Абелева група

А́белева гру́па (або камутатыўная група) — група, у якой групавая аперацыя $\circ$ падпарадкоўваецца яшчэ і перастаўляльнаму закону, г.зн. для любых элементаў a і b гэтай групы праўдзіцца тоеснасць

$a\circ b = b \circ a.$

Часта аперацыю, для якой справядлівы перастаўляльны закон, называюць камутатыўнай.

Абелевы групы названы так у гонар нарвежскага матэматыка Нільса Абеля.

Звычайна групавую аперацыю ў абелевых групах пазначаюць знакам "$+$" (хоць групавая аперацыя можа не мець ніякага дачынення да звычайнага складання). Пры гэтым нейтральны элемент абелевай групы называюць нулём і абазначаюць як 0; адваротны элемент называюць процілеглым і абазначаюць процілегласць з дапамогай знака "$-$" на ўзор " -a ".

Строгае азначэнне

Аксіёмы абелевай групы

А́белевай гру́пай называецца непустое мноства G разам з бінарнай аперацыяй $\circ : G \times G \to G,$ якая задавальняе наступныя ўмовы:

1. Перастаўляльны закон (камутатыўнасць): для любых $a, b\in G$ справядліва:

   $a \circ b = b \circ a$

2. Спалучальны закон (асацыятыўнасць): для любых $a, b, c\in G$ справядліва:

   $a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c$

3. Існуе нейтральны элемент $e \in G,$ г.зн. такі элемент, што для любога $a\in G$ справядліва:

   $a \circ e = e \circ a = a$

4. Для кожнага элемента $a\in G$ існуе адваротны элемент $a^{-1} \in G,$ г.зн. такі элемент, што

   $a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e$

Крыніцы

• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004.