Абелева група

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

А́белева гру́па (або камутатыўная група) — група, у якой групавая аперацыя \circ падпарадкоўваецца яшчэ і перастаўляльнаму закону, г.зн. для любых элементаў a і b гэтай групы праўдзіцца тоеснасць

a\circ b = b \circ a.

Часта аперацыю, для якой справядлівы перастаўляльны закон, называюць камутатыўнай.

Абелевы групы названы так у гонар нарвежскага матэматыка Нільса Абеля.

Звычайна групавую аперацыю ў абелевых групах пазначаюць знакам "+" (хоць групавая аперацыя можа не мець ніякага дачынення да звычайнага складання). Пры гэтым нейтральны элемент абелевай групы называюць нулём і абазначаюць як 0; адваротны элемент называюць процілеглым і абазначаюць процілегласць з дапамогай знака "-" на ўзор " -a ".

Строгае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Аксіёмы абелевай групы[правіць | правіць зыходнік]

А́белевай гру́пай называецца непустое мноства G разам з бінарнай аперацыяй \circ : G \times G \to G, якая задавальняе наступныя ўмовы:

  1. Перастаўляльны закон (камутатыўнасць): для любых  a, b\in G справядліва:
    a \circ b = b \circ a
  2. Спалучальны закон (асацыятыўнасць): для любых  a, b, c\in G справядліва:
    a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c
  3. Існуе нейтральны элемент  e \in G, г.зн. такі элемент, што для любога a\in G справядліва:
     a \circ e = e \circ a = a
  4. Для кожнага элемента a\in G існуе адваротны элемент a^{-1} \in G, г.зн. такі элемент, што
     a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e

Крыніцы[правіць | правіць зыходнік]

  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004.