|электрычнага зараду]] (у адзінках СІ — [[Кулон (адзінка вымярэння)|Кл]]/[[Метр|м]]³);
* <math>\mathbf{j}</math> — [[шчыльнасць электрычнага току]] (шчыльнасць току праводнасці) (у адзінках СІ — [[Ампер (адзінка вымярэння)|А]]/м²); у найпрасцейшым выпадку — калі ток спараджаецца адным тыпам носьбітаў зараду, яна выражаецца проста як <math>\mathbf{j}=\mathbf{u}\rho_1</math>, дзе <math>\mathbf{u}</math> — (сярэдняя) хуткасць руху гэтых носьбітаў у наваколлі дадзенага пункта, <math>\rho_1</math> — шчыльнасць зараду гэтага тыпу носьбітаў (яна ў агульным выпадку не супадае з <math>\rho</math>){{efn|Напрыклад, у правадніку звычайна прысутнічаюць носьбіты зараду як мінімум двух тыпаў рознага знака, таму сумарная шчыльнасць зараду ў правадніку можа раўняцца нулю, а ток, тым не менш, можа быць (і тады яго шчыльнасць будзе ненулявая).}}; у агульным выпадку гэта выраз трэба усярэдніць па розных тыпах носьбітаў;
* <math>c\,</math> — [[хуткасць святла]] ў вакууме (299792458 м/с);
* <math>\mathbf E</math> — [[напружанасць электрычнага поля]] (у адзінках СІ — [[Вольт|В]]/м);
* <math>\mathbf H</math> — [[напружанасць магнітнага поля]] (у адзінках СІ — А/м);
* <math>\mathbf D</math> — [[электрычная індукцыя]] (у адзінках СІ — Кл/м²);
* <math>\mathbf B</math> — [[магнітная індукцыя]] (у адзінках СІ — [[Тэсла (адзінка вымярэння)|Тл]] = [[Вебер (адзінка вымярэння)|Вб]]/м² = кг•с<sup>−2</sup>•А<sup>−1</sup>);
* <math>\nabla </math> — дыферэнцыяльны [[аператар набла]], які ў дэкартавых каардынатах {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} мае выгляд:
: <math>\nabla := \left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right),</math>
пры гэтым:
* <math>\nabla\times \mathbf{E} \equiv \mathrm{rot}\,\mathbf{E} </math> азначае [[Ротар (матэматыка)|ротар]] вектара,
* <math>\nabla\cdot\mathbf{E}\equiv\mathrm{div}\,\mathbf{E}</math> азначае [[Дывергенцыя (матэматыка)|дывергенцыю]] вектара.

Прыведзеныя вышэй ураўненні Максвела не ўтвараюць яшчэ поўнай сістэмы ўраўненняў [[Электрамагнітнае поле|электрамагнітнага поля]], бо яны не ўтрымліваюць уласцівасцей асяроддзя, у яком узбуджана [[электрамагнітнае поле]]. Суадносіны, якія звязваюць велічыні <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math>, <math>\mathbf{D}</math>, <math>\mathbf{H}</math> і <math>\mathbf{j}</math> і ўлічваюць індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя, называюцца матэрыяльнымі ўраўненнямі.

== Інтэгральная форма ==

Пры дапамозе [[формула Гауса — Астраградскага|формул Астраградскага — Гауса]] і [[Тэарэма Стокса|Стокса]] дыферэнцыяльным ураўненням Максвела можна надаць форму інтэгральных ураўненняў:

{| class="standard" | width="100%"
|-
! width="%15"| <center>Назва</center>
! width="%25"| <center>[[СГС]]</center>
! width="%25"| <center>[[СІ (міжнародная сістэма адзінак вымярэння)|СІ]]</center>
! width="%35"| Прыкладнае апісанне словамі
|-
! [[Тэарэма Гауса|Закон Гауса]]
|
: <math>\oint_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}=4\pi Q</math>
|
: <math>\oint_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}= Q</math>
| [[Паток вектарнага поля|Паток]] электрычнай індукцыі праз замкнёную паверхню <math>s</math> прапарцыянальны велічыні свабоднага зараду, які знаходзіцца ў акружаным паверхняю <math>s</math> аб’ёме <math>v.</math>
|-
! [[Тэарэма Гауса|Закон Гауса для магнітнага поля]]
|
: <math>\oint_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=0</math>
|
: <math>\oint_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=0</math>
| [[Магнітны паток|Паток магнітнай індукцыі]] праз замкнёную паверхню роўны нулю ([[магнітны манаполь|магнітныя зарады]] не існуюць).
|-
! [[Электрамагнітная індукцыя|Закон індукцыі Фарадэя]]
|
: <math>\oint_l\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=</math> <math>-\frac{1}{c}\frac{d}{d t}\int_s  \mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}</math>
|
: <math>\oint_l\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=</math> <math>-\frac{d}{d t}\int_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}</math>
| Змяненне [[Магнітны паток|патоку магнітнай індукцыі]] праз незамкнёную паверхню <math>s,</math> узятае з адваротным знакам, прапарцыянальнае цыркуляцыі электрычнага поля на замкнёным контуры <math>l</math>, які з’яўляецца мяжой паверхні <math>s</math>.
|-
! [[Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля]]
|
: <math>\oint_l\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=</math> <math>\frac{4\pi}{c} I+\frac{1}{c}\frac{d}{d t}\int_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}</math>
|
: <math>\oint_l\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=</math> <math>I+\frac{d}{d t}\int_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}</math>
| Поўны электрычны ток свабодных зарадаў і змяненне патоку электрычнай індукцыі праз незамкнёную паверхню <math>s,</math> узятыя ў суме, прапарцыянальныя цыркуляцыі магнітнага поля на замкнёным контуры <math>l</math>, які з’яўляецца мяжой паверхні <math>s</math>.
|}

[[Файл:Volumen en un campo electrico2.png|200px|міні|Паток электрычнага поля праз замкнёную паверхню]]

Уведзеныя абазначэнні:
* <math>s\ </math> — двухмерная замкнёная ў выпадку тэарэмы Гауса паверхня, якая абмяжоўвае аб’ём <math>v\ </math>, і адкрытая паверхня ў выпадку законаў Фарадэя і Ампера — Максвелла (яе мяжой з’яўляецца замкнёны контур <math>l\ </math>).
* <math>Q=\int_v \rho\, dv\ </math> — [[электрычны зарад]], заключаны ў абмежаваным паверхняй <math>s\ </math> аб’ёме <math>v\ </math> (у адзінках СІ — Кл);
* <math>I=\int_s \mathbf{j}\cdot d\mathbf{s}\ </math> — [[электрычны ток]], які праходзіць праз паверхню <math>s\ </math> (у адзінках СІ — А).

Пры інтэграванні па замкнёнай паверхні вектар элемента плошчы <math>d\mathbf{s}</math> накіраваны з аб’ёму вонкі. Арыентацыя <math>d\mathbf{s}</math> пры інтэграванні па незамкнутай паверхні вызначаецца напрамкам правага вінта, які «ўкручваецца» пры павароце ў кірунку абыходу контурнага інтэграла па <math>d\mathbf{l}</math>.

Апісанне законаў Максвела словамі, напрыклад, закона Фарадэя, нясе адбітак традыцыі, бо спачатку пры кантралюемым змяненні магнітнага патоку рэгістравалася ўзнікненне электрычнага поля (дакладней [[Электрарухальная сіла|электрарухальнай сілы]]). У агульным выпадку ва ўраўненнях Максвела (як у дыферэнцыяльнай, так і ў інтэгральнай форме) вектарныя функцыі <math>\mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{D},  \mathbf{H}</math> з’яўляюцца раўнапраўнымі невядомымі велічынямі, якія вызначаюцца ў выніку рашэння ўраўненняў.

== Сіла Лорэнца ==
{{Галоўны артыкул|Сіла Лорэнца}}

Пры рашэнні ўраўненняў Максвела размеркаванні зарадаў <math>\rho\,</math> і токаў <math>\mathbf{j}</math> часта лічацца зададзенымі. З улікам [[межавыя ўмовы для электрамагнітнага поля|межавых умоў]] і [[#матэрыяльныя ўраўненні|матэрыяльных ураўненняў]] гэта дазваляе вызначыць [[напружанасць электрычнага поля]] <math>\mathbf{E}</math> і [[Магнітная індукцыя|магнітную індукцыю]] <math>\mathbf{B}</math>, якія, у сваю чаргу, вызначаюць сілу, якая дзейнічае на пробны зарад <math>q\,</math>, што рухаецца з хуткасцю <math>\mathbf{u}</math>. Гэтая сіла называецца ''[[Сіла Лорэнца|сілай Лорэнца]]'':

{| class="standard"  align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}+\frac{q}{c}\,[\mathbf{u}\times\mathbf{B}]</math>
|
: <math>\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}+q\,[\mathbf{u}\times\mathbf{B}]</math>
|}

Электрычны складнік сілы накіраваны па электрычнаму полю (калі <math>q>0\,</math>), а магнітны — перпендыкулярны хуткасці зарада і магнітнай індукцыі. Упершыню выраз для сілы, якая дзейнічае на зарад у [[Магнітнае поле|магнітным полі]] (электрычная кампанента была вядомая), атрымаў ў [[1889]] годзе [[Олівер Хэвісайд|Хэвісайд]]<ref>{{Кніга|аўтар =Болотовский Б. М.|загаловак =Оливер Хевисайд|месца =М.|спасылка =http://vivovoco.rsl.ru/VV/BOOKS/HEAVISIDE/CONTENT.HTM|выдавецтва =Наука|год =1985|старонак =260|старонкі =43-44|archive-url =https://web.archive.org/web/20070927233731/http://vivovoco.rsl.ru/VV/BOOKS/HEAVISIDE/CONTENT.HTM|archive-date =27 верасня 2007}}</ref><ref>O. Haviside, [http://en.wikisource.org/wiki/Electromagnetic_effects_of_a_moving_charge «On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric»], Phil.Mag. S.5 '''27''', p. 324, 1889.</ref> за тры гады да [[Хендрык Лорэнц|Хендрыка Лорэнца]], які вывеў выраз для гэтай сілы ў [[1892]] годзе.

У больш складаных сітуацыях у [[Класічная фізіка|класічнай]] і [[Квантавая фізіка|квантавай фізіцы]] ў выпадку, калі пад дзеяннем электрамагнітных палёў свабодныя зарады перамяшчаюцца і змяняюць значэнні палёў, неабходна рашэнне самаўзгодненай сістэмы з ураўненняў Максвелла і [[ураўненні руху|ўраўненняў руху]], якія ўключаюць сілы Лорэнца. Атрыманне дакладнага аналітычнага рашэння такой поўнай сістэмы звычайна спалучана з вялікімі цяжкасцямі.

== Размерныя канстанты ва ўраўненнях Максвела ==

У гаусавай сістэме адзінак [[СГС]] усе палі маюць аднолькавую размернасць, і ва ўраўненнях Максвела фігуруе адзіная [[Фундаментальныя фізічныя пастаянныя|фундаментальная канстанта]] <math>c\,</math>, якая мае размернасць хуткасці і цяпер называецца [[Хуткасць святла|хуткасцю святла]] (іменна роўнасць гэтай канстанты хуткасці распаўсюджвання святла дала Максвелу падставы для гіпотэзы аб электрамагнітнай прыродзе святла<ref>Карцев В. П. «Приключения великих уравнений», М.: Знание, 1986.</ref>).

У [[СІ (міжнародная сістэма адзінак вымярэння)|сістэме адзінак СІ]], каб звязаць [[Электрычная індукцыя|электрычную індукцыю]] і [[напружанасць электрычнага поля]] ў [[вакуум]]е, уводзіцца [[электрычная пастаянная]] <math>\varepsilon_0</math>:
: <math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}.</math>
[[Магнітная пастаянная]] <math>\mu_0\,</math> з’яўляецца такім жа каэфіцыентам прапарцыянальнасці для магнітнага поля ў ''вакууме'':
: <math>\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}</math> Назвы ''электрычная пастаянная'' і ''магнітная пастаянная'' зараз стандартызаваныя<ref name="CODATA">Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). [http://physics.nist.gov/cuu/Constants/codata.pdf CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006]. Rev. Mod. Phys. 80: 633—730. doi:10.1103/RevModPhys.80.633.</ref>. Раней для гэтых велічынь таксама выкарыстоўваліся, адпаведна, назвы дыэлектрычная і магнітная пранікальнасці вакууму.

[[Хуткасць]] [[Электрамагнітнае выпраменьванне|электрамагнітнага выпраменьвання]] ў [[вакуум]]е ([[хуткасць святла]]) у [[СІ]] ўзнікае пры вывадзе [[Хвалевае ўраўненне|хвалевага ўраўнення]]:
<center><math>c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}.</math></center>

У сістэме адзінак СІ, у якасці ''дакладных'' размерных канстант вызначаны хуткасць святла ў вакууме <math>c\ </math> і магнітная пастаянная <math>\mu_0\ </math>. Праз іх выражаецца электрычная пастаянная <math>\varepsilon_0</math>.

Прынятыя значэнні<ref>[http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Category?view=html&Universal.x=83&Universal.y=14 Значэнні фізічных пастаянных]</ref> хуткасці святла, электрычнай і магнітнай пастаянных прыведзены ў табліцы:

{| class="standard" align="center" width="100%"
! <center>Сімвал</center>
! <center>Назва</center>
! <center>Лікавае значэнне</center>
! <center>Адзінкі вымярэння СІ</center>
|-
|-
|
: <math>c\ </math>
|
: Пастаянная хуткасці святла
|
: <math>299\;792\;458</math> (дакладна)
|
: [[метр|м]]/[[Секунда|с]]
|-
|
: <math>\mu_0=4\pi\times 10^{-7}\ </math>
|
: Магнітная пастаянная
|
: <math> 1{,}256\;637\;06\dots\times 10^{-6}</math>
|
: [[Генры (адзінка вымярэння)|Гн]]/м
|-
|
: <math>\varepsilon_0=1/(\mu_0 c^2)</math>
|
: Электрычная пастаянная
|
: <math> 8{,}854\;187\;82\dots\times 10^{-12}</math>
|
: [[Фарад|Ф]]/м
|}

Часам ўводзіцца велічыня, так званае «[[хвалевае супраціўленне]]», або «імпеданс» [[вакуум]]у:
<center><math>Z_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=\mu_0 c = 119,916\;983\;2\;\pi \approx 376,730\;313\;461\;77 \approx 120\pi</math> [[Ом]].</center>
''Прыбліжанае'' значэнне для <math>Z_0\ </math> атрымліваецца, калі для хуткасці святла прыняць значэнне <math>c=3\cdot 10^8</math> м/c. У сістэме [[СГС]] <math>Z_0=1\ </math>. Гэта велічыня мае сэнс адносіны амплітуд напружанасцей электрычнага і магнітнага палёў плоскай [[электрамагнітная хваля|электрамагнітнай хвалі]] ў вакууме.

== Ураўненні Максвела ў асяроддзі ==

Каб атрымаць поўную сістэму ўраўненняў [[Электрадынаміка|электрадынамікі]], да сістэмы ўраўненняў Максвела неабходна дадаць матэрыяльныя ўраўненні, якія звязваюць велічыні <math>\mathbf{j}</math>, <math>\mathbf{H}</math>, <math>\mathbf{D}</math>, <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math>, у якіх улічаныя індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя. Спосаб атрымання матэрыяльных ураўненняў даюць малекулярныя тэорыі [[палярызацыя дыэлектрыкаў|палярызацыі]], [[намагнічанасць]] і [[электраправоднасць|электраправоднасці]] асяроддзя, якія выкарыстоўваюць ідэалізаваныя мадэлі асяроддзя. Прымяняючы да іх ураўненні [[Класічная механіка|класічнай]] або [[Квантавая механіка|квантавай механікі]], а таксама метады [[Статыстычная фізіка|статыстычнай фізікі]], можна ўстанавіць сувязь паміж [[Вектар (матэматыка)|вектарамі]] <math>\mathbf{j}</math>, <math>\mathbf{H}</math>, <math>\mathbf{D}</math> з аднаго боку і <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math> з іншага боку.

=== Звязаныя зарады і токі ===

[[Файл:Polarization and magnetization.svg|300px|міні|справа|''Злева:'' Сукупнасць мікраскапічных дыполяў у асяроддзі ўтварае адзін макраскапічны дыпольны момант і эквівалентная двум зараджаным з процілеглым знакам пласцінам на мяжы. Пры гэтым унутры асяроддзя ўсё зарады скампенсаваныя; ''Справа:'' Сукупнасць мікраскапічных цыркулярных токаў у асяроддзі эквівалентная макраскапічнаму току, які цыркулюе ўздоўж мяжы. Пры гэтым унутры асяроддзя ўсё токі скампенсаваныя.]]

Пры прыкладанні [[Электрычнае поле|электрычнага поля]] да дыэлектрычнага матэрыялу кожная з яго [[Малекула|малекул]] ператвараецца ў мікраскапічны дыполь. Пры гэтым дадатныя [[Ядро атама|ядры атамаў]] трохі ссоўваюцца ў кірунку поля, а [[электронная абалонка|электронныя абалонкі]] ў процілеглым кірунку. Акрамя гэтага, малекулы некаторых рэчываў першапачаткова маюць дыпольны момант. Дыпольныя малекулы імкнуцца арыентавацца ў кірунку поля. Гэты эфект завецца [[палярызацыя дыэлектрыкаў|палярызацыяй дыэлектрыкаў]]. Такое зрушэнне звязаных зарадаў малекул ў аб’ёме эквівалентнае з’яўленню некаторага размеркавання зарадаў на паверхні, хоць усе малекулы, уцягнутыя ў працэс палярызацыі застаюцца нейтральнымі (гл. малюнак).

Падобным чынам адбываецца і магнітная палярызацыя ([[Магнетызм|намагнічванне]]) у матэрыялах, у якіх атамы і малекулы маюць [[Магнітны момант|магнітныя моманты]], звязаныя са [[спін]]ам і [[Момант імпульсу|арбітальным момантам]] ядраў і [[электрон]]аў. Вуглавыя моманты атамаў можна прадставіць у выглядзе цыркулярных токаў. На мяжы матэрыялу сукупнасць такіх мікраскапічных токаў эквівалентная макраскапічным токам, якія цыркулююць ўздоўж паверхні, нягледзячы на тое, што рух зарадаў ў асобных магнітных дыполях адбываецца толькі ў мікрамаштабе (звязаныя токі).

Разгледжаныя мадэлі паказваюць, што хоць вонкавае [[электрамагнітнае поле]] дзейнічае на асобныя атамы і малекулы, яго паводзіны ў многіх выпадках можна разглядаць спрошчана ў макраскапічным маштабе, ігнаруючы дэталі мікраскапічнай карціны.

У асяроддзі вонкавыя электрычныя і магнітныя палі выклікаюць палярызацыю і намагнічванне рэчыва, якія макраскапічна апісваюцца адпаведна [[палярызацыя дыэлектрыкаў|вектарам палярызацыі]] <math>\mathbf P</math> і [[Намагнічанасць|вектарам намагнічанасці]] <math>\mathbf M</math> рэчыва, а на мікраўзроўні абумоўлены з’яўленнем звязаных зарадаў <math>\rho_b\ </math> і токаў <math>\mathbf{j}_b</math>. У выніку поле ў асяроддзі аказваецца сумай знешніх палёў і палёў, выкліканых звязанымі зарадамі і токамі.

{| class="standard" align="center" | width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P}</math>
: <math>\mathbf{j}_b = c \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}</math>
|
: <math>\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}</math>
: <math>\mathbf{j}_b = \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}</math>
|}
[[Палярызацыя дыэлектрыкаў|Палярызацыя]] <math>\mathbf P</math> і [[намагнічанасць]] рэчыва <math>\mathbf M</math> звязаны з вектарамі напружанасці і індукцыі электрычнага і магнітнага поля наступнымі суадносінамі:
{| class="standard" align="center" | width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{D}=\mathbf{E}+4\pi \mathbf{P}</math>
: <math>\mathbf{B}=\mathbf{H}+4\pi \mathbf{M}</math>
|
: <math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}</math>
: <math>\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})</math>
|}

Таму, выражаючы вектары <math>\mathbf{D}</math> і <math>\mathbf{H}</math> праз <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math>, <math>\rho_b\ </math> і <math>\mathbf{j}_b</math>, можна атрымаць матэматычна эквівалентную сістэму ўраўненняў Максвела:

{| class="standard" align="center" | width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=4\pi[\rho_f+\rho_b]</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}= \frac{1}{\varepsilon_0}[\rho_f+\rho_b]</math>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
|-
|
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
|
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
|-
|
: <math>\nabla\times\mathbf{B}=\frac{4\pi}{c} [\mathbf{j}_b+\mathbf{j}_f]+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>
|
: <math>\nabla\times\mathbf{B}= \mu_0[\mathbf{j}_b+\mathbf{j}_f]+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>
|}

Індэксам <math>f\ </math> тут пазначаны свабодныя зарады і токі. Ураўненні Максвела ў такой форме з’яўляюцца фундаментальнымі, у тым сэнсе, што яны не залежаць ад мадэлі электрамагнітнай будовы рэчыва. Падзел зарадаў і токаў на свабодныя і звязаныя дазваляе «схаваць» у <math>\rho_b\ </math>, <math>\mathbf{j}_b</math>, а затым у <math>\mathbf{P}, \mathbf{M}</math> і, такім чынам, у <math>\mathbf{D},\mathbf{B}</math> складаны мікраскапічны характар электрамагнітнага поля ў асяроддзі.

=== Матэрыяльныя ўраўненні ===

Матэрыяльныя ўраўненні ўстанаўліваюць сувязь паміж <math>\mathbf{D},\mathbf{H}</math> і <math>\mathbf{E},\mathbf{B}</math>. Пры гэтым улічваюцца індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя. На практыцы ў матэрыяльных ураўненнях звычайна выкарыстоўваюцца эксперыментальна вызначаныя каэфіцыенты (залежныя ў агульным выпадку ад частаты электрамагнітнага поля), якія сабраны ў розных даведніках [[Фізічная велічыня|фізічных велічынь]]<ref>Напрыклад, {{кніга
| загаловак       = Таблицы физических величин
| адказны  = акад. И. К. Кикоин
| месца         = М.
| выдавецтва = Атомиздат
| год = 1976
}}</ref>.

* У слабых [[Электрамагнітнае поле|электрамагнітных палях]], якія параўнальна павольна змяняюцца ў прасторы і ў [[час]]е, у выпадку [[Ізатрапія|ізатропных]], [[Ферамагнетык|неферамагнітных]] і [[Сегнетаэлектрычнасць|несегнетаэлектрычных]] асяроддзяў справядліва прыбліжэнне, у якім [[палярызавальнасць]] і [[намагнічанасць]] лінейна залежаць ад прыкладзеных палёў:

{| class="standard" align="center" | width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{P}=\chi_e\mathbf{E}</math>
: <math>\mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H}</math>
|
: <math>\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}</math>
: <math>\mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H},</math>
|}

дзе ўведзеныя безразмерныя канстанты: <math>\chi_e\ </math> — [[дыэлектрычная ўспрымальнасць]] і <math>\chi_m\ </math> — [[магнітная ўспрымальнасць]] рэчыва (у сістэме адзінак [[СІ]] гэтыя канстанты ў <math>4\pi\ </math> разоў большыя, чым у гаусавай сістэме [[СГС]]). Адпаведна, матэрыяльныя ўраўненні для электрычнай і магнітнай індукцыі запісваюцца ў наступным выглядзе:

{| class="standard" align="center" | width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}=(1+4\pi\chi_e)\mathbf{E}</math>
: <math>\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}=(1+4\pi\chi_m)\mathbf{H}</math>
|
: <math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\varepsilon\mathbf{E}=\varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E}</math>
: <math>\mathbf{B}=\mu_0\mu\mathbf{H}=\mu_0(1+\chi_m)\mathbf{H},</math>
|}

дзе <math>\varepsilon\ </math> — [[адносная дыэлектрычная пранікальнасць]], <math>\mu\ </math> — [[магнітная пранікальнасць|адносная магнітная пранікальнасць]]. Размерныя велічыні <math>\varepsilon_0\varepsilon</math> (у адзінках [[СІ]] — [[Фарад|Ф]]/[[Метр|м]]) і <math>\mu_0\mu</math> (у адзінках СІ — [[Генры (адзінка вымярэння)|Гн]]/м), якія ўзнікаюць у сістэме [[СІ]], называюцца ''[[дыэлектрычная пранікальнасць|абсалютная дыэлектрычная пранікальнасць]]'' і ''[[Магнітная пранікальнасць|абсалютная магнітная пранікальнасць]]'' адпаведна.

* У правадніках існуе сувязь паміж [[Шчыльнасць току|шчыльнасцю току]] і [[Напружанасць электрычнага поля|напружанасцю электрычнага поля]], якая у добрым прыбліжэнні выражаецца [[Закон Ома|законам Ома]]:

<center><math>\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E},</math></center>

дзе <math>\sigma</math> — [[Электрычная праводнасць|удзельная праводнасць]] асяроддзя (у адзінках СІ — [[Ом (адзінка вымярэння)|Ом]]<sup>−1</sup>•м<sup>−1</sup>).

* У [[анізатрапія|анізатропным]] асяроддзі <math>\varepsilon</math>, <math>\mu</math> і <math>\sigma</math> з’яўляюцца тэнзарамі <math>\hat\varepsilon</math>, <math>\hat\mu</math> і <math>\hat\sigma</math>. У [[Сістэма каардынат|сістэме каардынат]] галоўных восей іх можна апісаць [[дыяганальная матрыца|дыяганальнымі матрыцамі]]. У гэтым выпадку, сувязь паміж напружанасцямі палёў і індукцыямі мае розныя каэфіцыенты па кожнай каардынаце. Напрыклад, у сістэме [[СІ]]:

<center><math>
\begin{array}{lll}
D_x = \varepsilon_{0}\varepsilon_{xx}\,E_x,~~~~~ & 
D_y = \varepsilon_{0}\varepsilon_{yy}\,E_y,~~~~~ & 
D_z = \varepsilon_{0}\varepsilon_{zz}\,E_z, \\ [3mm]
B_x = \mu_0\mu_{xx}\,H_x,~~~~~ & 
B_y = \mu_0\mu_{yy}\,H_y,~~~~~ & 
B_z = \mu_0\mu_{zz}\,H_z. 
\end{array}</math></center>

* Хоць для шырокага класа рэчываў лінейнае прыбліжэнне для слабых палёў выконваецца з высокай дакладнасцю, у агульным выпадку залежнасць паміж <math>\mathbf{D},\mathbf{H}</math> і <math>\mathbf{E},\mathbf{B}</math> можа быць [[Лінейная функцыя|нелінейнай]]. У гэтым выпадку пранікальнасці асяроддзя не з’яўляюцца пастаяннымі, а залежаць ад велічыні поля ў дадзенай кропцы. Акрамя таго, больш складаная сувязь паміж <math>\mathbf{D},\mathbf{H}</math> і <math>\mathbf{E},\mathbf{B}</math> назіраецца ў асяроддзях з прасторавай або часавай [[дысперсія святла|дысперсіямі]]. У выпадку прасторавай дысперсіі токі і [[электрычны зарад|зарады]] ў дадзенай кропцы прасторы залежаць ад велічыні поля не толькі ў той жа кропцы, але і ў суседніх кропках. У выпадку часавай дысперсіі палярызацыя і намагнічанасць асяроддзя не вызначаюцца толькі велічынёй поля ў дадзены момант часу, а залежаць таксама ад велічыні палёў у папярэднія моманты часу. У самым агульным выпадку нелінейных і неаднародных асяроддзяў з дысперсіяй, матэрыяльныя ўраўненні ў сістэме СІ прымаюць інтэгральны выгляд:

<center><math>
\mathbf{P}(\mathbf{r}, t) = \varepsilon_0 \int_v\!\int\limits_{-\infty}^t \hat{\chi}_e (\mathbf{r},\mathbf{r}'
,t-t', \mathbf{E}, \mathbf{H})\, \mathbf{E}(\mathbf{r}', t')\,  d t' d^3\mathbf{r}';</math></center>

<center><math>\mathbf{M}(\mathbf{r}, t) =  \int_v\!\int\limits_{-\infty}^t \hat{\chi}_m (\mathbf{r},\mathbf{r}', t-t', \mathbf{E}, \mathbf{H})\, \mathbf{H}(\mathbf{r}', t')\,  d t' d^3\mathbf{r}'.</math></center>.

Аналагічныя ўраўненні атрымліваюцца ў гаусавай сістэме [[СГС]] (калі фармальна прыняць <math>\varepsilon_0=1</math>).

=== Ураўненні ў ізатропных і аднародных асяроддзях без дысперсіі ===

У ізатропных і аднародных асяроддзях без дысперсіі ўраўненні Максвела прымаюць наступны выгляд:

{| class="standard"  align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=4\pi\,\frac{\rho}{\varepsilon}</math>
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
: <math>\nabla\times\mathbf{B}=\frac{4\pi}{c}\,\mu\,\mathbf{j}+\frac{\varepsilon\mu}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
: <math>\nabla\times\mathbf{B}={\mu\mu_0}\mathbf{j}+\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>
|}

У аптычным дыяпазоне частот замест дыэлектрычнай пранікальнасці <math>\varepsilon</math> выкарыстоўваецца [[паказчык праламлення]] <math>n=\sqrt{\varepsilon\mu}</math>, які паказвае адрозненне хуткасці распаўсюджвання [[монахраматычнае выпраменьванне|монахраматычнай светлавой хвалі]] ў асяроддзі ад хуткасці святла ў вакууме. Пры гэтым ў [[Бачнае выпраменьванне|аптычным дыяпазоне]] дыэлектрычная пранікальнасць звычайна прыкметна меншая чым на нізкіх частотах, а магнітная пранікальнасць большасці аптычных асяроддзяў практычна роўная адзінцы. Паказчык праламлення большасці празрыстых матэрыялаў складае ад 1 да 2, дасягаючы 5 у некаторых [[паўправаднік]]оў<ref>[http://refractiveindex.info/ Refractive index database]</ref>. У вакууме і дыэлектрычная, і магнітная пранікальнасці роўныя адзінцы: <math>\varepsilon=\mu=1</math>.

Ураўненні Максвелла ў лінейным асяроддзі з’яўляюцца лінейнымі адносна палёў <math>(\mathbf{E},\mathbf{B})</math> і свабодных зарадаў і токаў <math>(\rho,\mathbf{j})</math>, таму справядлівы [[прынцып суперпазіцыі]]:

<blockquote>
Калі размеркавані зарадаў і токаў<math>(\rho_1,\mathbf{j}_1)</math> ствараюць электрамагнітнае поле з кампанентамі<math>(\mathbf{E}_1,\mathbf{B}_1)</math>, а іншыя размеркаванні <math>(\rho_2,\mathbf{j}_2)</math> ствараюць, адпаведна, поле <math>(\mathbf{E}_2,\mathbf{B}_2)</math>, то сумарнае поле, якое ствараецца крыніцамі <math>(\rho_1+\rho_2,\mathbf{j}_1+\mathbf{j}_2)</math>, будзе роўнае <math>(\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2,\mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2)</math>.
</blockquote>

Пры распаўсюджванні электрамагнітных палёў у лінейным асяроддзі пры адсутнасці зарадаў і токаў сума любых асобных рашэнняў ураўненняў Максвела таксама будзе іх рашэннем.

=== Межавыя ўмовы ===

У многіх выпадках неаднароднае асяроддзе можна прадставіць у выглядзе сукупнасці кавалкава-непарыўных аднародных абласцей, раздзеленых бесканечна тонкімі межамі. Пры гэтым можна рашаць ураўненні Максвела ў кожнай вобласці асобна, а пасля «сшыць» атрыманыя рашэнні на межах. У прыватнасці, пры разглядзе рашэння ў канечным аб’ёме неабходна ўлічваць ўмовы на межах аб’ёму з навакольнай бясконцай прасторай. Межавыя ўмовы атрымліваюцца з ураўненняў Максвела гранічным пераходам. Для гэтага прасцей за ўсё скарыстаць ураўненні Максвелла ў інтэгральнай форме.

Выбіраючы ў другой пары ўраўненняў контур інтэгравання ў выглядзе прамавугольнай рамкі бясконца малой вышыні так, каб рамка перасякала мяжу падзелу двух асяроддзяў, можна атрымаць наступную сувязь паміж кампанентамі поля ў дзвюх абласцях, якія прымыкаюць да мяжы<ref>Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 42-45. — 539 с. — 8000 экз.</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>(\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0</math>,
: <math>(\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_s</math>,
|
: <math>(\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0</math>,
: <math>(\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf{j}_s</math>,
|}

дзе <math>\mathbf{n}_{1-2}</math> — адзінкавы вектар нармалі да паверхні, які накіраваны з асяроддзя 1 у асяроддзе 2 і мае размернасць, адваротную даўжыні, <math>\mathbf{j}_s</math> — шчыльнасць паверхневых ''свабодных'' токаў уздоўж мяжы (гэта значыць не уключаючы ''звязаных токаў'' намагнічвання, якія складваюцца на мяжы асяроддзя з мікраскапічных малекулярных і іншых падобных токаў). Першую межавую ўмову можна вытлумачыць як непарыўнасць на мяжы абласцей тангенцыяльных кампанент напружанасцей электрычнага поля (з другой вынікае, што тангенцыяльныя кампаненты напружанасці магнітнага поля непарыўныя толькі пры адсутнасці паверхневых токаў на мяжы).

Аналагічным чынам, выбіраючы вобласць інтэгравання ў першай пары інтэгральных ураўненняў у выглядзе [[цыліндр]]а бясконца малой вышыні, які перасякае мяжу падзелу так, што яго [[утваральная лінія|ўтваральныя]] [[перпендыкулярнасць|перпендыкулярныя]] мяжы падзелу, можна атрымаць:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>(\mathbf{D}_1-\mathbf{D}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = -4\pi\rho_s</math>,
: <math>(\mathbf{B}_1-\mathbf{B}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0</math>,
|
: <math>(\mathbf{D}_1-\mathbf{D}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = -\rho_s</math>,
: <math>(\mathbf{B}_1-\mathbf{B}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0</math>,
|}

дзе <math>\rho_s\ </math> — паверхневая шчыльнасць свабодных зарадаў (гэта значыць, што яна не ўключае ў сябе звязаных зарадаў, якія ўзнікаюць на мяжы асяроддзя з-за дыэлектрычнай палярызацыі самога асяроддзя).

Гэтыя межавыя ўмовы паказваюць непарыўнасць нармальнай кампаненты вектару магнітнай індукцыі (нармальная кампанента электрычнай індукцыі непарыўная толькі пры адсутнасці на мяжы паверхневых зарадаў).

З ураўнення непарыўнасці можна атрымаць межавую ўмову для токаў:

<center><math>(\mathbf{j}_1-\mathbf{j}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = \frac{\partial}{\partial t}\rho_s</math>,</center>

Важным асобным выпадкам з’яўляецца мяжа падзелу [[дыэлектрык]]а і [[Звышправоднасць|ідэальнага правадніка]]. А раз ідэальны праваднік мае бесканечную [[Электрычная праводнасць|праводнасць]], [[электрычнае поле]] ўнутры яго роўнае нулю (інакш яно спараджала б бесканечную [[шчыльнасць току]]). Тады ў агульным выпадку зменных палёў з ураўненняў Максвела вынікае, што і магнітнае поле ў правадніку роўнае нулю. У выніку тангенцыяльная кампанента электрычнага і нармальная магнітнага поля на мяжы з ідэальным правадніком роўныя нулю:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{E}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0</math>,
: <math>\mathbf{H}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_s</math>,
: <math>\mathbf{D}_1 \cdot \mathbf{n}_{1-2} = -4\pi\rho_s</math>,
: <math>\mathbf{B}_1\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0</math>,
|
: <math>\mathbf{E}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0</math>,
: <math>\mathbf{H}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf{j}_s</math>,
: <math>\mathbf{D}_1\cdot \mathbf{n}_{1-2} = -\rho_s</math>,
: <math>\mathbf{B}_1\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0</math>,
|}

== Законы захавання ==

Ураўненні Максвела ўтрымліваюць у сабе законы захавання [[Электрычны зарад|зараду]] і [[энергія электрамагнітнага поля|энергіі электрамагнітнага поля]].

=== Ураўненне непарыўнасці ===

Крыніцы палёў (<math>\rho,~\mathbf{j}</math>) не могуць быць зададзены адвольным чынам. Прымяняючы аперацыю [[дывергенцыя, матэматыка|дывергенцыі]] да чацвёртага ўраўнення (закон Ампера-Максвела) і выкарыстоўваючы першае ўраўненне (закон Гаўса), можна атрымаць [[ураўненне непарыўнасці]] для зарадаў і токаў:

<center><math>\nabla\cdot\mathbf{j}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0.</math></center>

{{Hider|  title = ''Вывад ураўнення непарыўнасці'' |  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
[[Дывергенцыя, матэматыка|Дывергенцыя]] ад [[ротар, матэматыка|ротара]] роўная нулю, таму для чацвёртага ўраўнення Максвела (Закон Ампера-Максвела) у сістэме [[СІ]] маем:
<center>
<math>
0=\nabla\cdot[\nabla\times \mathbf{H}] = \nabla\cdot\mathbf{j}+\frac{\partial \nabla\cdot \mathbf{D}}{\partial t}= \nabla\cdot\mathbf{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t},
</math>
</center>
дзе ў апошняй роўнасці падстаўлена першае ўраўненне (Закон Гауса).
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

Гэта ўраўненне пры дапамозе інтэгральнай [[Формула Гауса — Астраградскага|тэарэмы Астраградскага — Гауса]] можна запісаць у наступным выглядзе:

<center><math>\oint_s \mathbf{j}\cdot d\mathbf{s} = - \frac{d}{d t}\int_v \rho\, dv.</math></center>

У левай частцы ўраўнення знаходзіцца поўны ток, што працякае праз замкнёную паверхню <math>s\ </math>. У правай частцы — змяненне з часам зараду ўнутры аб’ёму <math>v\ </math>. Такім чынам, змяненне зараду ўнутры аб’ёму магчыма толькі пры яго прытоку або адтоку праз паверхню <math>s\ </math>, якая абмяжоўвае аб’ём.

Ураўненне непарыўнасці, раўназначнае [[Закон захавання зараду|закону захавання зараду]], выходзіць далёка за межы [[Класічная электрадынаміка|класічнай электрадынамікі]], застаючыся справядлівым і ў квантавай тэорыі. Таму гэта ўраўненне само па сабе можа быць паложана ў аснову электрамагнітнай тэорыі. Тады, напрыклад, ток зрушэння (вытворная па часе электрычнага поля) павінен абавязкова прысутнічаць у законе Ампера.

З ураўненняў Максвелла для [[ротар, матэматыка|ротараў]] і ўраўнення непарыўнасці з дакладнасцю да адвольных функцый, незалежных ад часу, вынікаюць законы Гауса для электрычнага і магнітнага палёў.
<!-------------------
<center><math>\frac{\partial }{\partial t} (\nabla\mathbf{D}-\rho)=0,~~~~~~~~~~~~~
\frac{\partial }{\partial t} \nabla\mathbf{B}=0,</math></center>
------------------->

=== Закон захавання энергіі ===
{{Гл. таксама|Тэарэма Пойнтынга}}

Калі дамножыць трэцяе ўраўненне Максвела ў дыферэнцыяльнай форме (закон Фарадэя) [[скалярны здабытак|скалярна]] на <math>\mathbf H</math>, а чацвёртае (закон Ампера — Максвела) — на <math>-\mathbf E</math> і скласці вынікі, можна атрымаць [[Тэарэма Пойнтынга|тэарэму Пойнтынга]]:

<center><math>\nabla\cdot\mathbf{S}+\frac{\partial}{\partial t}\left(w_E+w_H\right)=-\mathbf{E}\mathbf{j},</math></center>

дзе

<center>
{| class="standard" | width="75%"
|-
!width="50%"|[[СГС]]|| width="50%"|[[СІ]]
|-
|
: <math>\mathbf{S}=\frac{c}{4\pi}\mathbf E \times\mathbf H</math>
: <math>w_E = \frac{1}{8\pi}\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}</math>
: <math>w_H = \frac{1}{8\pi}\,\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}</math>
|
: <math>\mathbf{S}=\mathbf E \times\mathbf H</math>
: <math>w_E = \frac{1}{2}\,\mathbf{E}\cdot \mathbf{D}</math>
: <math>w_H = \frac{1}{2}\,\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}</math>
|}
</center>

{{Hider|title = ''Вывад тэарэмы Пойнтынга'' |content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Пры дапамозе трэцяга і чацвёртага ўраўнення Максвела ў дыферэнцыяльнай форме, у сістэме [[СІ]] можна атрымаць:
<center><math>\mathbf{E}\cdot[\nabla\times\mathbf{H}] = \mathbf{E}\mathbf{j} + \mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},~~~~~~~~~~~~~
\mathbf{H}\cdot[\nabla\times\mathbf{E}] = -\mathbf{H}\cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.</math></center>
Розніца левых частак ураўненняў згортваецца па наступнай формуле вектарнага аналізу (вытворная здабытку):
<center>
<math>
\nabla\cdot[\mathbf{E}\times\mathbf{H}]=\mathbf{H}\cdot[\nabla\times\mathbf{E}]-\mathbf{E}\cdot[\nabla\times\mathbf{H}]. 
</math>
</center>
У лінейных, але, магчыма, неізатропных асяроддзях, паміж напружаннямі і індукцыямі існуе лінейная сувязь. Напрыклад, для электрычнага поля
<math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\,\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{E} </math>. 
Калі <math>\hat{\varepsilon}</math> — [[сіметрычная матрыца]], якая не залежыць ад часу, то:
<center>
<math>\mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = 
\varepsilon_0\, \mathbf{E}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
=\frac{\varepsilon_0}{2}\,\frac{\partial (\mathbf{E}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{E})}{\partial t}
=\frac{1}{2}\frac{\partial (\mathbf{E}\cdot\mathbf{D})}{\partial t}.
</math>
</center>
Аналагічна для магнітнага поля.
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

Вектар <math>\mathbf{S}</math> называецца [[вектар Пойнтынга|вектарам Пойнтынга]] (вектарам шчыльнасці патоку электрамагнітнай энергіі) і вызначае колькасць электрамагнітнай энергіі, якая пераносіцца праз адзінку плошчы ў адзінку часу. Інтэграл вектара Пойнтынга па сячэнні хвалі, якая распаўсюджваецца, вызначае яе моц. Важна адзначыць, што, як упершыню паказаў [[Олівер Хэвісайд|Хэвісайд]], фізічны сэнс патоку энергіі мае толькі бязвіхравая частка вектара Пойнтынга. Віхравая частка, [[дывергенцыя, матэматыка|дывергенцыя]] якой роўная нулю, не звязана з пераносам энергіі. Заўважым, што Хэвісайд атрымаў выраз для закона захавання незалежна ад Пойнтынга. У рускамоўнай літаратуры вектар Пойнтынга часта называецца таксама «вектарам Умава — Пойнтынга».

Велічыні <math>w_E\ </math> і <math>w_H\ </math> вызначаюць аб’ёмныя шчыльнасці энергіі, адпаведна, электрычнага і магнітнага палёў. Пры адсутнасці токаў і звязаных з імі страт тэарэма Пойнтынга з’яўляецца [[ураўненне непарыўнасці|ўраўненнем непарыўнасці]] для энергіі электрамагнітнага поля. Праінтеграваўшы яго ў гэтым выпадку па некаторым замкнёным аб’ёме і скарыстаўшы [[формула Гауса — Астраградскага|тэарэму Астраградскага — Гауса]], можна атрымаць [[закон захавання энергіі]] для [[Электрамагнітнае поле|электрамагнітнага поля]]:

<center><math>\oint_s\mathbf{S}\cdot d\mathbf{s}+\frac{d}{dt}\int_v(w_E+w_H)\,dv=0.</math></center>

Гэта ўраўненне паказвае, што пры адсутнасці ўнутраных страт змяненне энергіі электрамагнітнага поля ў аб’ёме адбываецца толькі за кошт магутнасці [[Электрамагнітнае выпраменьванне|электрамагнітнага выпраменьвання]], што пераносіцца праз мяжу гэтага аб’ёму.

Вектар Пойнтынга звязаны з імпульсам электрамагнітнага поля<ref>Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 112—113. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7</ref>:
<center><math> \mathbf{p} = \frac{1}{c^2}\int \mathbf{S}\,dv,</math></center>
дзе інтэграванне праводзіцца па ўсёй прасторы. [[Электрамагнітная хваля]], паглынаючыся або адлюстроўваючыся ад некаторай паверхні, перадае ёй частку свайго [[імпульс]]у, што праяўляецца ў форме [[Ціск электрамагнітнага выпраменьвання|светлавога ціску]]. Эксперыментальна гэты эфект ўпершыню назіраўся [[Пётр Мікалаевіч Лебедзеў|П. Н. Лебедзевым]] ў [[1899]] годзе.

== Патэнцыялы ==

=== Скалярныя і вектарныя патэнцыялы ===

Закон Фарадэя і закон Гауса для магнітнай індукцыі выконваюцца тоесна, калі электрычнае і магнітнае палі выразіць праз ''скалярны'' <math>\varphi</math> і ''вектарны'' <math>\mathbf{A}</math> патэнцыялы<ref>Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 69-76,95-96. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{E}=-\nabla \varphi-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}</math>
: <math>\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}</math>
|
: <math>\mathbf{E}=-\nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>
: <math>\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}</math>
|}

{{Hider|title = ''Доказ'' |content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Калі магнітнае поле роўнае [[ротар, матэматыка|ротару]] [[вектарны патэнцыял электрамагнітнага поля|вектарнага патэнцыялу]], то дывергенцыя аўтаматычна роўная нулю:
<center><math>\nabla\cdot\mathbf{B}= \nabla\cdot[\nabla\times\mathbf{A}]=[\nabla\times\nabla]\cdot\mathbf{A} = 0.</math></center>
Падстаўляючы выраз для напружанасці электрычнага поля ў закон Фарадэя, напрыклад, у сістэме [[СІ]], атрымліваем:
<center><math>\nabla\times\mathbf{E}
=\nabla\times\left(-\nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)
= -\nabla\times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}
= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.</math></center>

<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

Пры дадзеных электрычным <math>\mathbf{E}</math> і магнітным <math>\mathbf{B}</math> палях, [[электрычны патэнцыял|скалярны]] і [[вектарны патэнцыял электрамагнітнага поля|вектарны]] патэнцыялы вызначаны неадназначна. Калі <math>\psi\ </math> — адвольная функцыя каардынат і часу, то наступнае пераўтварэнне не зменіць значэнне палёў:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} +\nabla \psi</math>
: <math>\varphi \rightarrow \varphi - \frac{1}{c}\,\frac{\partial \psi}{\partial t}</math>
|
: <math>\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} +\nabla \psi</math>
: <math>\varphi \rightarrow \varphi - \frac{\partial \psi}{\partial t}.</math>
|}

Падобныя пераўтварэнні іграюць важную ролю ў [[Квантавая электрадынаміка|квантавай электрадынаміцы]] і ляжаць у аснове лакальнай [[калібравальная сіметрыя|калібравальнай сіметрыі]] [[Электрамагнітнае ўзаемадзеянне|электрамагнітнага ўзаемадзеяння]]. Лакальная калібравальная сіметрыя ўводзіць залежнасць ад каардынат і часу ў фазу глабальнай калібравальнай сіметрыі, якая, у сілу [[Тэарэма Нётэр|тэарэмы Нётэр]], прыводзіць да [[Закон захавання зараду|закона захавання зараду]].

Неадназначнасць вызначэння патэнцыялаў аказваецца зручнай для накладання на іх дадатковых умоў, так званай [[каліброўка вектарнага патэнцыялу|каліброўкі]]. Дзякуючы гэтаму, ўраўненні электрадынамікі прымаюць прасцейшы выгляд. Разгледзім, напрыклад, ураўненні Максвелла ў аднародных і ізатропных асяроддзях з дыэлектрычнай (<math>\varepsilon</math>) і магнітнай (<math>\mu\ </math>) пранікальнасцямі. Для дадзеных <math>\varphi</math> і <math>\mathbf{A}</math> заўсёды можна падабраць такую функцыю <math>f</math>, каб выконвалася ''калібравальная ўмова Лорэнца''<ref>Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 34-35. — 539 с. — 8000 экз.</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{\varepsilon\mu}{c}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0.</math>
|}

У гэтым выпадку тыя ўраўненні Максвела, што засталіся, ў аднародных і ізатропных асяроддзях можна запісаць у наступным выглядзе:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\square\phi = -4\pi\,\frac{\rho}{\varepsilon}</math>
: <math>\square\mathbf{A} = -\frac{4\pi}{c}\,\mu\,\mathbf{j}</math>
|
: <math>\square\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>
: <math>\square\mathbf{A} = -\mu\mu_0\,\mathbf{j},</math>
|}
дзе <math>\square</math> — [[аператар Д’Аламбера]], які і ў сістэме [[СГС]], і ў сістэме [[СІ]] мае выгляд:

<center><math>  \square = \Delta -\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}.</math></center>

Такім чынам, 8 ураўненняў Максвела для кампанент электрамагнітнага поля (2 вектарныя і 2 скалярныя) пры дапамозе патэнцыялаў можна звесці да 4 ураўненняў (скалярнага для <math>\varphi</math> і вектарнага для <math>\mathbf{A}</math>). Рашэнні гэтых ураўненняў для кропкавага зараду, які рухаецца адвольным чынам, называюцца [[патэнцыялы Ліенара — Віхерта|патэнцыяламі Ліенара — Віхерта]]<ref name="ReferenceA">Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 215—218. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7</ref>.

Можна ўвесці і іншыя [[каліброўка вектарнага патэнцыялу|каліброўкі]]. Так, для рашэння шэрагу задач зручнай аказваецца [[каліброўка вектарнага патэнцыялу|кулонаўская каліброўка]]:
<center><math>\nabla\cdot\mathbf{A} = 0</math></center>

У гэтым выпадку:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\Delta\phi = -4\pi\,\frac{\rho}{\varepsilon}</math>
: <math>\square\mathbf{A} = -\frac{4\pi}{c}\,\mu\,\mathbf{j}_\bot</math>
|
: <math>\Delta\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>
: <math>\square\mathbf{A} = -\mu\mu_0\,\mathbf{j}_\bot,</math>
|},
дзе <math>\mathbf{j}_\bot</math> — саленаідальная частка току (<math>\nabla\mathbf\cdot{j}_\bot=0</math>).

Першае ўраўненне апісвае імгненнае (без запазнення) дзеянне кулонаўскай сілы, бо кулонаўская каліброўка неінварыянтная адносна [[пераўтварэнні Лорэнца|пераўтварэнняў Лорэнца]]. Пры гэтым энергію кулонаўскага ўзаемадзеяння можна аддзяліць ад астатніх узаемадзеянняў, што спрашчае квантаванне поля ў [[гамільтанава сістэма|гамільтанавым фармалізме]]<ref>{{Кніга|аўтар =Гинзбург В. Л.|загаловак = Теоретическая физика и астрофизика |месца = М.|выдавецтва =Наука |год = 1981|старонак =503|старонкі =12}}</ref>.

Вектарны патэнцыял іграе вялікую ролю ў электрадынаміцы і ў [[Квантавая тэорыя поля|квантавай тэорыі поля]], аднак для даследавання працэсаў распаўсюджвання электрамагнітных хваль пры адсутнасці токаў і зарадаў яго ўвядзенне часта не прыводзіць да спрашчэння сістэмы, а зводзіцца да простай замены вектараў электрычнага і магнітнага поля на іншы аналагічны вектар, які апісваецца тымі ж ураўненнямі. Так, для гарманічных палёў вектарны патэнцыял будзе проста прапарцыянальны электрычнаму полю (скалярны патэнцыял пры гэтым можна прыняць роўным нулю).

=== Вектары Герца ===

* У [[1887]] годзе [[Генрых Герц]] прапанаваў замест непасрэднага рашэння '''ўраўненняў Максвела''' для двух вектарных функцый электрычнага і магнітнага палёў або скалярнага і вектарнага патэнцыялаў перайсці да новай адзінай вектарнай функцыі, якая цяпер носіць назву ''электрычнага вектара Герца'' <math>{\mathbf\Pi}^e</math> і дазваляе ў некаторых выпадках спрасціць рашэнне электрадынамічных задач, зводзячы іх да рашэння скалярнага хвалевага ўраўнення.

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\varphi=-\nabla\cdot\mathbf{\Pi}^e,</math>
: <math>\mathbf{A}=\frac{\varepsilon\mu}{c}\frac{\partial\mathbf{\Pi}^e}{\partial t},</math>
|
: <math>\varphi=-\nabla\cdot\mathbf{\Pi}^e,</math>
: <math>\mathbf{A}=\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial \mathbf{\Pi}^e}{\partial t},</math>
|-
|
: <math>\mathbf {E}^e = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{\Pi}^e) - \frac{\mu\varepsilon}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{\Pi}^e}{\partial t^2},</math>
: <math>\mathbf {B}^e = \frac{\mu\varepsilon}{c} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^e}{\partial t}.</math>
|
: <math>\mathbf {E}^e = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{\Pi}^e) - \frac{\mu\varepsilon}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{\Pi}^e}{\partial t^2},</math>
: <math>\mathbf {B}^e = \frac{\mu\varepsilon}{c^2} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^e}{\partial t}.</math>
|}

Заўважым, што скалярны <math>\varphi</math> і вектарны <math>\mathbf{A}</math> патэнцыялы, выражаныя праз вектар Герца, аўтаматычна задавальняюць [[каліброўка вектарнага патэнцыялу|калібравальнай умове Лорэнца]]. Вектар Герца ўлічвае ўсе палі, звязаныя са свабоднымі зарадамі і іх токамі.

Падстаўляючы выразы для палёў праз электрычны вектар у два апошнія ўраўненні Максвела, можна атрымаць<ref>Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 37-40. — 539 с. — 8000 экз.</ref><ref>''Essex E. A.'' Hertz vector potentials of electromagnetic theory. — [[American Journal of Physics]]. — 45. — 1977. — 1099—1101.</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{4\pi}{\varepsilon}\mathbf{P}_f
,</math>
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{4\pi}{\varepsilon} \left[\mathbf {P}+\mathbf{P}_f\right].</math>
|
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0}\mathbf {P}_f,</math>
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0} \left[\mathbf {P}+\mathbf {P}_f\right].</math>
|}

Тут уведзены вектар палярызацыі свабодных зарадаў і токаў:
<center><math>\mathbf j_f = \frac{\partial }{\partial t} {\mathbf P}_f,~~~~~~~~~~~~~~~~ 
\rho_f = - \nabla\cdot {\mathbf P}_f,</math></center>

(пры гэтым ураўненне непарыўнасці для зараду выконваецца аўтаматычна).

Такім чынам, электрычны вектар Герца вызначаецца хвалевымі ўраўненнямі, у правай частцы якіх стаіць палярызавальнасць, абумоўленая свабоднымі, альбо свабоднымі і звязанымі зарадамі, г. зн. электрычнымі дыпольнымі момантамі.

* У [[1901]] годзе парны электрычнаму вектару Герца магнітны вектар, які таксама традыцыйна называюць іменем Герца, увёў італьянскі фізік [[Аўгуста Рыгі]]<ref>A. Nisbet, «Hertzian electromagnetic potentials and associated gauge transformations», Proc. of the Royal Soc. of London. Ser. A., 231, #1185, 250—263, 1955.</ref>.
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\varphi=0,</math>
: <math>\mathbf{A}=\nabla\times\mathbf{\Pi}^m,</math>
|
: <math>\varphi=0,</math>
: <math>\mathbf{A}=\frac{1}{c}\nabla\times\mathbf{\Pi}^m,</math>
|-
|
: <math>\mathbf {D}^m = -\frac{\varepsilon\mu}{c} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^m}{\partial t},</math>
: <math>\mathbf {H}^m = \nabla\times[\nabla\times \mathbf{\Pi}^m] .</math>
|
: <math>\mathbf {D}^m = -\frac{\varepsilon\mu}{c^2} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^m}{\partial t},</math>
: <math>\mathbf {H}^m = \nabla\times[\nabla\times \mathbf{\Pi}^m] .</math>
|}

А раз палі, якія апісваюцца магнітным вектарам Герца, не залежаць ад свабодных зарадаў і токаў, а [[магнітны манаполь|магнітныя манаполі]] не выяўлены, то патэнцыялы задавальняюць каліброўцы Лорэнца ў выраджаным выглядзе — так званай [[каліброўка вектарнага патэнцыялу|кулонаўскай каліброўцы]] (<math>\varphi=0</math>, <math>\nabla\cdot\mathbf{A}=0</math>).

Аналагічным чынам можна атрымаць ураўненні для магнітнага патэнцыялу Герца, падстаўляючы выражаныя праз яго палі ў трэцяе і чацвёртае ўраўненні Максвела без току:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} = 0,</math>

: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} =- \frac{4\pi}{\mu} \mathbf {M}
.</math>
|
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} =0,</math>

: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} =- \frac{1}{\mu} \mathbf {M}.</math>
|}

Дзеянне вонкавых магнітных палёў, звязаных са знешнімі крыніцамі, можна ўлічыць, па аналогіі з электрычным вектарам Герца, увядзеннем у правыя часткі дадатковай магнітнай палярызацыі <math>\mathbf {M}_f</math>.

Такім чынам, вылучаецца два тыпы электрамагнітных палёў, якія выражаюцца праз электрычны і магнітны патэнцыялы Герца, а адвольнае поле можна прадставіць у выглядзе сумы такіх палёў. Палі, якія выражаюцца праз электрычны вектар Герца, носяць назву палёў электрычнага тыпу або папярочна-магнітных <nowiki>(TM)</nowiki> палёў, бо магнітнае поле для іх артаганальнае кірунку вектара Герца. Адпаведна, палі, якія выражаюцца праз магнітны вектар Герца, называюць палямі магнітнага тыпу або папярочна-электрычнымі палямі <nowiki>(TE)</nowiki>, электрычнае поле ў якіх артаганальнае спараджаючаму вектару Герца. Палі TM можна прадставіць як палі, якія спараджаюцца размеркаванымі ў прасторы электрычнымі дыполямі, а палі TE, адпаведна, магнітнымі. Вектарныя патэнцыялы Герца, у сваю чаргу, у многіх выпадках можна выразіць праз скалярныя патэнцыялы.

=== Патэнцыялы Дэбая ===

У электрадынаміцы шырока выкарыстоўваюцца скалярныя патэнцыялы, прапанаваныя [[Петэр Іозеф Вільгельм Дэбай|Дэбаем]]<ref>{{артыкул|аўтар=P. Debye|загаловак=Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material|мова=de|выданне=[[Annalen der Physik]]|год=1909|том=30|старонкі=57—136}}</ref>.

Хвалевае ўраўненне ўяўляе сабой сістэму трох звязаных скалярных ураўненняў, якія распадаюцца на тры скалярных ураўненні Гельмгольца толькі ў [[Прамавугольная сістэма каардынат|дэкартавай сістэме каардынат]]. Дзеля зручнасці пошуку рашэнняў, адпаведных межавым ўмовам, пажадана выбіраць каардынатныя сістэмы, каардынатныя паверхні якіх блізкія або супадаюць з паверхнямі меж. Адзін з падыходаў да рашэння вектарнага ўраўнення Гельмгольца заключаецца ва ўвядзенні скалярных функцый <math>\psi\,</math>, якія задавальняюць скалярнае хвалевае ўраўненне Гельмгольца, і праз якія затым можна выразіць вектарныя палі<ref>Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 345—348. — 539 с. — 8000 экз.</ref>:

: <math>\nabla^2 {\psi}+ k^2 \psi=0. </math>

: <math>{\mathbf M}_\psi=\nabla\times ({\mathbf f}\psi),</math>

: <math>{\mathbf N}_\psi = \frac{1}{k}\nabla\times\nabla \times({\mathbf f}\psi),</math>

: <math>{\mathbf L}_\psi=\nabla\psi.</math>

Тут <math>\mathbf f</math> — некаторая вектарная функцыя каардынат. Вектар <math>{\mathbf L}_\psi</math>, апісвае патэнцыяльную частку поля і яго можна прыняць роўным нулю пры адсутнасці свабодных зарадаў.

Калі для некаторай артаганальнай каардынатнай сістэмы існуе функцыя <math>{\mathbf f}({\mathbf r})</math>, прапарцыянальная каардынатнаму вектару, то адвольнае вектарнае поле, якое адпавядае вектарнаму ўраўненню Гельмгольца ў гэтай сістэме, можна прадставіць у выглядзе сумы вектарных функцый, прапарцыянальных вектарам <math>{\mathbf M}_\psi</math> і <math>{\mathbf N}_\psi</math>. Як вынікае з ураўненняў Максвела, электрычнаму полю, прапарцыянальнаму <math>{\mathbf M}_\psi</math>, адпавядае магнітнае поле тыпу <math>{\mathbf N}_\psi</math> і наадварот. Пры гэтым вектарныя патэнцыялы <math>{\mathbf f}\psi</math> адпавядаюць вектарам Герца. У гэтым выпадку поле, прапарцыянальнае <math>{\mathbf M}_\psi</math>, [[нармаль]]нае вектару <math>{\mathbf f}</math>, таму яго кампаненты з’яўляюцца тангенцыяльнымі да адпаведнай <math>{\mathbf f}</math> каардынатнай паверхні. Калі межы ў задачы, што рашаецца, супадаюць з адной з такіх каардынатных паверхняў, то задавальненне межавых ўмоў істотна спрашчаецца.

Такое прадстаўленне магчыма толькі для абмежавага мноства артаганальных каардынатных сістэм<ref>{{артыкул|аўтар=R. Janaswamy|загаловак=A note on the {TE/TM} decomposition of electromagnetic fields in three dimensional homogeneous space|мова=en|выданне=[[IEEE Transactions on Antennas and Propagation]]|год=2004|том=52|старонкі=2474—2476}}</ref>. У [[прамавугольная сістэма каардынат|дэкартавай сістэме каардынат]] у якасці вектара <math>{\mathbf f}</math> можа выступаць любы каардынатны вектар. Адпаведныя рашэнні ўяўляюць сабой плоскія хвалі. Для [[цыліндрычная сістэма каардынат|цыліндрычнай сістэмы каардынат]] <math>{\mathbf f}={\mathbf i}_z</math>, для [[Сферычная сістэма каардынат|сферычнай]] <math>{\mathbf f}={\mathbf r}</math>. Акрамя таго, такое прадстаўленне магчыма ў канічнай, а таксама адносна восі <math>z</math> ў [[Цыліндрычныя парабалічныя каардынаты|парабалічнай]] і [[Эліптычныя каардынаты|эліптычнай]] цыліндрычных сістэмах каардынат.

=== Вектары Рымана — Зільберштэйна ===

Калі ўвесці [[Камплексны лік|камплексны]] вектар Рымана — Зільберштэйна <math>\mathbf F</math> і камплексна спалучаны яму вектар <math>\mathbf F^*</math><ref>{{артыкул|аўтар=L. Silberstein|загаловак=Electromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung|мова=de|выданне=[[Annalen der Physik]]|год=1907|том=22|старонкі=579}}</ref><ref name="Birula">{{артыкул|аўтар=I. Bialynicky-Birula|загаловак=Photon wave function|мова=en|выданне=[[Progress in Optics]]|год=1996|том=36|старонкі=245—294}}</ref><ref>Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 40—42. — 539 с. — 8000 экз.</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf F=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}\left[\sqrt{\epsilon}\mathbf E+i\sqrt{\mu}\mathbf H\right],</math>
|
: <math>\mathbf F=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}\mathbf E+i\sqrt{\mu\mu_0}\mathbf H\right],</math>
<!----------------
|-
|
: <math>\mathbf F^*=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}\left[\sqrt{\epsilon}\mathbf E-i\sqrt{\mu}\mathbf H\right],</math>
: <math>\mathbf E=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{\varepsilon}}\left[\mathbf F+\mathbf F^*\right],</math>
: <math>\mathbf H=-\frac{i\sqrt{2\pi}}{\sqrt{\mu}}\left[\mathbf F-\mathbf F^*\right],</math>
|
: <math>\mathbf F^*=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}\mathbf E-i\sqrt{\mu\mu_0}\mathbf H\right],</math>
: <math>\mathbf E=\frac{1}{\sqrt{2\varepsilon\varepsilon_0}}\left[\mathbf F+\mathbf F^*\right],</math>
: <math>\mathbf H=-\frac{i}{\sqrt{2\mu\mu_0}}\left[\mathbf F-\mathbf F^*\right],</math>
---------------->
|}

то ўраўненні Максвелла зводзяцца да двух:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot \mathbf{F}=\sqrt{\frac{2\pi}{\varepsilon}}\rho,</math>
: <math>\nabla\times \mathbf{F}=i\sqrt{2\pi\mu}\mathbf{j}+i\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}.</math>
|
: <math>\nabla\cdot \mathbf{F}=\sqrt{\frac{1}{2\varepsilon\varepsilon_0}}\rho,</math>
: <math>\nabla\times \mathbf{F}=i\sqrt{\frac{\mu\mu_0}{2}}\mathbf{j}+i\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}.</math>
|}

Пры адсутнасці іншых зарадаў і токаў застаецца толькі другое ўраўненне (першае з-за роўнасці [[дывергенцыя, матэматыка|дывергенцыі]] [[ротар, матэматыка|ротара]] нулю ў гэтым выпадку задавальняецца аўтаматычна з дакладнасцю да незалежнай ад часу кампаненты):

<center>
<math>\nabla\times \mathbf F= i\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}.</math>
</center>

У адрозненне ад хвалевага ўраўнення, якое атрымліваецца ў гэтым выпадку для вектараў поля або патэнцыялу, апошняе вектарнае дыферэнцыяльнае ўраўненне мае першы, а не другі парадак і таму ў шэрагу выпадкаў можа быць прасцейшым для рашэння.

Для гарманічнага поля з залежнасцю <math>\mathbf F= \mathbf F^\pm e^{\pm i\omega t}</math> вектар <math>\mathbf F</math> з’яўляецца [[уласны вектар|уласным вектарам]] аператара [[ротар, матэматыка|ротара]]:

<center>
<math>\nabla\times\mathbf F^\pm=\mp k\mathbf F^\pm.</math>
</center>

Пры выбранай нарміроўцы <math>\mathbf F</math> мае сэнс [[камплексная амплітуда|камплекснай амплітуды]] электрамагнітнага поля, а яго квадрат модуля

<center>
<math>w=|\mathbf F|^2\equiv\mathbf F^*\mathbf F=w_E+w_H</math>
</center>

мае сэнс шчыльнасці энергіі поля.

[[Вектар Пойнтынга]]:

<center>
<math>\mathbf S=-\frac{ic}{\sqrt{\varepsilon\mu}}{\mathbf F}^*\times{\mathbf F}.</math>
</center>

Вектары <math>\mathbf F</math> і <math>\mathbf F^*</math> можна інтэрпрэтаваць як [[хвалевая функцыя|хвалевыя функцыі]] цыркулярна палярызаваных [[фатон]]аў<ref name="Birula"/>.

== Каварыянтная фармулёўка ==

З сучаснага пункту гледжання, чатырохмерная каварыянтная фармулёўка электрадынамікі, і ў прыватнасці — запіс ураўненняў Максвела ў такім выглядзе, з’яўляецца фізічна найбольш фундаментальнай.

Практычна яна прыводзіць, акрамя відавочнай каварыянтнасці, да значна большай кампактнасці ўраўненняў, а значыць пэўнай прыгажосці і ў шэрагу выпадкаў зручнасці, і больш арганічна і прама ўключае ў сябе адзінства [[Электрамагнітнае поле|электрамагнітнага поля]].

Пад каварыянтнай фармулёўкай разумеюць два прама і непасрэдна звязаныя варыянты, якія, аднак, адрозніваюцца: [[Лорэнц-каварыянтнасць|Лорэнц-каварыянтная]] фармулёўка ў плоскай [[Прастора-час|прасторы-часе]] [[Прастора Мінкоўскага|Мінкоўскага]] і [[агульная каварыянтнасць|агульнакаварыянтная]] фармулёўка для агульнага выпадку скрыўлення прасторы-часу (якая звычайна разглядаецца ў кантэксце [[Агульная тэорыя адноснасці|агульнай тэорыі адноснасці]]). Другі варыянт адрозніваецца ад першага тым, што [[метрычны тэнзар|метрыка]] прасторы-часу ў ім не сталая (што можа азначаць як прысутнасць [[Гравітацыя|гравітацыі]], так і проста выкарыстанне шырэйшага класа каардынат, напрыклад, адпаведных неінерцыяльным [[Сістэма адліку|сістэмам адліку]]), і шмат у чым зводзіцца да замены звычайных вытворных па (чатырохмерных) каардынатах на [[каварыянтная вытворная|каварыянтныя вытворныя]] (у значнай частцы выпадкаў гэта зводзіцца да механічнай замены першых на другія). Акрамя іншага, другі варыянт дазваляе даследаваць узаемадзеянне электрамагнітнага поля з гравітацыяй.

* Ніжэй спачатку разгледжаны (як больш просты) першы варыянт — варыянт лорэнц-каварыянтнай фармулёўкі ў плоскай прасторы-часе.

=== Чатырохмерныя вектары ===

Пры каварыянтным запісе ўраўненняў электрадынамікі ажыццяўляецца пераход ад трохмерных вектараў і скаляраў да чатырохмерных вектараў ([[4-вектар]]ы). Незалежна ад [[Сістэма адзінак|сістэмы адзінак]], чатырохмерныя каардынаты (4-вектар каардынат, у кампаненты якога ўваходзяць час і трохмерныя прасторавыя каардынаты), вытворная па гэтых каардынатах (4-вытворная) і [[шчыльнасць току]] вызначаюцца наступным чынам{{efn|Тут і ніжэй выкарыстоўваюцца найбольш ужывальныя ў сучаснай літаратуры пагадненні (аб нумарацыі каардынат, сігнатуры метрыкі т.п.), якія наогул кажучы могуць быць выбраны і трохі іначай, што сустракаецца ў літаратуры.}}:

<center><math>x^\alpha=(ct, ~\mathbf{r})=(ct,x,y,z),
</math></center>
<center>
<math>\partial_\alpha=\frac{\partial }{\partial x^\alpha}=\Bigl(\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t}, ~\nabla\Bigr)=\Bigl(\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\Bigr),</math></center>
<center><math>j^\alpha=\rho \frac{dx^\alpha}{dt}=(c\rho, ~\mathbf{j})=(c\rho,j_x,j_y,j_z).
</math></center>

Індэкс 4-вектара прымае значэнні <math>\alpha=0,1,2,3\ </math>. У кампанентным запісе вектара спачатку ідзе нулявая кампанента, затым — прасторавыя. Напрыклад, час роўны <math>t=x^0/c\ </math>, а шчыльнасць зараду <math>\rho=j^0/c\ </math>. У выніку гэтых азначэнняў, [[закон захавання зараду]] ў каварыянтнай форме прымае наступны выгляд:

<center>
<math>\partial_\alpha j^\alpha=0.
</math>
</center>

Тут выкарыстоўваецца наступнае правіла ([[правіла Эйнштэйна]]): калі індэкс паўтараецца, то ў формуле маецца на ўвазе сумаванне ад 0 да 3.

{{Hider|
  title = ''Прыклад'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Прыведзенае вышэй ураўненне з'яўляецца кампактным запісам ураўнення непарыўнасці:
<center>
<math>\partial_0 j^0+\partial_1 j^1+\partial_2 j^2+\partial_3 j^3= \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\mathbf{j}=0.
</math>
</center>
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

Увядзем 4-вектар патэнцыялу, які мае ў сістэмах [[СГС]] і [[СІ]] наступныя кампаненты:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>A^\alpha  = (\varphi, ~~\mathbf{A})</math>
: <math>A_\alpha  = (\varphi, -\mathbf{A})</math>
|
: <math>A^\alpha = (\varphi/c, ~~\mathbf{A})</math>
: <math>A_\alpha = (\varphi/c, -\mathbf{A})</math>
|}

Пры каварыянтным запісе мае значэнне, дзе стаіць індэкс у 4-вектара. Калі індэкс знаходзіцца ўнізе, то такі вектар называецца каварыянтным вектарам (або кавектарам), і яго прасторавыя кампаненты маюць адваротны знак у параўнанні з кампанентамі 4-вектара. Узняцце і апусканне індэксаў праводзіцца пры дапамозе [[метрычны тэнзар|метрычнага тэнзара]] <math>A_\alpha=g_{\alpha\beta}A^\beta\ </math>, які ў чатырохмернай [[прастора Мінкоўскага|прасторы Мінкоўскага]] мае дыяганальны выгляд з сігнатурай:<math>g_{\alpha\beta}=g^{\alpha\beta}={\rm diag}(1,-1,-1,-1)\ </math>.

З дапамогай такога вызначэння 4-вектара патэнцыялу, калібравальную ўмову Лорэнца ў каварыянтнай форме можна запісаць наступным чынам:

<center>
<math>\partial_\alpha A^\alpha=0.
</math>
</center>

Калі гэта ўмова выконваецца, то ўраўненні Максвела для патэнцыялаў у вакууме пры наяўнасці зарадаў і токаў прымаюць выгляд:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\partial^2 A^\alpha  = \frac{4\pi}{c}\,j^\alpha</math>
|
: <math>\partial^2 A^\alpha  = \mu_0\,j^\alpha</math>,
|}

дзе <math>\partial^2</math> — [[аператар Даламбера]] з адваротным знакам:

<center>
<math>\partial^2 = \partial_\alpha\partial^\alpha = -\square = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta.
</math>
</center>

Нулявая кампанента ўраўненняў Максвела для 4-вектара патэнцыялу адпавядае ўраўненню для <math>\varphi</math>, а прасторавая — для <math>\mathbf{A}</math>.

=== Тэнзар электрамагнітнага поля ===

Вызначым каварыянтны тэнзар электрамагнітнага поля пры дапамозе вытворнай ад 4-вектара патэнцыялу<ref>Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 88-90. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7</ref><ref>Müller-Kirsten H. J. W. Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects. — Singapore: World Scientific, 2004. — P. 398,399. — 522 p. — ISBN 981-238-807-9</ref>:

<center><math>F_{\alpha\beta}=\partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha.</math></center>

Яўна гэты антысіметрычны тэнзар (<math>F_{\alpha\beta} =-F_{\beta\alpha}\ </math>) можна прадставіць у наступным выглядзе:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>F_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix}
0 & E_x & E_y & E_z \\
-E_x & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z & -B_y & B_x & 0
\end{matrix}\right),</math>
|
: <math>F_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{matrix}\right).</math>
|}

Часавыя кампаненты тэнзара складаюцца з кампанент [[Напружанасць электрычнага поля|напружанасці электрычнага поля]], а прасторавыя — магнітнага, што можна запісаць наступным чынам: <math>F_{\alpha\beta}=(\mathbf{E},\mathbf{B})</math>. У тэнзары электрамагнітнага поля з верхнімі індэксамі змяняецца знак у нулявых кампанент (гэта значыць перад кампанентамі электрычнага поля): <math>F^{\alpha\beta}=(-\mathbf{E},\mathbf{B})</math>.

Выкарыстоўваючы азначэнне тэнзара электрамагнітнага поля, нескладана праверыць выкананне наступнай тоеснасці:

<center><math>\partial_\alpha F_{\beta \gamma}+\partial_\beta F_{\gamma\alpha}+\partial_\gamma F_{\alpha \beta}=0.</math></center>

Яго можна перапісаць ў кампактнейшым выглядзе, увёўшы дуальны тэнзар электрамагнітнага поля:
<center><math>\partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha \beta} = 0, \qquad \tilde{F}^{\alpha \beta} =\frac{1}{2}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\, F_{\gamma\delta},</math></center>

дзе <math>\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\ </math> — антысіметрычны [[сімвал Леві-Чывіты]] (<math>\epsilon^{0123}=1\ </math>). Гэта ўраўненне з’яўляецца каварыянтным запісам закона Гауса для магнітнага поля і закона электрамагнітнай індукцыі Фарадэя. Кампаненты дуальнага тэнзара <math>\tilde{F}_{\alpha\beta}</math> атрымліваюцца з тэнзара <math>F_{\alpha\beta}\,</math>, у выніку перастаноўкі электрычнага і магнітнага палёў<ref>Müller-Kirsten H. J. W. Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects. — Singapore: World Scientific, 2004. — P. 399. — 522 p. — ISBN 981-238-807-9</ref>: <math>\tilde{F}_{\alpha\beta}=(\mathbf{B},-\mathbf{E})</math>, <math>\tilde{F}^{\alpha\beta}=(-\mathbf{B},-\mathbf{E})</math>.

Поўная сістэма ўраўненняў Максвела ў каварыянтнай форме мае выгляд:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha \beta} = 0</math>
: <math>\partial_\alpha F^{\alpha \beta}=\frac{4\pi}{c}j^\beta,</math>
|
: <math>\partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha \beta} = 0</math>
: <math>\partial_\alpha F^{\alpha \beta}=\mu_0\,j^\beta.</math>
|}

Па індэксу <math>\alpha\ </math>, які ўваходзіць у формулу двойчы, праводзіцца сумаванне ад 0 да 3, а ў правай частцы другога ўраўнення знаходзіцца 4-вектар току. Нулявая кампанента гэтага ўраўнення адпавядае закону Гауса, а прасторавыя — закону Ампера — Максвела.

Пры дапамозе тэнзара электрамагнітнага поля можна атрымаць законы пераўтварэнняў кампанент электрычнага і магнітнага палёў пры іх вымярэнні адносна розных [[інерцыяльная сістэма адліку|інерцыяльных сістэм адліку]]<ref>Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 90-91. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7</ref><ref>Müller-Kirsten H. J. W. Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects. — Singapore: World Scientific, 2004. — P. 403. — 522 p. — ISBN 981-238-807-9</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math> E'_y = \gamma\, \left(E_y - {u \over c} \,B_z\right),~~~
E'_z = \gamma\,\left(E_z + {u \over c} \,B_y\right),</math>
: <math> B'_y = \gamma\,\left(B_y + {u \over c}\, E_z\right),~~~
B'_z = \gamma\,\left(B_z - {u \over c} \,E_y\right),</math>
|
: <math>E'_y = \gamma\,(E_y - u \,B_z),~~~
E'_z = \gamma\,(E_z + u \, B_y),</math>
: <math>B'_y = \gamma\,\left(B_y + {u \over c^2}\,E_z\right),~~
B'_z = \gamma\,\left(B_z - {u \over c^2}\,E_y\right),</math>
|}

дзе «штрыхаваныя» велічыні вымяраюцца адносна [[Сістэма адліку|сістэмы адліку]], якая рухаецца ўздоўж восі <math>x\,</math>, з хуткасцю <math>u\,</math>, адносна сістэмы, у якой вымяраюцца «не штрыхаваныя» кампаненты палёў, а <math>\gamma=1/\sqrt{1-u^2/c^2}</math> — [[Лорэнц-фактар|множнік Лорэнца]]. Кампаненты палёў уздоўж напрамку адноснага руху інерцыяльных сістэм адліку застаюцца нязменнымі: <math>E'_x = E_x,~~B'_x = B_x</math>.

Ураўненні Максвела ў [[вакуум]]е інварыянтныя адносна [[пераўтварэнні Лорэнца|пераўтварэнняў Лорэнца]]. Гэта паслужыла адным са штуршкоў да стварэння [[Спецыяльная тэорыя адноснасці|спецыяльнай тэорыі адноснасці]].

Электрычнае і магнітнае палі розным чынам змяняюцца пры інверсіі восей прасторавай сістэмы каардынат. Электрычнае поле з’яўляецца палярным вектарам, а магнітнае — аксіяльным вектарам. Можна пабудаваць дзве інварыянтныя адносна пераўтварэнняў Лорэнца велічыні:

<center>
<math>F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}=\mathrm{inv} \qquad \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}=\mathrm{inv}.</math>
</center>

Першы інварыянт з’яўляецца [[скаляр]]ам, а другі — [[псеўдаскаляр]]ам, гэта значыць змяняе свой знак пры інверсіі каардынатных восей.

=== Лагранжыян ===

[[Дзеянне (фізічная велічыня)|Дзеянне]] <math>S\ </math> і [[лагранжыян]] (функцыя Лагранжа) <math>L\ </math> для пробнага зараду, які рухаецца ў вонкавым электрамагнітным полі ў сістэме [[СГС]] і [[СІ]] маюць выгляд<ref>Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 70-73. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7</ref><ref name="ReferenceB">Müller-Kirsten H. J. W. Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects. — Singapore: World Scientific, 2004. — P. 428. — 522 p. — ISBN 981-238-807-9</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>S = \int(-mc\,ds ~-~ \frac{q}{c} \,A_\alpha\, dx^\alpha)</math>
: <math>L= - mc^2\sqrt{1-\frac{\mathbf{u^2}}{c^2}} + \frac{q}{c}\, \mathbf{A}\cdot\mathbf{u}-q\varphi</math>
|
: <math>S = \int(-mc\,ds ~-~ q \,A_\alpha\, dx^\alpha)</math>
: <math>L= - mc^2\sqrt{1-\frac{\mathbf{u^2}}{c^2}} + q\, \mathbf{A}\cdot\mathbf{u}-q\varphi</math>
|}

дзе:
* <math>m\ </math> — маса часціцы (у адзінках СІ — кг);
* <math>\mathbf{u}</math> — яе хуткасць (у адзінках СІ — м/с);
* <math>q\ </math> — зарад часціцы (у адзінках СІ — [[Кулон (адзінка вымярэння)|Кл]]);
* <math>ds=\sqrt{dx_\alpha dx^\alpha}</math> — 4-х інтэрвал.

Ураўненні руху зараду пад уздзеяннем [[Сіла Лорэнца|сілы Лорэнца]] ў каварыянтным запісе маюць выгляд:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>mc \frac{d^2x^\alpha}{ds^2} = \frac{q}{c}\, F^{\alpha\beta}\, \frac{dx_\beta}{ds}</math>
|
: <math>mc \frac{d^2x^\alpha}{ds^2} = q\, F^{\alpha\beta}\, \frac{dx_\beta}{ds}.</math>
|}

Ураўненні Максвела атрымліваюцца з [[прынцып найменшага дзеяння|прынцыпу найменшага дзеяння]], у якім дынамічнымі зменнымі з’яўляюцца 4-х патэнцыялы электрамагнітнага поля <math>A^\alpha\ </math>. Пры гэтым выкарыстоўваецца наступны каварыянтны выраз для [[Дзеянне (фізічная велічыня)|дзеяння]]<ref name="ReferenceB"/><ref>Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 102. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>S = -\frac{1}{16\pi c} \int F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\, d^4x - \frac{1}{c^2} \int  A_\alpha\,j^\alpha\,d^4x</math>
|
: <math>S = -\frac{1}{4\mu_0} \int F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\, d^4x - \int  A_\alpha\,j^\alpha\,d^4x,</math>
|}

дзе інтэграванне ажыццяўляецца па інварыянтным 4-аб’ёме <math>d^4x=c\,dt\,dv</math>.

=== Запіс пры дапамозе дыферэнцыяльных форм ===

{{Галоўны артыкул|Дыферэнцыяльныя формы ў электрамагнетызме}}

Ураўненні Максвела ў каварыянтнай форме, як і вектарнае прадстаўленне ў трохмернай прасторы, можна запісаць у «бязіндэкснай форме». Для гэтага ўводзіцца аперацыя вонкавага здабытку <math>\wedge</math>, якая мае ўласцівасць антысіметрычнасці <math>\mathrm{d}x^\alpha\wedge \mathrm{d}x^\beta=-\mathrm{d}x^\beta\wedge \mathrm{d}x^\alpha</math>. Вонкавы здабытак дазваляе запісваць згорнутыя па ўсіх індэксах выразы з антысіметрычнымі тэнзарамі, такімі як <math>F_{\alpha\beta}\ </math>. Пры гэтым узнікаюць аб’екты, якія называюцца [[дыферэнцыяльная форма|дыферэнцыяльнымі формамі]] (ці проста формамі)<ref>''Болибрух А. А.'' [http://www.mccme.ru/dubna/2001/material/bol1.pdf Уравнения Максвелла и дифференциальные формы], МЦНМО, 2002.</ref>. 1-форма патэнцыялу поля вызначаецца наступным чынам (па індэксу <math>\alpha\ </math> — сума ад 0 да 3):

<center>
<math>
\mathrm{A} = A_\alpha \mathrm{d}x^\alpha\ .
</math>
</center>

З 1-формы, пры дапамозе аперацыі вокавага дыферэнцыявання <math>\mathrm{d}\ </math>, атрымліваецца 2-форма электрамагнітнага поля (ці 2-форма Фарадэя):

<center>
<math>
\mathrm{F} = \mathrm{d}\,\mathrm{A} = \mathrm{d}A_\alpha \wedge \mathrm{d}x^\alpha 
=  \partial_\beta A_\alpha ~\mathrm{d}x^\beta \wedge \mathrm{d}x^\alpha 
= \frac{1}{2} F_{\alpha\beta} ~\mathrm{d}x^\alpha\wedge \mathrm{d}x^\beta.
</math>
</center>

Аперацыя вонкавага дыферэнцыявання мае ўласцівасць <math>\mathrm{d}^2=0\ </math>, што прыводзіць да закона Гауса для магнітнага поля і закону Фарадэя:

<center>
<math>
\mathrm{d}\,\mathrm{F} = \mathrm{d}^2\,\mathrm{A} = \frac{1}{2}\,\partial_\gamma F_{\alpha\beta}\,\mathrm{d}x^\gamma \wedge \mathrm{d}x^\alpha \wedge \mathrm{d}x^\beta = \frac{1}{6}\,(\partial_\gamma F_{\alpha\beta}+\partial_\alpha F_{\beta\gamma}+\partial_\beta F_{\gamma\alpha})~ \mathrm{d}x^\alpha \wedge \mathrm{d}x^\beta \wedge \mathrm{d}x^\gamma  = 0.
</math>
</center>

Для запісу астатніх ураўненняў Максвела ўводзіцца дуальная да <math>\mathrm{F}\ </math> 2-форма <math>^*\mathrm{F}\ </math>, якая таксама называецца 2-формай Максвела<ref>Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — С. 195,196. — 474 с.</ref>:

<center>
<math>
~^*\mathrm{F} = \frac{1}{2}\, \tilde{F}_{\alpha\beta} ~ \mathrm{d}x^\alpha \wedge \mathrm{d}x^\beta= \frac{1}{4}\, F^{\alpha\beta} \,\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}~ \mathrm{d}x^\gamma \wedge \mathrm{d}x^\delta,
</math>
</center>

і 3-форма току:

<center>
<math>
^*\mathrm{J} = -\frac{1}{3!}\,j^{\alpha} \,\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}~ \mathrm{d}x^\beta \wedge \mathrm{d}x^\gamma \wedge \mathrm{d}x^\delta,
</math>
</center>

дзе <math>\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}\ </math> — абсалютны антысіметрычны [[сімвал Леві-Чывіты]] (<math>\epsilon_{0123}=-1\ </math>). Згортка з сімвалам Леві-Чывіты вонкавага здабытку дыферэнцыялаў называецца [[Зорка Ходжа|аператарам зоркі Ходжа]].

У гэтых абазначэннях ураўненні Максвелла ў сістэмах СГС і СІ прымаюць наступны выгляд<ref>Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — С. 153—155. — 474 с.</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathrm{d}\,\mathrm{F}=0,</math>
: <math>\mathrm{d}^*\mathrm{F}=\frac{4\pi}{c}\,^*\mathrm{J},</math>
|
: <math>\mathrm{d}\,\mathrm{F}=0,</math>
: <math>\mathrm{d}^*\mathrm{F}=\mu_0\,^*\mathrm{J}.</math>
|}

{{Hider|
  title = ''Доказ'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Каб паказаць эквівалентнасць гэтых ураўненняў ураўненням Максвела, неабходна запісаць іх у трохмернай вектарнай форме. У гэтым выпадку, у сістэме СГС, ток і 2-форма Максвела маюць выгляд:

<center>
<math>
^*\mathrm{J}=c\rho\mathrm{d}v-\mathbf{j}\mathrm{d}\mathbf{s}\wedge \mathrm{d}t\, c,~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
^*\mathrm{F}= \mathbf{E}\mathrm{d}\mathbf{s}-\mathbf{B}\mathrm{d}\mathbf{r} \wedge \mathrm{d}t\,c,
</math>
</center>

дзе <math>\mathrm{d}v=\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z</math> — трохмерны аб'ём, а <math>\mathrm{d}\mathbf{s}=(\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z,~\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x, \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)</math> — вектар плошчы паверхні ў трохмернай прасторы. А раз:

<center>
<math>
\mathrm{d}^*\mathrm{F}=(\nabla\mathbf{E})\mathrm{d}v +\Bigl( \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}- \nabla\times\mathbf{B}\Bigr) \mathrm{d}\mathbf{s} \wedge \mathrm{d}t\,c.
</math>
</center>

то, з улікам ураўненняў Максвела ў дыферэнцыяльнай форме, атрымаем <math>^*\mathrm{J}\ </math>. 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

З улікам тоеснасці <math>\mathrm{d}^2=0\ </math>, апошняе ўраўненне Максвела, запісанае пры дапамозе дыферэнцыяльных форм, адразу прыводзіць да [[ураўненне непарыўнасці|ураўнення непарыўнасці]] ([[закон захавання зараду|закону захавання зараду]]) :

<center>
<math>
\mathrm{d}^*\mathrm{J}=0\ .
</math>
</center>

У такой форме ўраўненні Максвела застаюцца справядлівымі і на адвольнай 4-мернай мнагастайнасці, напрыклад, у скрыўленнай прасторы-часе [[Агульная тэорыя адноснасці|агульнай тэорыі адноснасці]]. У гэтым выпадку, у суадносінах дадаткова з’яўляецца [[Вызначнік (алгебра)|вызначнік]] метрычнага тэнзара <math>g</math>. Напрыклад, для току і вонкавага дыферэнцыявання:

<center>
<math>
^*\mathrm{J} = -\frac{1}{3!}\,j^{\alpha} \sqrt{-g}\,\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}~ \mathrm{d}x^\beta \wedge \mathrm{d}x^\gamma \wedge \mathrm{d}x^\delta,
~~~~~~~~~~~~~~
\mathrm{d}^*\mathrm{F} = \frac{1}{4}\,F^{\alpha\beta}_{~~;\alpha}\sqrt{-g}\,\epsilon_{\beta\gamma\delta\eta}~ \mathrm{d}x^\gamma \wedge \mathrm{d}x^\delta \wedge \mathrm{d}x^\eta.
</math>
</center>

=== Агульнакаварыянтны запіс у кампанентах ===

На адвольнай 4-мернай мнагастайнасці, гэта значыць, у агульным выпадку яна можа ўключаць і [[Прастора-час|прастору-час]] ненулявое крывізны (а таксама адвольных чатырохмерных каардынат, уключаючы выпадкі неінерцыяльных сістэм адліку) [[электрадынаміка]] можа быць сфармулявана і ў звычайных індэксных абазначэннях.

У асноўным рэцэпт пераходу ад выпадку нулявой крывізны прасторы-часу і лорэнцавых сістэм адліку ў ім, падрабязна апісанага вышэй, да агульнага выпадку заключаецца ў замене звычайных вытворных па каардынатах на [[каварыянтная вытворная|каварыянтныя вытворныя]], ўлік таго, што метрыка ў гэтым выпадку не сталая і не мае спецыяльнага лорэнцавага выгляду (гэта значыць практычна адвольная), а таксама пры інтэграванні — напрыклад, пры запісе [[Дзеянне (фізічная велічыня)|дзеяння]] — ўлік таго, што метрыка ўваходзіць у элемент аб’ёму (праз множнік <math>\sqrt{-g}</math> — корань з мінус вызначніка метрыкі).

== Спінарная фармулёўка ==

Ураўненні Максвелла можна запісаць у [[спінар]]най форме:

<math>\partial_{\lambda \dot \sigma} f_{\dot \mu}^{\dot \sigma} + \partial_{\dot \mu \sigma} f_{\lambda}^{\sigma} = 2s_{\dot \lambda \mu}</math>,

<math>\partial_{\lambda \dot \sigma} f_{\dot \mu}^{\dot \sigma} - \partial_{\dot \mu \sigma} f_{\lambda}^{\sigma} = 0</math>,

дзе [[спінар]] другога рангу <math>f</math> вызначаецца ўраўненнем <math>f_{\lambda \mu}=\frac{1}{2}(\partial_{\lambda \dot \sigma} \varphi_{\mu}^{\dot \sigma}+\partial_{\mu \sigma} \varphi_{\sigma}^{\dot \sigma})</math>, <math>\varphi_{\mu \nu}</math> — чатырохмерны патэнцыял у форме спінара другога рангу, <math>\partial_{\mu \nu}</math> — аператар чатырохмернага градыента ў спінарнай форме, <math>s_{\mu \nu}</math> — [[шчыльнасць току]] ў спінарнай форме<ref>Ван дер Варден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике, М., Едиториал УРСС, 2004, ISBN 5-354-00700-3</ref><ref>Румер Ю. Б. Спинорный анализ, М., НКТП, 104 стр.</ref>.

== Спектральнае прадстаўленне ==

У [[Электрадынаміка|электрадынаміцы]] вялікае значэнне маюць [[гарманічныя ваганні]]. Такія палі можна прадставіць у выглядзе:

<center>
<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{2}\left[\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r})e^{-i\omega t}+ \mbox{c. c.}\right]=\Re[\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r})e^{-i\omega t}],
</math>
</center>

<center>
<math>\mathbf{H}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{2}\left[\tilde{\mathbf{H}}(\mathbf{r})e^{-i\omega t}+\mbox{c. c.}\right]=\Re[\tilde{\mathbf{H}}(\mathbf{r})e^{-i\omega t}].
</math>
</center>

дзе <math>\omega\ </math> — [[частата]] ваганняў поля. Пазначэнне «c. c.» азначае камплекснае спалучэнне папярэдняга складніка. У некаторых работах каэфіцыент {{Дроб|1|2}} у азначэнні гарманічных амплітуд не выкарыстоўваецца, што прыводзіць да адпаведнай мадыфікацыі ўсіх выразаў, якія залежаць ад гэтага азначэння. У літаратуры таксама часта сустракаецца выбар адваротнага знака ў камплекснай экспаненце. Разгледжаны тут варыянт адпавядае прынятаму ў [[Квантавая фізіка|квантавай тэорыі]] ў [[прадстаўленне Шродзінгера|прадстаўленні Шродзінгера]].

Усярэдненыя за перыяд шчыльнасці энергіі электрычнага і магнітнага поля роўныя, адпаведна:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{S}=\frac{c}{16\pi}\left[{\tilde{\mathbf{E}}^*}\times{\tilde{\mathbf{H}}}+{\tilde{\mathbf{E}}}\times{\tilde{\mathbf{H}}^*}\right],</math>

: <math>\langle w_E\rangle = \frac{\tilde{\varepsilon}}{16\pi}\,|\tilde{\mathbf{E}}|^2,</math>

: <math>\langle w_H\rangle = \frac{\tilde{\mu}}{16\pi}\,|\tilde{\mathbf{H}}|^2.</math>
|
: <math>\mathbf{S}=\frac{1}{4}\left[{\mathbf{E}^*}\times{\tilde{\mathbf{H}}}+{\tilde{\mathbf{E}}}\times{\tilde{\mathbf{H}}^*}\right],</math>

: <math>\langle w_E\rangle = \frac{\varepsilon_0\tilde{\varepsilon} |{\tilde{\mathbf{E}}}|^2}{4},</math>

: <math>\langle w_H\rangle = \frac{\mu_0\tilde{\mu} |\tilde{\mathbf{H}}|^2}{4}.</math>
|}

Выкарыстоўваючы [[пераўтварэнне Фур'е]], на гарманічныя ваганні можна раскласці палі з адвольнай часовай залежнасцю.

<center>
: <math>\mathbf{E}(r,t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\tilde {\mathbf{E}}(\mathbf{r},\omega)e^{-i\omega t} \frac{d\omega}{2\pi},</math>
: <math>\mathbf{H}(r,t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\tilde {\mathbf{H}}(\mathbf{r},\omega)e^{-i\omega t} \frac{d\omega}{2\pi}.</math>
</center>

Пераход да спектральных кампанент дазваляе засяродзіцца на каардынатнай залежнасці палёў. Ураўненні Максвела для спектральных кампанент у аднародных асяроддзях пры гэтым прымаюць выгляд:

{|  class="standard" align="center" width="70%"
|-

! width="%35"| <center>[[СГС]]</center>
! width="%35"| <center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\tilde{\mathbf{E}}=\frac{4\pi\tilde {\rho}}{\tilde{\varepsilon}},</math>
|
: <math>\nabla\cdot\tilde{\mathbf{E}}= \frac{\tilde{\rho}}{\varepsilon_0\tilde{\varepsilon}},</math>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\tilde{\mathbf{B}}=0,</math>
|
: <math>\nabla\cdot\tilde{\mathbf{B}}=0,</math>
|-
|
: <math>\nabla\times\tilde{\mathbf{E}}=i\frac{\omega}{c}\tilde{\mathbf{B}},</math>
|
: <math>\nabla\times\tilde{\mathbf{E}}=i\omega\tilde{\mathbf{B}},</math>
|-
|
: <math>\nabla\times\tilde{\mathbf{B}}=-i\tilde{\varepsilon}\tilde{\mu}\frac{\omega}{c}\left[1+i\frac{4\pi \tilde{\sigma}}{\omega\tilde{\varepsilon}}\right]\tilde{\mathbf{E}}.</math>
|
: <math>\nabla\times\tilde{\mathbf{B}}= -i\tilde{\varepsilon}\tilde{\mu}\frac{\omega}{c^2}\left[1+i\frac{\tilde{\sigma}}{\omega\varepsilon_0\tilde{\varepsilon}}\right]\tilde{\mathbf{E}}.</math>
|}

Дыэлектрычная і магнітная пранікальнасці асяроддзя ў спектральным прадстаўленні звязаны з успрымальнасцямі [[#матэрыяльныя ўраўненні|матэрыяльных ураўненняў]] у інтэгральным прадстаўленні Фур’е-пераўтварэннем:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\tilde{\varepsilon}(\omega)=1+4\pi\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\chi_e(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau,</math>

: <math>\tilde{\mu}(\omega)=1+4\pi\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\chi_m(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau.</math>
|
: <math>\tilde{\varepsilon}(\omega)=1+\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\chi_e(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau,</math>

: <math>\tilde{\mu}(\omega)=1+\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\chi_m(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau.</math>
|}

== Ураўненні без свабодных зарадаў і токаў ==

Пры адсутнасці свабодных зарадаў і токаў <math>\rho=0\,</math>, <math>\mathbf{j}=0</math>, у ізатропных і аднародных асяроддзях без дысперсіі ўраўненні Максвела прымаюць наступны выгляд:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=0,~~~~~~~~~~~~~~~
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,</math>

: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},~~~~~~
\nabla\times\mathbf{B}=\frac{\varepsilon\mu}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t},</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=0,~~~~~~~~~~~~~
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,</math>

: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},~~~~~~
\nabla\times\mathbf{B}=\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.</math>
|}

Рашэннямі гэтых ураўненняў з’яўляецца напружанасць электрычнага поля <math>\mathbf{E}</math> і магнітная індукцыя <math>\mathbf{B}</math>. Дыэлектрычная <math>\varepsilon</math> і магнітная <math>\mu</math> пранікальнасці вызначаюцца ўласцівасцямі асяроддзя. Для вакууму <math>\varepsilon=1</math>, <math>\mu=1\,</math>.

=== [[Хвалевае ўраўненне]] ===

Ураўненні Максвела з’яўляюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі першага парадку па каардынатах і часу. Аднак у другой пары ў кожнае ўраўненне ўваходзяць абедзве невядомыя вектарныя функцыі <math>\mathbf{E}</math> і <math>\mathbf{B}</math>. Пры адсутнасці зарадаў і токаў можна перайсці да ўраўненняў другога парадку, кожнае з якіх залежыць толькі ад аднаго, электрычнага або магнітнага поля:

<center>
<math> \Delta\mathbf{E}-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\Delta\mathbf{B}-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf B}{\partial t^2}=0.
</math>
</center>

Такія ўраўненні называюцца [[хвалевае ўраўненне|хвалевымі]].

{{Hider|
  title = ''Вывад хвалевага ўраўнення'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Бяром [[ротар, матэматыка|ротар]] ад закона Фарадэя, і выкарыстоўваючы закон Ампера-Максвела, атрымліваем (у сістэме [[СІ]]):
: <math>\nabla\times[\nabla\times\mathbf E]=\nabla\times\left(-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\right)=-\frac{\partial}{\partial t}[\nabla\times\mathbf B]=-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.</math>
З іншага боку, раскрываючы двайны вектарны здабытак, маем:
: <math>\nabla\times[\nabla\times\mathbf E]=\nabla\,(\nabla\cdot\mathbf E)-\Delta\mathbf E = -\Delta\mathbf E,</math>
бо [[дывергенцыя, матэматыка|дывергенцыя]] электрычнага поля ў вакууме роўная нулю. Прыраўноўваючы гэтыя два выразы, атрымліваем хвалевае ўраўненне для электрычнага поля. Аналагічна атрымліваецца хвалевае ўраўненне для магнітнага поля.

<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

У [[каліброўка Лорэнца|лорэнцаўскай каліброўцы]] пры адсутнасці зарадаў і токаў хвалевае ўраўненне задавальняюць таксама вектарны і скалярны патэнцыялы:

<center><math> \Delta\varphi-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=0,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\Delta\mathbf{A}-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2}=0.
</math>
</center>

Велічыня <math>c/\sqrt{\varepsilon\mu}</math>, якая ўваходзіць у хвалевыя ўраўненні, вызначае хуткасць распаўсюджвання электрамагнітных палёў у асяроддзі. Яе максімальнае значэнне <math>c</math> дасягаецца ў вакууме, калі <math>\varepsilon=1</math> і <math>\mu=1\,</math>.

=== [[Ураўненне Гельмгольца]] ===

Няхай <math>\omega</math> — [[кругавая частата]] гарманічнага сігналу і залежнасць ад часу выбрана ў выглядзе <math>e^{-i\omega t}\,</math>. Пры адсутнасці электрычных зарадаў у асяроддзі, ураўненне Гельмгольца прымае выгляд:

<center>
<math>\Delta\mathbf E+k^2\mathbf E= 0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta\mathbf B+k^2\mathbf B= 0,</math>
</center>

дзе <math>k^2=\mu\varepsilon\frac{\omega^2}{c^2}</math>.

== Некаторыя дакладныя рашэнні ==

=== Поле кропкавага зарада ў руху ===

Калі зарад рухаецца з пастаяннай хуткасцю <math>\mathbf{u}</math>, то вакол яго ўзнікае магнітнае поле <math>\mathbf{B}</math>, а напружанасць электрычнага перастае быць сферычна сіметрычнай<ref>Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 128—130. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{E}=\frac{Q}{\varepsilon}\, \frac{\mathbf{r}}{r^3}\, \frac{1-u^2/c^2}{(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{u}]^2/c^2)^{3/2}}</math>
: <math>\mathbf{B}=\frac{\varepsilon\mu}{c}\,[\mathbf{u}\times \mathbf{E}]</math>
|
: <math>\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0}\, \frac{\mathbf{r}}{r^3}\, \frac{1-u^2/c^2}{(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{u}]^2/c^2)^{3/2}}</math>
: <math>\mathbf{B}=\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\,[\mathbf{u}\times \mathbf{E}]</math>
|}

Адзінкавы вектар <math>\mathbf{n}=\mathbf{r}/r</math> накіраваны ад зарада да кропкі вымярэння напружанасці поля. <math>r\,</math> — модуль вектара <math>\mathbf r</math>. Няхай <math>\theta\,</math> — вугал паміж вектарамі <math>\mathbf{u}</math> і <math>\mathbf{n}</math>, тады <math>[\mathbf{n}\times\mathbf{u}]^2=u^2\sin^2\theta</math>. Пры фіксаванай адлегласці ад зараду [[напружанасць электрычнага поля]] мінімальная ў кропках, якія знаходзяцца на лініі руху зараду. Максімальнае значэнне дасягаецца ў плоскасці, якая праходзіць праз зарад перпендыкулярна яго хуткасці. Магнітная індукцыя, па ўласцівасці вектарнага здабытку, перпендыкулярная хуткасці і электрычнаму полю. Раз зарад рухаецца, то ў фіксаванай кропцы прасторы электрычнае і магнітнае палі змяняюцца з часам. Яны задавальняюць ураўненні Максвела з шчыльнасцю зараду і току, прапарцыянальных [[дэльта-функцыя|дэльта-функцыі Дзірака]]:

<center><math>\rho(\mathbf{r})=Q\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0),~~~~~~~~~~~
\mathbf{j}(\mathbf{r})=\mathbf{u}\,\rho(\mathbf{r})</math></center>
дзе <math>\mathbf{r}_0</math> — бягучае становішча зараду.

На пробны зарад <math>q\,</math>, які рухаецца ў той жа сістэме адліку, дзейнічае [[сіла Лорэнца]]. Яна можа быць атрымана пры дапамозе [[пераўтварэнні Лорэнца|пераўтварэнняў Лорэнца]] з [[Закон Кулона|закона Кулона]] і прынцыпу інварыянтавасці зараду<ref>Берклеевский курс физики. Том 2. Парселл Э. Электричество и магнетизм. — М.: Наука, 1971.</ref>. У гэтым сэнсе магнітнае поле па сваёй прыродзе з’яўляецца рэлятывісцкім эфектам.

Калі кропкавы зарад рухаецца з [[паскарэнне]]м, то поле, што ствараецца ім, залежыць не толькі ад хуткасці, але і ад паскарэння. Складнік поля, які залежыць ад паскарэння, адпавядае выпраменьванню электрамагнітнай хвалі<ref name="ReferenceA"/>.

=== Плоскія электрамагнітныя хвалі ===

* Дапусцім, што [[напружанасць электрычнага поля]] і [[магнітная індукцыя]] з’яўляюцца адвольнымі функцыямі наступнай камбінацыі каардынат і часу:

<center><math>\mathbf{E}(\mathbf r, t)=\mathbf{E}\Bigl(\mathbf{n}\mathbf{r}-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr),
~~~~~~~~~~~~~~~
\mathbf{B}(\mathbf r, t)=\mathbf{B}\Bigl(\mathbf{n}\mathbf{r}-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr),</math></center>

дзе <math>\mathbf{n}</math> — некаторы пастаянны вектар. У гэтым выпадку <math>\mathbf{E}</math> і <math>\mathbf{B}</math> задавальняюць ураўненні Максвела пры адсутнасці зарадаў і токаў, калі паміж імі існуе наступная сувязь:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{B}=\sqrt{\varepsilon\mu}\,[\mathbf{n}\times\mathbf{E}]</math>
|
: <math>\mathbf{B}=\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\,[\mathbf{n}\times\mathbf{E}]</math>
|}

і яны перпендыкулярныя вектару <math>\mathbf{n}</math>, які павінен быць адзінкавым:

<center>
<math>
\mathbf{n}\mathbf{E}=0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf{n}\mathbf{B}=0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf{n}^2=1.
</math>
</center>
{{Hider|
  title = ''Вывад рашэння для плоскай хвалі'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->

Калі напружанасць электрычнага поля залежыць ад каардынат і часу ў выглядзе наступнай іх камбінацыі <math>u=\mathbf{n}\mathbf{r}-c t/\sqrt{\varepsilon\mu}</math>, то для вытворнай <math>j\ </math>-тай кампаненты вектара <math>\mathbf{E}</math> па <math>i\ </math>-тай каардынаце і часу можна запісаць:

<center>
<math>
 \nabla_i E_j = \frac{\partial E_j}{\partial r_i} 
= \frac{d E_j}{du}\,\frac{\partial u}{\partial r_i} = n_i E_j ,~~~~~~~~~~~~~~~~
\frac{\partial E_j}{\partial t} = -\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} \frac{d E_j}{du},
</math>
</center>

і аналагічна для магнітнай індукцыі. Таму ўраўненні Максвелла пры адсутнасці зарадаў і токаў прымаюць выгляд (сістэма [[СІ]]):

<center>
<math>
\frac{d(\mathbf{n}\mathbf{E})}{du}  = 0,~~~~~~~~
\frac{d(\mathbf{n}\mathbf{B})}{du} = 0,~~~~~~~~
\frac{d}{du}\bigl([\mathbf{n}\times \mathbf{E}] - \frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\mathbf{B}\bigr)= 0,~~~~~~~~
\frac{d}{du}\bigl([\mathbf{n}\times \mathbf{B}] + \frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c} \mathbf{E}\bigr)= 0.
</math>
</center>

Інтэгруючы гэтыя суадносіны па <math>u\,</math>, і апускаючы канстанты інтэгравання, якія адпавядаюць пастаянным палям, атрымліваем:

<center>
<math>\mathbf{n}\mathbf{E}  = 0,~~~~~~~~~
\mathbf{n}\mathbf{B} = 0,~~~~~~~~~
 \mathbf{B} = \frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\,[\mathbf{n}\times \mathbf{E}],~~~~~~~~~
   \mathbf{E}= -\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\, [\mathbf{n}\times \mathbf{B}].
</math>
</center>

Падстаўляючы чацвёртае ўраўненне ў трэцяе, атрымліваем <math>\mathbf{n}^2=1</math>.
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

Фізічны сэнс рашэння ў выглядзе плоскай хвалі заключаецца ў наступным. Выберам вось <math>z\ </math> дэкартавай сістэмы каардынат так, каб вектар <math>\mathbf{n}</math> быў накіраваны ўздоўж яе. Тады электрычныя і магнітныя палі хвалі залежаць ад каардынаты <math>z\ </math> і часу <math>t\ </math> наступным чынам:

<center>
<math>
\mathbf{E}(z, t)=\mathbf{E}\Bigl(z-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr),
~~~~~~~~~~~~~~~
\mathbf{B}(z, t)=\mathbf{B}\Bigl(z-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr),
</math>
</center>

Дапусцім, што ў пачатковы момант часу <math>t=0\ </math> напружанасць поля з’яўляецца адвольнай вектарнай функцыяй <math>z\ </math>. З цягам часу гэта функцыя будзе зрушвацца ў прасторы ўздоўж восі <math>z\ </math> з хуткасцю <math>c/\sqrt{\varepsilon\mu}</math>.

У электрамагнітнай хвалі ў агульным выпадку напружанасць поля можа быць адвольнай неперыядычнай функцыяй <math>u=\mathbf{n}\mathbf{r}-c t/\sqrt{\varepsilon\mu}</math>. Напрыклад, рашэнне ў выглядзе плоскай хвалі можа апісваць электрамагнітны імпульс, лакалізаваны ўздоўж напрамку руху. У плоскасці, перпендыкулярнай <math>\mathbf{n}</math>, электрамагнітныя палі не змяняюцца, што азначае, што ў гэтай плоскасці плоская хваля не абмежавана і мае плоскі [[фазавы фронт]] (іменна таму хваля называецца '''плоскай'''). Электрычнае і магнітнае палі пры распаўсюджванні плоскай хвалі ўвесь час застаюцца перпендыкулярнымі вектару <math>\mathbf{n}</math>, таму такія хвалі называюць «папярочнымі» або «трансверсальнымі». Вектары <math>\mathbf{E}</math> і <math>\mathbf{B}</math>, па ўласцівасці вектарнага здабытку, таксама перпендыкулярныя адзін аднаму.

<math>\bullet</math> Шчыльнасці энергіі электрычнага і магнітнага поля ў плоскай хвалі роўныя адна адной:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СІ]]</center>
|-
|
: <math>w_E=w_H = \frac{\varepsilon}{8\pi}\, \mathbf{E}^2</math>
|
: <math>w_E=w_H = \frac{\varepsilon\varepsilon_0}{2} \, \mathbf{E}^2</math>
|}

[[Вектар Пойнтынга]] (шчыльнасць патоку энергіі), незалежна ад сістэмы адзінак, звязаны з поўнай шчыльнасцю энергіі наступным чынам:

<center>
<math>
\mathbf{S}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\, \mathbf{n}\, (w_E+w_H).
</math>
</center>

Гэтыя суадносіны адпавядаюць ураўненням сувязі імпульсу і энергіі для [[Бязмасавыя часціцы|бязмасавай часціцы]] ў [[Спецыяльная тэорыя адноснасці|рэлятывісцкай тэорыі]]. Аднак хуткасць <math>c/\sqrt{\varepsilon\mu}</math> ў асяроддзі меншая, чым хуткасць святла ў вакууме <math>c\,</math>.

[[Файл:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light And.Linearly.Polarized.Light.Comparison.svg|280px|міні|справа|Цыркулярна і лінейна палярызаваная плоская электрамагнітная хваля]]

Плоскія і папярочныя хвалі з’яўляюцца матэматычнымі абстракцыямі. Рэальныя хвалі канечнай [[Апертура (оптыка)|апертуры]] з-за эфекту [[дыфракцыя|дыфракцыі]] можна лічыць плоскімі і папярочнымі толькі ў некаторым прыбліжэнні.

<math>\bullet</math> Важны асобны выпадак рашэння ў выглядзе плоскіх хваль узнікае, калі напружанасці палёў з’яўляюцца гарманічнымі перыядычнымі функцыямі. Выберам каардынатную вось <math>z\,</math>, уздоўж хвалевага вектара <math>\mathbf{k}</math>. Тады вектар электрычнага поля (як, зрэшты, і магнітнага) будзе ляжаць у плоскасці <math>(x,y)\,</math>, г. зн. <math>\mathbf{E}=(E_x,E_y,0)</math>. Калі па кожнай праекцыі ў гэтай плоскасці электрычнае поле здзяйсняе перыядычныя ваганні, то такую хвалю называюць монахраматычнай плоскай хваляй:

<center>
<math>
E_x=a\, \cos(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r}+\phi_1),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
E_y=b\, \cos(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r}+\phi_2).
</math>
</center>

Параўнанне з агульным рашэннем для плоскай хвалі прыводзіць да наступнай сувязі паміж вектарам <math>\mathbf{k}</math> і канстантай <math>\omega\,</math>, якая называецца [[Закон дысперсіі|ўраўненнем дысперсіі]]:

<center>
<math>
\mathbf{k}= \mathbf{n}\, \frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\,\omega,~~~~~~~~~~~~~\mathbf{k}^2 =  \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\,\omega^2.
</math>
</center>

У гэтым выпадку, вектар <math>\mathbf{k}</math> называецца [[хвалевы вектар|хвалевым вектарам]], а <math>\omega\,</math> — [[Кругавая частата|кругавой частатой]] монахраматычнай электрамагнітнай хвалі. Модуль хвалевага вектара і кругавая частата звязаны з даўжынёй хвалі <math>\lambda\,</math> і яе частатой <math>\nu\,</math> наступным чынам:

<center>
<math>
k = \frac{2\pi}{\lambda},~~~~~~~~~\omega=2\pi\nu,~~~~~~~~~~~\lambda\nu = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}.
</math>
</center>

Канстанты <math>\phi_1\,</math> і <math>\phi_2\,</math> з’яўляюцца зрухамі фазы, а <math>a\,</math> і <math>b\,</math> — амплітудамі ваганняў уздоўж кожнай восі.

У фіксаванай кропцы прасторы (<math>\mathbf{k}\mathbf{r}=\mathrm{const}</math>) вектар электрычнага поля, у агульным выпадку, апісвае ў плоскасці <math>(x,y)\ </math> [[эліпс]], таму такія хвалі называюцца эліптычна палярызаванымі. Іх асобным выпадкам з’яўляюцца хвалі, палярызаваныя па крузе. Выраджаны ў прамую эліпс адпавядае ваганням напружанасці поля ўздоўж адной прамой у плоскасці <math>(x,y)\ </math>. Такія хвалі называюцца лінейна палярызаванымі. Аналагічная сітуацыя з вектарам магнітнай індукцыі, які ўвесь час перпендыкулярны напружанасці электрычнага поля.

== Сувязь з іншымі тэорыямі ==

Ураўненні Максвела цалкам сумяшчальныя з прынцыпамі [[Спецыяльная тэорыя адноснасці|спецыяльнай тэорыі адноснасці]]. Яны таксама дастасавальныя пры мікраскапічным апісанні рэчыва, калі зараджаныя часціцы падпарадкоўваюцца прынцыпам [[Квантавая механіка|квантавай механікі]], а [[электрамагнітнае поле]] застаецца [[Класічная фізіка|класічным]] (не квантавым). У гэтым выпадку квантавыя аб’екты (напрыклад, [[электрон]]ы) апісваюцца [[Ураўненне Шродзінгера|ўраўненнем Шродзінгера]] або [[Ураўненне Дзірака|ўраўненнем Дзірака]], аднак патэнцыялы [[Электрамагнітнае ўзаемадзеянне|электрамагнітнага ўзаемадзеяння]] ў гэтых ураўненнях вызначаюцца класічнымі ўраўненнямі Максвела.

Тым не менш, існуюць з’явы, для апісання якіх патрэбна больш паслядоўнае аб’яднанне палявога падыходу Фарадэя — Максвелла з прынцыпамі квантавай механікі. Яно ажыццяўляецца пры дапамозе метадаў [[Квантавая тэорыя поля|квантавай тэорыі поля]] ў [[Квантавая электрадынаміка|квантавай электрадынаміцы]]. У гэтым выпадку форма ўраўненняў Максвела (лагранжыян) застаецца нязменнай, аднак палі становяцца аператарамі, а ўраўненні Максвелла — аператарнымі [[Ураўненне Гейзенберга|ўраўненнямі Гейзенберга]]. Рашэнне падобных ураўненняў прыводзіць да з’яўлення новых эфектаў, якія адсутнічаюць у класічнай тэорыі поля. Гэтыя эфекты істотныя, у прыватнасці, у наступных фізічных сітуацыях:

* Звышмоцныя палі (<math>E \sim m_e^2c^3/e\hbar</math>≈1.32×10<sup>18</sup> В/м, дзе <math>m_e\ </math> — маса электрона, <math>e\ </math> — яго зарад, <math>\hbar</math> — [[пастаянная Планка]]) — [[Механічная работа|работа]] такога поля на [[Комптанаўская даўжыня хвалі|комптанаўскай даўжыні хвалі]] электрона роўная па парадку велічыні [[энергія спакою|энергіі спакою]] электрона, што прыводзіць да самаадвольнай генерацыі электрон-пазітронных пар з вакууму ([[эфект Швінгера]])<ref>{{артыкул|аўтар=Schwinger J.|загаловак=On gauge invariance and vacuum polarization|мова=en|выданне=Phys. Rev. Lett.|год=1951|том=82|старонкі=664}}</ref>. У выніку ўзнікае эфектыўнае ўзаемадзеянне [[фатон]]аў, якое адсутнічае ў класічнай электрадынаміцы і прыводзіць да эфектыўнай змены лагранжыяна поля (напрыклад, на нізкаэнергетычнай граніцы поле апісваецца лагранжыянам Гейзенберга — Эйлера<ref>{{артыкул|аўтар=Heisenberg W., Euler H.|загаловак=Folgerungen aus der Dlracschen Theorie des Positrons|мова=de|выданне=Z. Phys.|год=1936|том=98|старонкі=714}}</ref>).
* Звышслабыя палі, з энергіяй <math>\sim\hbar\omega</math>, дзе <math>\omega\ </math> — частата поля (гл. [[формула Планка]]). У гэтым выпадку становяцца прыкметнымі асобныя кванты электрамагнітнага поля — [[фатон]]ы.
* Для апісання эфектаў паглынання і выпускання святла атамамі і малекуламі.
* Для апісання некласічных, напрыклад, [[сціснуты стан поля|сціснутых станаў поля]]<ref>А. В. Белинский, А. С. Чиркин {{З|ФЭ|http://www.femto.com.ua/articles/part_2/3613.html|загаловак=Сжатое состояние}}</ref>.
* На малых адлегласцях, параўнальных з [[Комптанаўская даўжыня хвалі|комптанаўскай даўжынёй хвалі]] [[электрон]]а, <math>\lambda_e=\hbar/m_ec</math> ≈ 3,86×10<sup>−13</sup> м, калі ў выніку вакуумных эфектаў мадыфікуецца, напрыклад, [[закон Кулона]].

== Аксіяматычны падыход ==

Гістарычна ўраўненні Максвела ўзніклі ў выніку абагульнення розных эксперыментальных адкрыццяў. Аднак з аксіяматычнага пункту гледжання іх можна атрымаць пры дапамозе наступнай паслядоўнасці крокаў<ref>Парселл Э. Берклеевский курс физики. — М.: Наука. — Т. II. Электричество и магнетизм. — С. 149—181.</ref>:

* Пастуліруюцца:
** [[закон Кулона]] (сіла <math>\mathbf{F}</math>, якая дзейнічае на пробны зарад <math>q\,</math>, з боку нерухомага зарада <math>Q\,</math>);
** інварыянтнасць зараду ў розных інерцыяльных сістэмах адліку;
** [[прынцып суперпазіцыі]].
* Пры дапамозе [[пераўтварэнні Лорэнца|пераўтварэнняў Лорэнца]] атрымліваецца значэнне для вектара сілы <math>\mathbf{F}</math>, якая дзейнічае на пробны зарад, з боку зарада <math>Q\,</math>, які раўнамерна рухаецца з хуткасцю <math>\mathbf{u}</math>. Атрыманае значэнне супадае з [[Сіла Лорэнца|сілай Лорэнца]].
* [[Дывергенцыя, матэматыка|Дывергенцыя]] і [[ротар, матэматыка|ротар]], вылічаныя ад электрычнага (<math>\mathbf{E}</math>) і магнітнага (<math>\mathbf{B}</math>) складнікаў сілы, даюць ураўненні Максвела для кропкавага зарада. З дапамогай прынцыпу суперпазіцыі яны запісваюцца для адвольнага размеркавання зарадаў і токаў. У заключэнне пастуліруецца прыдатнасць гэтых ураўненняў і да паскоранага руху зарадаў.

Другі падыход заснаваны на лагранжавым фармалізме<ref>Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7</ref>. Пры гэтым пастуліруецца, што электрамагнітнае поле апісваецца лінейным узаемадзеяннем чатырохмернага патэнцыялу <math>A^\alpha\,</math>, з чатырох-вектарам электрычнага току <math>j^\alpha\,</math>, а свабодны лагранжыян прапарцыянальны інварыянтнай згортцы квадрата тэнзара электрамагнітнага поля <math>F^{\alpha\beta}\,</math>.

Як у першым, так і ў другім падыходзе лічацца ўстаноўленымі прынцыпы [[Тэорыя адноснасці|тэорыі адноснасці]]. Хоць гістарычна яна ўзнікла на аснове ўраўненняў Максвела і другога пастулата Эйнштэйна, вядомы ўзыходзячы да работ Ігнатоўскага<ref>''von W. v. Ignatowsky'' «Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip» Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 ([http://synset.com/ru/Игнатовский_1910 рускі пераклад] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20170702070802/http://synset.com/ru/%D0%98%D0%B3%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_1910 |date=2 ліпеня 2017 }})</ref>, Франка і Ротэ<ref>''von Philipp Frank'' und ''Hermann Rothe'' «Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme» Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855 ([http://synset.com/ru/Франк_Роте_1911 рускі пераклад] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20140829234711/http://synset.com/ru/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BA_%D0%A0%D0%BE%D1%82%D0%B5_1911 |date=29 жніўня 2014 }})</ref> аксіяматычны спосаб пабудовы [[Спецыяльная тэорыя адноснасці|СТА]], які не выкарыстоўвае пастулата аб інварыянтнай хуткасці святла і ўраўненняў Максвела.

У абодвух аксіяматычных падыходах атрымліваюцца ўраўненні Максвела ў вакууме пры наяўнасці свабодных зарадаў. Пашырэнне гэтых ураўненняў на [[Электрадынаміка суцэльных асяроддзяў|электрадынаміку суцэльных асяроддзяў]] патрабуе далейшага прыцягнення розных мадэльных уяўленняў аб структуры рэчыва.

== Адзінасць рашэнняў ураўненняў Максвела ==

Ураўненні Максвела з’яўляюцца [[дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных|дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных]]. Таму для іх рашэння неабходна задаць [[пачатковыя і межавыя ўмовы]]. Пры фіксаваных функцыях шчыльнасці зарада і току для нестацыянарных палёў рашэнне будзе адзінае. Гэты факт фармулюецца ў выглядзе тэарэмы<ref>Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 429—430. — 539 с. — 8000 экз.</ref><ref>''Никольский В. В., Никольская Т. И.'' Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. — C. 128—130</ref><ref>X. L. Zhou
«On independence, completeness of Maxwell’s equations
and uniqueness theorems in electromagnetics»
Progress In Electromagnetics Research, PIER 64, 117—134, '''2006'''
[http://ceta.mit.edu/PIER/pier64/08.06061302.Zhou.pdf pdf] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20100602133223/http://ceta.mit.edu/PIER/pier64/08.06061302.Zhou.pdf |date=2 чэрвеня 2010 }}</ref>:
<blockquote>
Калі напружанасці электрычнага і магнітнага палёў зададзены ў пачатковы момант часу <math>t=0</math> у кожнай кропцы некаторай вобласці прасторы <math>v</math> і на працягу ўсяго часу <math>t\ge 0</math> зададзены тангенцыяльныя (датычныя) складнікі напружанасці электрычнага або магнітнага поля на мяжы гэтай вобласці <math>s</math>, то існуе адзінае рашэнне ўраўненняў Максвела.
</blockquote>

{{Hider|
  title = ''Доказ'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Няхай электрычная і магнітная індукцыі звязаны з напружанасцямі палёў пры дапамозе наступных матэрыяльных ураўненняў:
<center>
<math>
\mathbf{D}(\mathbf{r}, t)=\hat{\varepsilon}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}, t),
~~~~~~~~~~~~~~~~~
\mathbf{B}(\mathbf{r}, t)=\hat{\mu}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{H}(\mathbf{r}, t),
</math>
</center>
дзе <math>\hat{\varepsilon}(\mathbf{r})</math> і <math>\hat{\mu}(\mathbf{r})</math> — дадатна вызначаныя, сіметрычныя, стацыянарныя матрыцы. Калі пры дадзеных пачатковых і межавых умовах існуюць два розныя рашэнні, то наступныя велічыні будуць адрознівацца ад нуля:
<center>
<math>
\mathbf{e}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{E}_2(\mathbf{r}, t)-\mathbf{E}_1(\mathbf{r}, t),
~~~~~~~~~~~~~~~~~
\mathbf{h}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{H}_2(\mathbf{r}, t)-\mathbf{H}_1(\mathbf{r}, t),
</math>
</center>
дзе індэксам пазначаны нумар рашэння. А раз пачатковыя і межавыя ўмовы зададзены (аднолькавыя для абодвух магчымых рашэнняў), то:
<center>
<math>
\mathbf{e}(\mathbf{r}, 0)=\mathbf{h}(\mathbf{r}, 0)=0,~~~~~~~~~~~~~~~
[\mathbf{e}_\tau(\mathbf{r}, t) \cup \mathbf{h}_\tau(\mathbf{r}, t)]\Big|_s=0.
</math>
</center>
Першыя суадносіны адпавядаюць пачатковым умовам, а другія — межавым умовам на паверхні <math>s</math>, дзе
<math>\mathbf{e}=\mathbf{e}_n+\mathbf{e}_\tau</math>. (Індэкс <math>n</math> — нармальны складнік да паверхні, а <math>\tau</math> — датычная. Аналагічна для <math>\mathbf{h}</math>). 
Падстаноўка функцый <math>\mathbf{e}(\mathbf{r}, t)</math> і <math>\mathbf{h}(\mathbf{r}, t)</math> ва ўраўненні Максвела для ротараў прыводзіць да наступных ўраўненняў:

<center>
<math>
k\,\nabla\times\mathbf{e}=-\frac{\partial (\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})}{\partial t},
~~~~~~~~~~~~~~~~~
k\,\nabla\times\mathbf{h}=\frac{\partial (\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e})}{\partial t},
</math>
</center>

дзе каэфіцыент <math>k</math> роўны <math>c</math> ў сістэме [[СГС]] і адзінцы ў сістэме [[СІ]]. Калі адно з рознасных палёў <math>\mathbf{e}</math> або <math>\mathbf{h}</math> роўна нулю, то ў сілу нулявых пачатковых умоў, адпаведна, з першага або другога ўраўнення вынікае роўнасць нулю нявызначанага рознаснага поля, адпаведна, <math>\mathbf{h}</math> або <math>\mathbf{e}</math>, і адзінасць у гэтых прыватных выпадках даказаная.

Дапусцім, што не роўныя нулю абодва рознасныя палі. Калі першае ўраўненне дамножыць на <math>\mathbf{h}</math>, а другое на <math>\mathbf{e}</math>, і адняць адно ад другога, атрымаецца наступны выраз:

<center><math>-2k\,\nabla\cdot(\mathbf{e}\times\mathbf{h})=
\frac{\partial (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e})}{\partial t}
+\frac{\partial (\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})}{\partial t}.
</math></center>

Гэты выраз можна праінтэграваць па аб'ёме <math>v</math>, і прымяніць [[Тэарэма Гауса|тэарэму Гауса]]:
<center><math>-2k\oint_s [\mathbf{e}\times\mathbf{h}]\,d\mathbf{s}
=
\frac{d}{d t}
\int_v (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e}+\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})\, dv.</math></center>

Тангенцыяльныя (датычныя) да паверхні <math>s</math> кампаненты вектараў <math>\mathbf{e}_\tau</math> або \<math>\mathbf{h}_\tau</math> пры любым <math>t\ge 0</math> роўныя нулю (межавыя ўмовы), таму роўны нулю і інтэграл па паверхні. Такім чынам:
<center><math>\frac{d}{d t}
\int_v (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e}+\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})\, dv = 0.</math></center>

Атрыманыя суадносіны інтэгруюцца па часе. А раз у пачатковы момант часу <math>t=0</math> функцыі <math>\mathbf{e}(\mathbf{r}, 0)=\mathbf{h}(\mathbf{r}, 0)=0</math>, то канстанта інтэгравання роўная нулю, і пры любым <math>t</math>: 
<center><math>\int_v (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e}+\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})\,dv = 0.</math></center>

Падінтэгральная функцыя з'яўляецца дадатна вызначанай (заўсёды большая або роўная нулю). Інтэграл ад такой функцыі роўны нулю толькі ў тым выпадку, калі падінтэгральная функцыя тоесна роўная нулю. Такім чынам, у любы момант часу ўнутры аб'ёму <math>\mathbf{e}(\mathbf{r}, t)=0</math> і <math>\mathbf{h}(\mathbf{r}, t)=0</math>. Таму рашэнні супадаюць. 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

Для адзінасці рашэння ўраўненняў Максвела замест задання тангенцыяльных кампанент поля можна патрэбаваць выканання на мяжы ўмовы імпеданснага тыпу

<center><math>\left(\mathbf{E}_\tau - Z [\mathbf{n}\times \mathbf{H}]\right)\Big|_s=0,</math></center>

дзе імпеданс <math>Z</math> выбраны так, каб выключыць прыток энергіі звонку. Такая ўмова дазваляе сфармуляваць тэарэму адзінасці і ў неабмежаваным выпадку, пры гэтым імпедансная ўмова ператвараецца ва ўмову выпраменьвання Зомерфельда на бесканечнасці.

Для гарманічных у часе працэсаў адзінасць рашэння задачы без пачатковых умоў забяспечваецца як заўгодна малым паглынаннем энергіі ўнутры аб’ёму <math>v</math> ці яе ўцечкай праз паверхню <math>s</math> (якія выключаюць уласныя ваганні на рэчаісных [[рэзананс]]ных частотах).

У стацыянарных задачах [[Электрастатыка|электрастатыкі]] і [[Магнітастатыка|магнітастатыкі]] адзінае рашэнне для сталых палёў вызначаецца толькі межавымі ўмовамі.

== Лікавае рашэнне ўраўненняў Максвела ==

З развіццём вылічальнай тэхнікі стала магчымым развязваць многія задачы электрадынамікі лікавымі метадамі<ref>{{cite book|last=Chew W. C., Jin J., Michielssen E., Song J.|title=Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics |publisher=Artech House |year=2001|isbn=1-58053-152-0}}</ref>, якія дазваляюць вызначыць размеркаванне электрамагнітнага поля пры зададзеных пачатковых і межавых умовах, выкарыстоўваючы алгарытмы, заснаваныя на ўраўненнях Максвела.

Асноўнымі метадамі з’яўляюцца праекцыйныя, у якіх рашэнне праецыруецца на які-небудзь зручны функцыянальны базіс, і дыскрэтызацыйныя — вобласць прасторы разбіваецца на мноства малых канечных абласцей.

* У праекцыйным метадзе Бубнова — Галёркіна<ref>''Никольский В. В., Никольская Т. И.'' Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. — C. 416—436</ref> рашэнне межавой задачы разглядаецца ў выглядзе прыбліжанага канечнага разлажэння па базісных функцыях. Пасля падстаноўкі раскладання ў зыходныя ўраўненні з улікам патрабавання артаганальнасці [[невязка|невязкі]], якая атрымліваецца, абраным базісным функцыям атрымліваецца сістэма лінейных ураўненняў для каэфіцыентаў раскладання.

Для [[камп’ютар]]ных разлікаў часцей прымяняюцца больш універсальныя дыскрэтызацыйныя метады:

* [[Метад канечных элементаў]] (FEM), які выкарыстоўваецца для рашэння шырокага класа задач, што зводзяцца да ўраўненняў ў частковых вытворных. У тэорыі электрамагнетызму часцей выкарыстоўваецца для разліку задач электрастатыкі, магнітастатыкі, распаўсюджвання хваль і квазістацыянарных з’яў<ref>{{Кніга|аўтар =Сильвестер П. и Феррари Р.|загаловак = Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков|месца = М.|выдавецтва = Мир |год = 1986|старонак =336}}</ref><ref>{{cite book|last=Monk, P.|title=Finite Element Methods for Maxwell's Equations |publisher=Clarendon Press, Oxford |year=2003}}</ref>. У метадзе канечных элементаў вобласць прасторы, у якой шукаецца рашэнне, разбіваецца на вялікую колькасць простых дыскрэтных элементаў, звычайна, але не абавязкова, трохвугольнай (у двухмерным выпадку) або тэтраэдрычнай формы (у трохмерным выпадку). Форма і шчыльнасць элементаў прыстасоўваюцца да патрабаванняў задачы. Паводзіны асобных элементаў разглядаюцца як вынік лінейнага ўзаемадзеяння суседніх вузлоў рашоткі разбіцця пад дзеяннем знешніх сіл і апісваюцца матрычнымі ўраўненнямі. Рашэнне задачы зводзіцца, такім чынам, да рашэння разрэджаных сістэм вялікага ліку лінейных матрычных ураўненняў. Метад рэалізаваны ў многіх камерцыйных і свабодных праграмных пакетах (гл. артыкул [[Метад канечных элементаў]]).
* [[Метад канечных рознасцей]] у часавай вобласці (FDTD) для знаходжання часавых і спектральных залежнасцей<ref>{{cite book|last=Taflove A. and Hagness S. C.|title=Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method|publisher=Artech House |year=2005}}</ref><ref>{{cite book|last=Jin, J.|title=The Finite Element Method in Electromagnetics|edition=2nd |publisher=Wiley-IEEE Press|year=2002|isbn=0-47143-818-9}}</ref> быў распрацаваны спецыяльна для рашэння ўраўненняў Максвела, у якіх змена электрычнага і магнітнага поля ў часе залежыць ад змены, адпаведна, магнітнага і электрычнага поля ў прасторы. У рамках гэтага метаду вобласць прасторы і часавы прамежак падвяргаюцца раўнамернай дыскрэтызацыі з заданнем пачатковых умоў. Атрыманыя з ураўненняў Максвела канечна-рознасныя ўраўненні развязваюцца ў кожны наступны момант часавай сеткі, пакуль не будзе атрымана рашэнне пастаўленай задачы на ўсім патрэбным часавым прамежку.

== Гл. таксама ==
* [[Электрадынаміка]]
* [[Квантавая электрадынаміка]]
* [[Джэймс Клерк Максвел]]
* [[Тэорыя Янга — Мілса]]
* [[Закон электрамагнітнай індукцыі Фарадэя]]

== Заўвагі ==
{{notelist}}

== Крыніцы ==
{{крыніцы}}

== Літаратура ==
{{Wikisource|en:Author:James Clerk Maxwell}}
;Гістарычныя публікацыі
* {{Кніга|аўтар = Максвелл Дж. К.|загаловак = Статьи и речи|месца = М.|спасылка =http://ivanik3.narod.ru/linksMaksvStatyRechy.html |выдавецтва = Наука |год = 1968|старонак =423}}
* {{артыкул|аўтар =Maxwell J. C.|загаловак =A dynamical theory of the electromagnetic field|спасылка =http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf|выданне =Philosophical Transactions of the Royal Society of London|год =1865|том =155|старонкі =459—512}}
* ''Maxwell J. C.'', [http://posner.library.cmu.edu/Posner/books/book.cgi?call=537_M46T_1873_VOL._1 A Treatise on Electricity And Magnetism — Volume 1 — 1873] — Posner Memorial Collection — Carnegie Mellon University
* ''Maxwell J. C.'', [http://posner.library.cmu.edu/Posner/books/book.cgi?call=537_M46T_1873_VOL._2 A Treatise on Electricity And Magnetism — Volume 2 — 1873] — Posner Memorial Collection — Carnegie Mellon University
* {{артыкул|аўтар =Maxwell J. C.|загаловак =On Physical Lines of Force|спасылка =http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/On_Physical_Lines_of_Force.pdf|выданне =Philosophical Magazine|тып =Ser. 4|год =1861,1862|том =11,13|старонкі =161—175, 281—291, 338—347; 12—23, 85—95}}
* {{артыкул|аўтар =Maxwell J. C.|загаловак =On Faraday's Lines of Force|спасылка =http://blazelabs.com/On%20Faraday's%20Lines%20of%20Force.pdf|выданне =Transactions of the Cambridge Philosophical Society|год =1856|том =10|нумар =1|старонкі =155—229}}

;Гісторыя развіцця
* {{Кніга|аўтар =Болотовский Б. М.|загаловак = Оливер Хевисайд|месца = М.|спасылка =http://vivovoco.rsl.ru/VV/BOOKS/HEAVISIDE/CONTENT.HTM|выдавецтва = Наука |год = 1985|старонак =260}}
* {{Кніга|аўтар =Карцев В. П.|загаловак = Максвелл (Жизнь замечательных людей)|месца = М.|выдавецтва = Молодая гвардия |год = 1976|старонак =336}}
* {{Кніга|аўтар =Карцев В. П.|загаловак = Приключения великих уравнений|месца = М.|спасылка =http://n-t.ru/ri/kr/pu.htm|выдавецтва = Знание |год = 1986|старонак =288}}
* {{артыкул|аўтар = Шапиро И. С.|загаловак =К истории открытия уравнений Максвелла
|спасылка =http://ufn.ru/ufn72/ufn72_10/Russian/r7210f.pdf|выданне = УФН|год =1972|том = 108|нумар = 2|старонкі = 319-333}}
* {{Кніга|аўтар =Купер Л.|загаловак = Физика для всех. т.1|месца = М.|арыгінал =''Leon N. Cooper'' An Introduction to the Meaning and Structure of Phisics, 1968,1970|спасылка =http://www.log-in.ru/books/19216/|выдавецтва = Мир|год = 1973}}

;Агульныя курсы фізікі
* {{Кніга|аўтар =Астахов А. В., Широков Ю. М.|загаловак = Курс физики, Т. II, Электромагнитное поле |месца = М.|выдавецтва =Наука |год = 1980|старонак =360}}
* {{Кніга|аўтар =Баскаков С. И.|загаловак = Основы электродинамики |месца = М.|выдавецтва =Сов. радио  |год = 1973|старонак =248}}
* {{Кніга|аўтар =Калашников С. Г.|загаловак = Электричество (Общий курс физики, т. 2). |месца = М.|выдавецтва = Физматлит, 6-е изд. |год = 2003|isbn = 5-9221-0312-1|старонак =624}}
* ''Матвеев А. Н.'' Электричество и магнетизм. — М.: Высшая школа, 1983.
* ''Никольский В. В., Никольская Т. И.'' Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989.
* ''Пеннер Д. И., Угаров В. А.'' Электродинамика и специальная теория относительности. М.: Просвещение, 1980.
* ''Парселл Э.'' Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Том 2. М.: Наука, 1971.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tonnela1962ru.djvu ''Тоннела М. А.'' Основы электромагнетизма и теории относительности. М.: ИЛ, 1962.]
* ''Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.'' Фейнмановские лекции по физике. Том 5. Электричество и магнетизм. М.: Мир, 1965
* ''Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.'' Фейнмановские лекции по физике. Том 6. Электродинамика. М.: Мир, 1966

;Курсы тэарэтычнай фізікі
* ''Баранов А. М., Овчинников С. Г., Золотов О. А., Паклин Н. Н., Титов Л. С.'' [http://www.kirensky.ru/zdoc/lectures_sgo/electrodyn.pdf Теоретическая физика: Электродинамика. Электродинамика сплошных сред. Учебное пособие по курсу «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред»] // СФУ, Красноярск, 2008. — 198 с.
* {{Кніга|аўтар =Джексон Дж.|загаловак = Классическая электродинамика|месца = М.|выдавецтва = Мир |год = 1965}}
* {{Кніга|аўтар =Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.|загаловак = Теория поля (Теоретическая физика, т. II)|месца = М.|выдавецтва = Физматлит |год = 2003|isbn = 5-9221-0056-4|старонак =536}}
* {{Кніга|аўтар =Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.|загаловак = Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. VIII)|месца = М.|выдавецтва = Физматлит|год = 2005|isbn = 5-9221-0123-4|старонак =656}}
* {{Кніга|аўтар =Батыгин В. В., Топтыгин И. Н.|загаловак = Современная электродинамика. Часть 1. Микроскопическая теория|месца = М.|выдавецтва = НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»|год = 2005|isbn = 5-93972-492-2|старонак =736}}
* {{Кніга|аўтар =Топтыгин И. Н.|загаловак = Современная электродинамика. Часть 2. Теория электромагнитных явлений в веществе|месца = М.|выдавецтва = НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»|год = 2005|isbn = 5-93972-493-0|старонак =848}}
* {{Кніга|аўтар =Тамм И. Е.|загаловак = Основы теории электричества|месца = М.|выдавецтва = Наука |год = 1989}}
* ''Фущич В. И., Никитин А. Г.'' Симметрия уравнений Максвелла. — Киев: Наук. думка, 1983. — C. 200.
* ''Болибрух А. А.'' [http://www.mccme.ru/dubna/2001/material/bol1.pdf Уравнения Максвелла и дифференциальные формы]. — МЦНМО, 2002.

;Рашэнні ўраўненняў Максвела
* {{Кніга|аўтар =Баландин М. Ю., Шурина Э. П.|загаловак = Векторный метод конечных элементов: Учебное пособие |месца = Новосибирск |спасылка =http://window.edu.ru/window_catalog/files/r41184/nstu145.pdf |выдавецтва = НГТУ |год = 2001 |старонак =69}}
* ''Вайнштейн Л. А.'' Электромагнитные волны. — М.: Радио и связь, 1988.
* ''Вонсовский С. В.'' Магнетизм. Магнитные свойства диа-, пара-, ферро-, антиферро-, и ферримагнетиков. — М.: Наука, 1971.
* ''Гинзбург В. Л.'' Распространение электромагнитных волн в плазме. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967.
* {{Кніга|аўтар =Сильвестер П. и Феррари Р. |загаловак = Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков |месца = М. |выдавецтва = Мир |год = 1986|старонак =336}}

== Спасылкі ==
* [http://elementy.ru/trefil/24 Уравнения Максвелла (Научный портал «Элементы большой науки»)]

{{Нарматыўны кантроль}}
{{Выдатны артыкул|Фізіка}}
{{Артыкул года|2013}}

[[Катэгорыя:Электрадынаміка]]
[[Катэгорыя:Дыферэнцыяльныя ўраўненні ў частковых вытворных]]
[[Катэгорыя:Фізічныя законы і ўраўненні]]