Гіпотэза Рымана

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Задачы тысячагоддзя
Роўнасць класаў P і NP
Гіпотэза Ходжа
Гіпотэза Пуанкарэ
Гіпотэза Рымана
Квантавая тэорыя
Янга — Мілса
Існаванне і гладкасць 
рашэнняў ураўненняў
Наўе — Стокса
Гіпотэза
Бёрча — Свінертан-Даера

Гіпо́тэза Ры́мана - здагадка аб размеркаванні нулёў дзэта-функцыі Рымана. Яна сцвярджае, што ўсе нетрывіяльныя нулі Рыманавай дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку 12. Гіпотэза была сфармулявана Бернхардам Рыманам у 1859 годзе.

Пакуль невядома якой-небудзь заканамернасці, якая апісвала б размеркаванне простых лікаў сярод натуральных. Рыман выявіў, што колькасць простых лікаў, не большых за x, — функцыя размеркавання простых лікаў, якая абазначаецца праз π(x), — выражаецца праз размеркаванне так званых «нетрывіяльных нулёў» дзэта-функцыі.

Многія сцвярджэнні аб размеркаванні простых лікаў, у тым ліку аб вылічальнай складанасці некаторых цэлалікавых алгарытмаў, даказаныя пры дапушчэнні справядлівасці гіпотэзы Рымана.

Гіпотэза Рымана ўваходзіць у спіс сямі «праблем тысячагоддзя»(руск.) бел., за рашэнне кожнай з якіх Матэматычны інстытут Клэя(руск.) бел. (Clay Mathematics Institute, Кембрыдж, Масачусетс) выплаціць узнагароду ў адзін мільён долараў ЗША. У выпадку апублікавання контрпрыкладу да гіпотэзы Рымана, вучоны савет інстытута Клэя мае права вырашыць, ці можна лічыць гэты контрпрыклад канчатковым рашэннем праблемы, ці праблему можна перафармуляваць у вузейшай форме і пакінуць адкрытай (у апошнім выпадку аўтару контрпрыкладу можа быць выплачана невялікая частка ўзнагароды)[1][2].

Фармулёўка[правіць | правіць зыходнік]

Рэчаісная (чырвоная) і ўяўная (сіняя) часткі дзэта-функцыі

Дзэта-функцыя Рымана \zeta(s) вызначана для ўсіх камплексных s\ne 1 і мае нулі ў адмоўных цотных s=-2,-4,-6\dots.

З функцыянальнага ўраўнення

\zeta(s) = 2^s \pi^{s} \sin{\pi s \over 2} \frac1{\sin\pi s\Gamma(s)}\zeta(1-s)

і яўнага выразу

\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}    пры \operatorname{Re} s>1,

дзе \mu(n)функцыя Мёбіуса, вынікае, што ўсе астатнія нулі, якія называюцца «нетрывіяльнымі», размяшчаюцца ў паласе 0\leqslant\operatorname{Re} s\leqslant1 сіметрычна адносна так званай «крытычнай лініі» {1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}.

Гіпотэза Рымана[правіць | правіць зыходнік]

Гіпотэза Рымана сцвярджае, што:

Усе нетрывіяльныя нулі дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку, роўную 12.

Абагульненая гіпотэза Рымана[правіць | правіць зыходнік]

Абагульненая гіпотэза Рымана складаецца з таго ж самага сцвярджэння для абагульненняў дзэта-функцыі, якія называюцца L-функцыямі Дзірыхле(руск.) бел..

Раўназначныя фармулёўкі[правіць | правіць зыходнік]

У 1901 годзе Хельге фон Кох(англ.) бел. паказаў, што гіпотэза Рымана раўназначная наступнаму сцвярджэнню аб размеркаванні простых лікаў:

\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right) при x\rightarrow\infty.

Ёсць яшчэ некалькі раўназначных фармулёвак:

  • Для ўсіх x \geqslant 2657 выконваецца няроўнасць
    \left|\pi(x) - \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t}\right| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln x,
  • Для ўсіх x \geqslant 73.2 справядліва няроўнасць
    |\psi(x) - x| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln^2(x),
  • Для ўсіх n > 5040 верная няроўнасць
    \sigma(n) < e^\gamma n \log \log n,
дзе σ(n)функцыя дзельнікаў ліку n, а γпастаянная Эйлера — Маскероні[3].
  • Для ўсіх n>1 спраўджваецца няроўнасць
    \sigma(n) < H_n+e^{H_n}\ln H_n,
дзе Hnnгарманічны лік(руск.) бел.[4].
  • Для любога дадатнага \varepsilon выконваецца няроўнасць
    M(n) = O(n^{1/2+\varepsilon}),
дзе M(n)функцыя Мертэнса(руск.) бел., гл. таксама абазначэнне O вялікае. Мацнейшая гіпотэза |M(n)|<\sqrt{n}\, была абвергнута ў 1985 годзе[5].
  • Гіпотэза Рымана раўназначная наступнай роўнасці:
    \int\limits_{0}^{\infty}\frac{(1-12t^2)}{(1+4t^2)^3}\int\limits_{1/2}^{\infty}\log|\zeta(\sigma+i t)|\,d\sigma \,dt=\frac{\pi(3-\gamma)}{32}.
  • Калі гіпотэза Рымана несправядлівая, то існуе алгарытм, які рана ці позна выявіць яе парушэнне. Адсюль вынікае, што калі адмаўленне гіпотэзы Рымана недаказальнае ў арыфметыцы Пеана, то гіпотэза Рымана верная.
  • Гіпотэза Рымана таксама раўназначная сцвярджэнню, што наступнае дыяфантава ўраўненне(руск.) бел. не мае рашэнняў у неадмоўных цэлых ліках:
\begin{align}&(elg^2 + \alpha - (b - xy) q^2)^2 + (q - b^{5^{60}})^2 + (\lambda + q^4 - 1 - \lambda b^5)^2 + \\
&(\theta + 2z - b^5)^2 + (u + t \theta - l)^2 + (y + m \theta - e)^2 + (n - q^{16})^2 + \\
&((g + eq^3 + lq^5 + (2(e - z \lambda)(1 + xb^5 + g)^4 + \lambda b^5 + \lambda b^5 q^4)q^4)(n^2 - n) + \\
&(q^3 - bl + l + \theta \lambda q^3 + (b^5-2)q^5)(n^2 - 1) - r)^2 + \\
&(p - 2w s^2 r^2 n^2)^2 + (p^2 k^2 - k^2 + 1 - \tau^2)^2 + \\
&(4(c - ksn^2)^2 + \eta - k^2)^2 + (r + 1 + hp - h - k)^2 + \\
&(a - (wn^2 + 1)rsn^2)^2 + (2r + 1 + \phi - c)^2 + \\
&(bw + ca - 2c + 4\alpha \gamma - 5\gamma - d)^2 + \\
&((a^2 - 1)c^2 + 1 - d^2)^2 + ((a^2 - 1)i^2c^4 + 1 - f^2)^2 + \\
&(((a + f^2(d^2 - a))^2 - 1) (2r + 1 + jc)^2 + 1 - (d + of)^2)^2 + \\
&(((z+u+y)^2+u)^2 + y-K)^2 = 0
\end{align}
дзе K — некаторы вялікі фіксаваны цэлалікавы каэфіцыент (які, у прынцыпе, можна запісаць у яўным выглядзе), а астатнія літары абазначаюць зменныя. Ступень гэтага ўраўнення можна панізіць да чатырох цаною павелічэння колькасці зменных[6][7][8][9][10].

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

У 1896 годзе Адамар і Вале-Пусен(руск.) бел. незалежна даказалі, што нулі дзэта-функцыі не могуць ляжаць на прамых \operatorname{Re}\,s=0 і \operatorname{Re}\,s=1.

У 1900 годзе Давід Гільберт уключыў гіпотэзу Рымана ў спіс 23 нерэшаных праблем(руск.) бел. як частку восьмай праблемы, сумесна з гіпотэзаю Гольдбаха(руск.) бел..

У 1914 годзе Хардзі(руск.) бел. даказаў, што на крытычнай лініі знаходзіцца бесканечна многа нулёў, а пазней сумесна з Літлвудам(руск.) бел. даў ніжнюю ацэнку долі тых нулёў, што ляжаць на крытычнай лініі. Гэтую ацэнку патом паляпшалі розныя матэматыкі.

Некаторыя нетрывіяльныя нулі размяшчаюцца экстрэмальна блізка адзін да аднаго. Гэтая ўласцівасць вядома як «з'ява Лемера»[11].

Цітчмарш і Ворас у 1987 годзе паказалі, што дзэта-функцыя можа быць раскладзена ў здабытак праз свае нетрывіяльныя нулі ў раскладанне Адамара.

На 2004 год праверана больш чым 1013 першых нулёў[12].

Група матэматыкаў Універсітэта Пердзью (ЗША) пад кіраўніцтвам Луі дэ Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) прапанавала доказ гіпотэзы Рымана[13], які, аднак, аказаўся няправільным[1].

Меркаванні аб справядлівасці гіпотэзы[правіць | правіць зыходнік]

У аглядных працах (Bombieri 2000, Conrey 2003, Sarnak 2008) адзначаецца, што даныя на карысць справядлівасці гіпотэзы Рымана моцныя, але пакідаюць месца для абгрунтаваных сумненняў. Асобныя аўтары, аднак, упэўненыя ў няправільнасці гіпотэзы (напрыклад, так лічыў Джон Літлвуд).

Сярод вынікаў, якія дазваляюць дапускаць праўдзівасць гіпотэзы, можна выдзяліць паспяховы доказ падобных гіпотэз (у тым ліку, гіпотэзы Рымана аб мнагастайнасцях над канечнымі палямі[14]). Гэта найбольш моцны тэарэтычны довад, які дазваляе меркаваць, што ўмова Рымана выконваецца для ўсіх дзэта-функцый(англ.) бел., звязаных з аўтаморфнымі адлюстраваннямі(англ.) бел., што ўключае класічную гіпотэзу Рымана. Ісціннасць аналагічнай гіпотэзы ўжо даказана[15] для дзэта-функцыі Сельберга(англ.) бел., у нечым падобнай на функцыю Рымана, і для дзэта-функцыі Госа(англ.) бел. (аналаг дзэта-функцыі Рымана для функцыянальных палёў).

З другога боку, некаторыя з дзэта-функцый Эпштэйна не задавальняюць умову Рымана, хоць і маюць бесканечны лік нулёў на крытычнай лініі. Аднак гэтыя функцыі не выражаюцца праз рады Эйлера і не звязаныя напрамую з аўтаморфнымі адлюстраваннямі.

Да «практычных» довадаў на карысць справядлівасці Рыманавай гіпотэзы адносіцца вылічальная праверка вялікай колькасці нетрывіяльных нулёў дзэта-функцыі ў рамках праекта ZetaGrid.

Звязаныя праблемы[правіць | правіць зыходнік]

Дзве гіпотэзы Хардзі — Літлвуда[правіць | правіць зыходнік]

У 1914 годзе Годфры Харальд Хардзі даказаў[16], што функцыя \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr) мае бесканечна многа рэчаісных нулёў.

Няхай N(T) ёсць колькасць рэчаісных нулёў, а N_0(T) колькасць нулёў няцотнага парадку функцыі \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr), якія ляжаць на прамежку (0,T].

Дзве гіпотэзы Хардзі і Літлвуда[17] (аб адлегласці паміж рэчаіснымі нулямі \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr) і аб шчыльнасці нулёў \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr) на прамежках (T,T+H] пры досыць вялікім T > 0, H = T^{a + \varepsilon} і як можна меншым значэнні a > 0, дзе \varepsilon > 0 адвольна малы лік), вызначылі два напрамкі ў даследаванні дзэта-функцыі Рымана:

  1. Для любога \varepsilon > 0 існуе T_0 = T_0(\varepsilon) > 0, такое што пры T \geqslant T_0 і H=T^{0{,}25+\varepsilon} прамежак (T,T+H] утрымлівае нуль няцотнага парадку функцыі \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr).
  2. Для любога \varepsilon > 0 існуюць такія T_0 = T_0(\varepsilon) > 0 і c = c(\varepsilon) > 0, што пры T \geqslant T_0 і H=T^{0{,}5+\varepsilon} справядліва няроўнасць N_0(T+H)-N_0(T) \geqslant cH.

Гіпотэза А. Сельберга[правіць | правіць зыходнік]

У 1942 годзе Атле Сельберг(руск.) бел. даследаваў праблему Хардзі — Літлвуда 2 і даказаў, што для любога \varepsilon > 0 існуюць T_0 = T_0(\varepsilon) > 0 і c = c(\varepsilon) > 0, такія што для T \geqslant T_0 і H=T^{0{,}5+\varepsilon} справядліва няроўнасць N(T+H)-N(T) \geqslant cH\log T.

У сваю чаргу, Атле Сельберг выказаў гіпотэзу[18], што можна паменшыць паказчык ступені a = 0{,}5 для велічыні H=T^{0{,}5+\varepsilon}.

У 1984 годзе А. А. Карацуба(руск.) бел. даказаў[19][20][21], што пры фіксаваным \varepsilon з умоваю 0<\varepsilon < 0{,}001, даволі вялікім T і H = T^{a+\varepsilon}, a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246} прамежак (T,T+H) утрымлівае не менш за cH\ln T рэчаісных нулёў дзэта-функцыі Рымана \zeta\Bigl(\tfrac{1}{2}+it\Bigr). Тым самым ён пацвердзіў гіпотэзу Сельберга.

Ацэнкі А. Сельберга і А. А. Карацубы з'яўляюцца непаляпшальнымі па парадку росту пры T\to +\infty.

У 1992 годзе А. А. Карацуба даказаў[22], што аналаг гіпотэзы Сельберга справядлівы для «амаль усіх» прамежкаў (T,T+H], H = T^{\varepsilon}, дзе \varepsilon — адвольна малы фіксаваны дадатны лік. Метад, распрацаваны Карацубам, дазваляе даследаваць нулі дзэта-функцыі Рымана на «звышкароткіх» прамежках крытычнай прамой, г.зн. на прамежках (T, T+H], даўжыня H якіх расце павольней за любую, нават адвольна малую, ступень T. Сярод іншага, ён даказаў, што для любых зададзеных лікаў \varepsilon, \varepsilon_{1} з умоваю 0<\varepsilon, \varepsilon_{1}<1 амаль усе прамежкі (T,T+H] пры H\geqslant\exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}} утрымліваюць не менш чым H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}} нулёў функцыі \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr). Гэтая ацэнка вельмі блізкая да тае, што вынікае з гіпотэзы Рымана.

Цікавыя факты[правіць | правіць зыходнік]

  • Вядомы адказ Гільберта на пытанне, якія будуць яго дзеянні, калі ён па нейкай прычыне праспіць пяцьсот гадоў і раптам прачнецца. Матэматык адказаў, што перш за ўсё спытае, ці была даказана гіпотэза Рымана.
  • Гіпотэза Рымана адносіцца да знакамітых адкрытых праблем матэматыкі(руск.) бел., у лік якіх у свой час уваходзіла і тэарэма Ферма. Як вядома, Ферма зрабіў запіс аб тым, што даказаў сваю тэарэму, не пакінуўшы самога доказу, і тым самым кінуў выклік наступным пакаленням матэматыкаў. Брытанскі матэматык Г. Х. Хардзі скарыстаў сітуацыю з гэтымі праблемамі для забеспячэння ўласнай бяспекі ў час марскіх падарожжаў. Кожны раз перад адпраўкаю ў падарожжа ён адпраўляў аднаму са сваіх калег тэлеграму: ДАКАЗАЎ ГІПОТЭЗУ РЫМАНА КРПК ПАДРАБЯЗНАСЦІ ПА ВЯРТАННІ КРПК. Хардзі лічыў, што бог не дапусціць паўтарэння сітуацыі з тэарэмаю Ферма і дазволіць яму шчасліва вярнуцца з плавання[23].

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. 1,0 1,1 Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
  2. Rules for the Millennium Prizes
  3. Гэта выглядае дзіўнавата, бо \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\ \log \log n}=e^\gamma.
    Няроўнасць парушаецца пры n = 5040 і некаторых меншых значэннях, але Гай Робін у 1984 годзе паказаў, што яно выконваецца для ўсіх большых цэлых, калі спраўджваецца гіпотэза Рымана.
  4. Jeffrey C. Lagarias (2002). "An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis". The American Mathematical Monthly 109 (6): 534–543. doi:10.2307/2695443. http://arxiv.org/abs/math/0008177. 
  5. Andrew Odlyzko, Herman te Riele (1985). "Disproof of the Mertens conjecture". Journal für die reine und angewandte Mathematik 357: 138–160. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633. 
  6. Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done
  7. Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта — Наука, 1993.
  8. Jones J. P., Undecidable diophantine equations
  9. Martin Davis, Diophantine Equations & Computation
  10. Martin Davis, The Incompleteness Theorem
  11. Weisstein, Eric W. Lehmer's Phenomenon(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
  12. Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros»(англ.) 
  13. Purdue mathematician claims proof for Riemann hypothesis. Purdue News
  14. Deligne P. (1974). "La conjecture de Weil. I". Publications Mathématiques de l'IHÉS 43: 273–307. doi:10.1007/BF02684373. http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0. 
  15. Sheats J. (1998). "The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for Fq[T]". Journal of Number Theory 71 (1): 121–157. doi:10.1006/jnth.1998.2232. 
  16. Hardy, G.H. (1914). "Sur les zeros de la fonction \zeta(s)". Comp. Rend. Acad. Sci. (158): 1012–1014. 
  17. Littlewood, J.E. (1921). "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line". Math. Zeits. (10): 283–317. 
  18. Selberg, A. (1942). "On the zeros of Riemann's zeta-function". Shr. Norske Vid. Akad. Oslo (10): 1–59. 
  19. Карацуба, А. А. (1984). "О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой". Изв. РАН. Сер. матем. (48:3): 569–584. 
  20. Карацуба, А. А. (1984). "Распределение нулей функции ζ(1/2 + it)". Изв. РАН. Сер. матем. (48:6): 1214–1224. 
  21. Карацуба, А. А. (1985). "О нулях дзета-функции Римана на критической прямой". Труды МИАН (167): 167–178. 
  22. Карацуба, А. А. (1992). "О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой". Изв. РАН. Сер. матем. (56:2): 372–397. 
  23. С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]