Пераўтварэнне Гільберта

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

У матэматыцы і апрацоўцы сігналаў пераўтварэнне Гільберталінейны аператар, які супастаўляе кожнай функцыі u(t) функцыю H(u(t)) у той жа вобласці.

Пераўтварэнне Гільберта можа быць вызначана ў сэнсе галоўнага значэння інтэграла па Кошы:

 H(u)(t) = \frac{1}{\pi}\text{v.p.} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac {u(\tau)} {t-\tau}\, d\tau

Ці, больш відавочна:

H(u)(t) = -\frac{1}{\pi}\lim_{\epsilon\to 0}\int\limits_{\epsilon}^\infty \frac{u(t+\tau)-u(t-\tau)}{\tau}\,d\tau.

Пры двухразовым ужыванні пераўтварэння Гільберта функцыя змяняе знак:

H(H(u))(t) = -u(t),\,

пры ўмове, што абое пераўтварэнні існуюць.

Сувязь з пераўтварэннем Фур'е[правіць | правіць зыходнік]

Пераўтварэнне Гільберта з'яўляецца множнікам у спектральнай вобласці.


\mathcal{F}(H(u))(\omega) = -i\ \mathrm{sgn}(\omega) \cdot \mathcal{F}(u)(\omega),

дзе \mathcal{F}(f)(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt — варыянт прамога пераўтварэння Фур'е без множніка, які нарміруе.

Зваротнае пераўтварэнне[правіць | правіць зыходнік]

H^{-1} = -H\,

Глядзіце таксама[правіць | правіць зыходнік]