Праектыўная прастора

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
У перспектыве, лініі, паралельныя на плоскасці, перасякаюцца ў пункце збегу(англ.) бел. на гарызонце.

Праекты́ўная прасто́ра над полем K — прастора, якая складаецца з прамых (аднамерных падпрастор) некаторай лінейнай прасторы L(K) над гэтым полем. Прамыя прасторы L(K) называюцца пунктамі праектыўнай прасторы. Гэта азначэнне можна абагульніць на адвольнае цела K.

Калі L мае размернасць n+1, то размернасцю праектыўнай прасторы называецца лік n, а сама праектыўная прастора абазначаецца KPn і называецца асацыяванаю з L (каб гэта пазначыць, прынята абазначэнне P(L)).

Пераход ад вектарнай прасторы L(K) размернасці n+1 да адпаведнай праектыўнай прасторы KPn называецца праектывізацыяй прасторы L(K).

Пункты KPn можна апісаць з дапамогаю аднародных каардынат(руск.) бел..

Аксіяматычнае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Праектыўная прастора можа таксама вызначацца сістэмаю аксіём тыпу гільбертавай(руск.) бел.. У гэтым выпадку праектыўная прастора вызначаецца як сістэма, якая складаецца з мноства пунктаў P, мноства прамых L і дачынення інцыдэнтнасці I, якое звычайна выражаецца словамі «пункт ляжыць на прамой» ці «прамая праходзіць праз пункт», і задавальняе наступныя аксіёмы:

  • Для любых двух розных пунктаў існуе адзіная прамая, інцыдэнтная абодвум пунктам; (праз любыя два пункты праходзіць толькі адна прамая)
  • Кожная прамая інцыдэнтная не менш чым тром пунктам; (на кожнай прамой ляжыць не менш чым тры пункты)
  • Калі прамыя L і M перасякаюцца (маюць агульны інцыдэнтны пункт), пункты p і q ляжаць на прамой L, а пункты s і r — на прамой M, то прамыя ps і qr перасякаюцца.

Падпрастораю праектыўнай прасторы называецца падмноства T мноства P, такое што для любых p,q\in P з гэтага падмноства ўсе пункты прамой pq належаць T. Размернасцю праектыўнай прасторы P называецца найбольшы лік n, такі што існуе строга нарастаючы ланцуг(руск.) бел. падпрастор віду

\varnothing = X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.

Заўвага: усе сцвярджэнні можна лёгка сфармуляваць з дапамогаю паняцця прыналежнасці, не ўводзячы паняцця інцыдэнтнасці. Аднак паняцце інцыдэнтнасці дазваляе фармуляваць сцвярджэнні ў форме, сіметрычнай адносна паняццяў "пункт" і "прамая". І ў некаторых выпадках гэта аказваецца даволі зручным.

Класіфікацыя[правіць | правіць зыходнік]

  • Размернасць 0: прастора складаецца з аднаго пункта.
  • Размернасць 1: адвольнае непустое мноства пунктаў і адзіная прамая, на якой ляжаць усе гэтыя пункты.
  • Размернасць 2 (праектыўная плоскасць(руск.) бел.): у гэтым выпадку класіфікацыя больш складаная. Усе плоскасці віду KP^n для некаторага цела K задавальняюць аксіёму Дэзарга(руск.) бел., аднак існуюць такія недэзаргавы плоскасці(англ.) бел..
  • Большыя размернасці: згодна з тэарэмаю Веблена — Юнга(англ.) бел.[1], любая праектыўная прастора размернасці больш чым два можа быць атрымана як праектывізацыя модуля(руск.) бел. над некаторым целам.

Звязаныя азначэнні і ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Няхай M — гіперплоскасць у лінейнай прасторы L. Праектыўная прастора P(M)\subset P(L) называецца праектыўнаю гіперплоскасцю ў P(L).
  • На дапаўненні праектыўнай гіперплоскасці A=P(L)\backslash P(M) існуе натуральная структура афіннай прасторы(руск.) бел..
  • Наадварот, узяўшы за аснову афінную прастору A можна атрымаць праектыўную прастору як афінную, да якой дабаўлены т. зв. бесканечна аддаленыя пункты. Першапачаткова праектыўная прастора і была ўведзена такім чынам.

Таўталагічнае расслаенне[правіць | правіць зыходнік]

Таўталагічным расслаеннем \gamma^n : E \to \mathbb{R}P^n называецца вектарнае расслаенне(руск.) бел., прастораю расслаення якога з'яўляецца падмноства прамога здабытку \mathbb{R} P^n\times\mathbb{R}^{n+1}

E(\gamma^n):=\big\{(\{\pm\;x\},v)\in\mathbb{R}P^n\times\mathbb{R}^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda\in\mathbb{R}\big\}.

а слоем — рэчаісная прамая \mathbb R. Кананічная праекцыя \gamma^n адлюстроўвае прамую, якая праходзіць праз пункты \pm x \in \mathbb{R}^{n+1}, у адпаведны пункт праектыўнай прасторы. Пры n\geq 1 гэта расслаенне не з'яўляецца трывіяльным. Пры n=1 прастораю расслаення з'яўляецца стужка Мёбіуса.

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Veblen, Oswald; Young, John Wesley. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition)

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
  • Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
  • Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
  • Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.