Просты лік

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Просты лікнатуральны лік, які мае роўна 2 дзельнікі: самога сябе і 1. Лікі, што маюць больш за 2 дзельнікі, называюцца састаўнымі. Паводле асноўнай тэарэмы арыфметыкі, кожны лік, большы за 1, можна прадставіць у выглядзе здабытку простых лікаў, прытым толькі адным спосабам (не ўлічваючы перастаноўкі множнікаў).

Паслядоўнасць простых лікаў[правіць | правіць зыходнік]

  • Пачатак паслядоўнасці простых лікаў: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113...
  • Простых лікаў бясконца шмат (даказаў Эўклід: хай колькасць простых лікаў канечная, але тады ніводзін з іх не дзеліць іх здабытак, павялічаны на адзінку, а гэта супярэчнасць).
  • Для кожнага натуральнага n ёсць просты лік p, не меншы за n і не большы за 2n (пастулат Бертрана).
  • Найбольшым вядомым зараз простым лікам з'яўляецца лік Мерсена M24036583, у яго дзесятковым запісе 7235733 лічбаў.

Размеркаванне простых лікаў[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Тэарэма аб размеркаванні простых лікаў

Для функцыі размеркавання простых лікаў π(x) (якую азначаюць як колькасць простых лікаў, не большых за x) праўдзіцца асімптатычны стасунак:


\lim_{x\to +\infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln x} = 1.

Гэта азначае, што колькасць простых лікаў, меншых за n, мае парадак n / \ln n.

Тэсты на простасць[правіць | правіць зыходнік]

Самы просты спосаб пабудовы спісу простых лікаў да пэўнага значэння — рэшата Эратасфена. Для праверкі, ці з'яўляецца пэўны лік простым, доўгі час на практыцы ўжываліся толькі імавернасныя алгарытмы (напрыклад, тэст Мілера-Рабіна). У 2002 годзе быў знойдзены дэтэрмінаваны алгарытм палінаміяльнай складанасці. Для больш вузкіх класаў лікаў існуюць адмысловыя тэсты на простасць (напрыклад, тэст Люка-Лемера для лікаў Мерсена).

Простыя лікі ў тэорыі груп[правіць | правіць зыходнік]

Неразвязаныя пытанні пра простыя лікі[правіць | правіць зыходнік]

Практычнае выкарыстанне[правіць | правіць зыходнік]

На практыцы простыя лікі ўжываюцца ў крыптасістэмах з адкрытым ключом, у генератарах псеўдавыпадковых паслядоўнасцей.

Простыя лікі Сафі Жэрмен[правіць | правіць зыходнік]

Просты лік p называецца простым лікам Сафі Жэрмен, калі лік 2p + 1 таксама з'яўляецца простым. Гэтыя лікі прыцягнулі ўвагу, таму што Сафі Жэрмен (Sophie Germain, французская вучоная-матэматык, 1 красавіка 177627 чэрвеня 1831) даказала, што апошняя тэарэма Ферма выконваецца для такіх лікаў.

Першыя простыя лікі Сафі Жэрмен:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233,...

Паслядоўнасць p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ... простых лікаў Сафі Жэрмен называецца ланцугом Канігана (Cunningham chain) першага парадку. Кожны элемент гэтай паслядоўнасці (акрамя першага і апошняга) ёсць адначасова простым лікам Сафі Жэрмен і бяспечным простым (англ.: safe prime, гэта просты лік выгляду 2p + 1, дзе p таксама просты).
Глядзі таксама простыя лікі Сафі Жэрмен (па-англійску).

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]