Дзэта-функцыя Рымана

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Якасны графік дзэта-функцыі Рымана на рэчаіснай восі. Злева ад нуля значэнні функцыі павялічаны ў 100 разоў для нагляднасці

Дзэта-функцыя Рымана — функцыя \displaystyle \zeta(s) камплекснай зменнай s = \sigma + i t, якую пры \sigma > 1 вызначаюць з дапамогаю рада Дзірыхле:

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots,

дзе \displaystyle s \in \mathbb{C}.

У зададзенай вобласці \sigma > 1 ~(\left\{ s : \operatorname{Re} s > 1\right\}) гэты рад збягаецца, з'яўляецца аналітычнаю функцыяй і дапускае аналітычны працяг на ўсю камплексную плоскасць без адзінкі.

Дзэта-функцыя Рымана для рэчаісных s > 1

Тоеснасць Эйлера[правіць | правіць зыходнік]

У зыходнай вобласці таксама справядліва прадстаўленне ў выглядзе бесканечнага здабытку (тоеснасць Эйлера)

\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} ,

дзе здабытак бярэцца па ўсіх простых ліках p.

Гэта роўнасць з'яўляецца адной з асноўных уласцівасцей дзэта-функцыі.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Дзэта-функцыя Рымана на камплекснай плоскасці
  • Існуюць яўныя формулы для значэнняў дзэта-функцыі ў цотных цэлых пунктах:
    2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m},
    дзе \displaystyle B_{2m}лік Бернулі.
    • Напрыклад, \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6},\ \ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}.
  • Пра значэнні дзэта-функцыі ў няцотных цэлых пунктах вядома мала: лічыцца, што яны ірацыянальныя і нават трансцэндэнтныя, але пакуль даказана толькі ірацыянальнасць ліку ζ(3) (Ражэ Аперы, 1978). Таксама даказана, што сярод значэнняў ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) ёсць хаця б адзін ірацыянальны[1].
  • Пры \operatorname{Re} s > 1
    • \frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s},
    дзе \displaystyle \mu(n)функцыя Мёбіуса
    • \zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s},
    дзе \displaystyle \tau(n)лік дзельнікаў ліку \displaystyle n
    • {\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s},
    дзе \displaystyle \nu(n) — лік простых дзельнікаў ліку \displaystyle n
  • \displaystyle \zeta(s) мае ў пункце \displaystyle s=1 просты полюс з вылікам, роўным 1.
  • Дзэта-функцыя пры \displaystyle s\ne 0, s\ne 1 задавальняе ўраўненне:
    \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left( {\pi s \over 2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s),
    дзе \displaystyle \Gamma(z)гама-функцыя Эйлера. Гэта ўраўненне называецца функцыянальным ураўненнем Рымана.
  • Для так званай ксі-функцыі Рымана
    \xi(s)=\frac{1}{2}\pi^{-s/2}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s),
    уведзенай Рыманам для даследавання \displaystyle \zeta(s), гэта ўраўненне прымае выгляд:
    \displaystyle \ \xi(s)=\xi(1-s).

Нулі дзэта-функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Як вынікае з функцыянальнага ўраўнення Рымана, у паўплоскасці \operatorname{Re} s < 0, функцыя \zeta(s) мае толькі простыя нулі ў адмоўных цотных пунктах:

0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots.

Гэтыя нулі называюцца «трывіяльнымі» нулямі дзэта-функцыі. Далей, \zeta(s) \neq 0 пры рэчаісных s \in (0,1). Такім чынам, усе «нетрывіяльныя» нулі дзэта-функцыі — камплексныя лікі. Акрамя таго, яны размяшчаюцца сіметрычна адносна рэчаіснае восі і адносна вертыкалі \operatorname{Re} s = \frac{1}{2} і ляжаць у паласе 0 \leqslant \operatorname{Re} s \leqslant 1, якая называецца крытычнаю паласою. Згодна з гіпотэзаю Рымана, яны ўсе знаходзяцца на крытычнай прамой \operatorname{Re} s = \frac{1}{2}.

Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Існуе даволі вялікая колькасць адмысловых функцый, звязаных з дзэта-функцыяй Рымана і аб'яднаных пад агульнай назваю дзэта-функцыі. Напрыклад:

якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры q = 1 (бо сумаванне вядзецца ад 0, а не ад 1).
які супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1.
якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1 і q = 1 (бо сума бярэцца ад 0, а не ад 1).

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Як функцыя рэчаіснай зменнай, дзэта-функцыя была ўведзена ў 1737 годзе Эйлерам, які і знайшоў формулу яе раскладання ў здабытак. Затым гэту функцыю разглядаў Дзірыхле і, асабліва паспяхова, Чабышоў пры даследаванні закону размеркавання простых лікаў. Але найбольш глыбокія ўласцівасці дзэта-функцыі былі выяўлены пазней, пасля працы Рымана (1859), у якой дзэта-функцыя разглядалася як функцыя камплекснай зменнай.

Зноскі

  1. В. В. Зудилин Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. — 2001. — Т. 56. — № 2(338). — С. 215–216.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]