Тэарэма Ферма — Эйлера

З пляцоўкі Вікіпедыя.
(Пасля перасылкі з Тэарэма Ферма-Эйлера)
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэма Ферма-Эйлера або тэарэма аб прадстаўленні простых лікаў сумай двух квадратаў сцвярджае[1]:

Няцотны просты лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух квадратаў (цэлых лікаў), калі і толькі калі ён мае выгляд 4k + 1.

Інакш кажучы, для простага ліку p > 2 існаванне цэлых лікаў x і y, такіх што

p = x^2 + y^2

раўназначна таму, што лік p пры дзяленні на 4 дае ў астачы 1:

p \equiv 1 \pmod 4.

У замежнай літаратуры гэта сцверджанне часта называюць Каляднай тэарэмай Ферма, бо яно стала вядома з пісьма П'ера Ферма, дасланага ім 25 снежня 1640 года.

Прыклады:

5 = 1^2 + 2^2, \quad 13 = 2^2 + 3^2, \quad 17 = 1^2 + 4^2, \quad 29 = 2^2 + 5^2, \quad 37 = 1^2 + 6^2, \quad 41 = 4^2 + 5^2.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Упершыню гэта сцвярджэнне сустракаецца ў Альбера Жырара ў 1632 годзе. П'ер Ферма заявіў у сваём пісьме Мерсену (1640), што ён даказаў гэту тэарэму, але доказу не прывёў. Праз 20 год у пісьме да Каркаві (жнівень 1659 года) Ферма намякае, што доказ заснаваны на метадзе бесканечнага спуску.

Першы абнародаваны доказ метадам бесканечнага спуску быў знойдзен Леанардам Эйлерам паміж 1742 і 1747 гадамі. Пазней доказы, заснаваныя на іншых ідэях, далі Жазэф Лагранж, Карл Гаус, Герман Мінкоўскі, Якобшталь і Дон Цагір. Апошні прывёў доказ у адзін сказ.[2]

Доказ[правіць | правіць зыходнік]

Адзін з самых кароткіх доказаў прыдумаў нямецкі матэматык Дон Цагір[3].

Абагульненне[правіць | правіць зыходнік]

З гэтага сцверджання пры дапамозе тоеснасці Брахмагупты:

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2

выводзіцца агульнае сцверджанне:

Натуральны лік можна запісаць у выглядзе сумы квадратаў двух цэлых лікаў тады і толькі тады, калі любы просты лік выгляду 4k + 3 уваходзіць у яго раскладанне на простыя множнікі ў цотнай ступені.

Часам іменна гэта сцверджанне разумеюць пад тэарэмай Ферма — Эйлера.

Зноскі

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960.- 375 с.
  • Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа. Квант, № 3 (1999), стр. 14-22.