Брахмагупта

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Брахмагупта
ब्रह्मगुप्त
Brahmagupta.jpg
Брахмагупта
Дата нараджэння:

598(0598)

Месца нараджэння:

Бхінмал, Індыя

Дата смерці:

670(0670)

Краіна:

Flag of India.svg Індыя

Навуковая сфера:

матэматыка, астраномія

Брахмагупта, Брамагупта (санскр.: ब्रह्मगुप्त, ок. 598670) — індыйскі матэматык і астраном. Кіраваў абсерваторыяй ва Удджайне. Сваімі працамі істотна паўплываў на развіццё астраноміі ў Візантыі і краінах ісламу, пачаў выкарыстоўваць алгебраічныя метады для астранамічных разлікаў, увёў правілы аперацый з нулём, дадатнымі і адмоўнымі велічынямі. Да нашагу часу дайшоў яго галоўны твор «Брахма-спхута-сіддханта» («Удасканаленае вучэнне Брахмы», ці «Перагляд сістэмы Брахмы»). Большая частка твора прысвечана астраноміі, два раздзелы (12-ы і 18-ы) — матэматыцы.

Біяграфія[правіць | правіць зыходнік]

Брахмагупта нарадзіўся прыблізна ў 598 годзе. Гэты вынікае з кнігі «Брахма-спхута-сіддханта», у якой ён паведамляе, што напісаў гэты тэкст ва ўзросце 30-ці гадоў у 628 годзе (Śaka 550)[1][2]. Брахмапутра нарадзіўся ў Бхіламале (сучасны Бхінмал у штаце Раджастан Паўночна-Заходняй Індыі), які тады быў сталіцай зямель дынастыі Gurjara. Яго бацькам быў Джіснугупта[3]. Верагодна, ён пражыў большую частку жыцця ў Бхінмале ў час праўлення (і, магчыма, пры заступніцтве) правіцеля Ўяграмукхі[4], таму яго нярэдка называюць Бхіламакар'я (настаўнік з Бхілама)[5]. Брахмагупта был кіраўніком астранамічнай абсерваторыі ва Удджайне. Абсерваторыя, у якой таксама працаваў Варахаміхіра, была самай лепшай у старажытнай Індыі[3].

На даследаванні Брахмапутры значна паўплывалі яго рэлігійныя погляды. З'яўляючыся прыхільнікам традыцыйнага індуізму, ён крытыкаваў касмалагічныя погляды, у тым ліку меркаванне Арыябхаты, які сцвярджаў, што сферычная Зямля круціцца[6].

Хоць Брахмагупта быў знаёмы з працамі Арыябхаты, невядома, ці быў ён знаёмы з працамі Бхаскары. Работы Брахмагупты ўтрымліваюць шматлікія крытычныя заўвагі ў адрас сучасных яму астраномаў, а змест «Брахма-спхута-сіддханты» сведчыць аб расколе сярод тагачасных індыйскіх матэматыкаў. Рознагалоссі былі абумоўлены ў значнай ступені выбарам астранамічных параметраў і тэорыі. Крытыка тэорый апанентаў Брахмагупты змешчана ў першых дванаццаці раздзелах «Брахма-спхута-сіддханты» і адсутнічае ў трынаццатым і васямнаццатым раздзелах.

Арабскі вучоны Аль-Біруні ў сваёй кнізе «Кітаб аль-Хінд» (каля 1035) прааналізаваў і апісаў ідэі індыйскіх астраномаў. У сваёй працы ён спасылаецца на Брахмагупту, як на самага аўтарытэтнага[7].

Асноўныя працы[правіць | правіць зыходнік]

Вядомыя дзве галоўныя працы Брахмагупты: Brahmasphutasiddhanta (Брахма-спхута-сіддханта) (628), Khandakhadyaka (Кхандакхадзьяка) (665)[8].

Уклад у матэматыку[правіць | правіць зыходнік]

У сваёй працы Брахма-спхута-сіддханта Брахмагупта даў азначэнне нуля, як выніку адымання ліку ад самога сябе. Ён адзін з першых сфармуляваў правілы арыфметычных аперацый над дадатнымі і адмоўнымі лікамі, разглядаючы пры гэтым дадатныя лікі як маёмасць, а адмоўныя — як доўг. Далей Брахмагупта спрабаваў пашырыць арыфметыку, вызначыўшы дзяленне на нуль[3]. Паводле Брахмапуты[3][9],

  • Дзель нуля на нуль ёсць нуль;
  • Дзель дадатнага ці адмоўнага ліку на нуль ёсць дроб з нулём у назоўніку;
  • Дзель нуля на дадатны ці адмоўны лік ёсць нуль.

Брахмагупта прапанаваў тры спосабы множання многаразрадных лікаў у слупок (асноўны і два спрошчаныя), блізкія да сучасных. Асноўны спосаб Брахмагупта назваў «gomutrika», што перакладаецца «як траекторыя мачы каровы» (англ.: "like the trajectory of cow's urine")[3].

Брахмагупта таксама прапанаваў метад прыбліжанага вылічэння квадратнага кораня, раўназначны ітэрацыйнай формуле Ньютана (Newton-Raphson), метад рашэння некаторых нявызначаных квадратных ураўненняў выгляду ax²+c=y², метад рашэння нявызначаных лінейных ураўненняў выгляду ax+c=by, выкарыстоўваючы метад паслядоўных дробаў[3].

Ён выразіў суму квадратаў і кубаў першых n лікаў праз суму першых n лікаў, сцвярджаючы, што «Сума квадратаў ёсць сума лікаў, памножаная на падвоены лік крокаў, павялічаны на адзінку, і падзеленая на тры. Сума кубаў ёсць квадрат сумы лікаў да аднаго і таго ж ліку»[10][10]. У сімвальнай форме гэта выглядае так:

\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{(2n+1)}{3} \sum_{k=1}^n k;
\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right).

У працы Кхандакхадзьяка Брахмагупта прапанаваў інтэрпаляцыйную формулу другога парадку[en], якая з'яўляецца асобным выпадкам выведзенай больш чым праз 1000 гадоў інтэрпаляцыйнай формулы Ньютана — Сцірлінга. Ён выкарыстаў яе для інтэрпаляцыі значэнняў сінуса ў складзеных ім трыганаметрычных табліцах[11]. Формула дае ацэнку значэння функцыі f пры значэнні яе аргумента a + xh (пры h > 0 і −1 ≤ x ≤ 1), калі яе значэнне ўжо вядома ў пунктах ah, a і a + h. Яна запісваецца наступным чынам:

f( a + x h ) \approx f(a) + x \left(\frac{\Delta f(a) + \Delta f(a-h)}{2}\right) + \frac{x^2 \Delta^2 f(a-h)}{2!},

дзе Δ — аператар узыходзячай канечнай рознасці першага парадку, г. зн.

 \Delta f(a) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ f(a+h) - f(a).
Формула Брахмагупты для чатырохвугольніка

Брахмагупта прапанаваў формулу вылічэння плошчы чатырохвугольніка, упісанага ў акружнасць[3]. Формула Брахмагупты з'яўляецца абагульненнем формулы Герона для плошчы трохвугольніка. А іменна, плошча S упісанага ў акружнасць чатырохвугольніка са старанамі a, b, c, d і паўперыметрам p раўняецца

S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.

Пры гэтым сам Брахмагупта не ўдакладніў, што формула справядлівая толькі для чатырохвугольнікаў, якія можна ўпісаць у акружнасць, таму некаторыя гісторыкі лічаць гэта памылкай Брахмагупты[3].

Вядома яшчэ адна формула Брахмагупты для радыуса апісанай акружнасці адвольнага трохвугольніка:

R=\frac{ab}{2h_c}=\frac{bc}{2h_a}=\frac{ac}{2h_b},

дзе a, b, c — стораны трохвугольніка, ha, hb і hc — яго вышыні.

Тоеснасць Брахмагупты[правіць | правіць зыходнік]

Тоеснасць Брахмагупты сцвярджае, што здабытак дзвюх сум двух квадратаў сам ёсць сума двух квадратаў, прычым двума спосабамі.

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2.

Напрыклад,

(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.

Тэарэма Брахмагупты[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма Брахмагупты сцвярджае, што AF = FD
Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Тэарэма Брахмагупты

Няхай ёсць упісаны чатырохвугольнік, дыяганалі якога ўзаемна перпендыкулярныя. Апусцім з пункта перасячэння дыяганалей перпендыкуляр на адну з яго старон. Працяг гэтага перпендыкуляра па другі бок ад пункта перасячэння дзеліць процілеглую старану чатырохвугольніка на дзве роўныя часткі.

Задача Брахмагупты[правіць | правіць зыходнік]

Задача Брахмагупты — пабудаваць з дапамогай цыркуля і лінейкі ўпісаны чатырохвугольнік па чатырох яго старанах[12]. Адно з рашэнняў выкарыстоўвае акружнасць Апалонія.


Уклад у астраномію[правіць | правіць зыходнік]

Брахмагупта лічыў Зямлю нерухамаю (г. зн. што яна не круціцца вакол сваёй восі) і ў сваёй працы Брахма-спхута-сіддханта прывёў працягласць года як 365 дзён 6 гадзін 5 хвілін і 19 секунд, тады як у наступнай працы Кхандакхадьяка працягласць года прыведзена як 365 дзён 6 гадзін 12 хвілін і 36 секунд. Магчыма, другое значэнне было ўзята ў Арыябхаты[3].

Астранамічныя ўяўленні Брахмагупты, выкладзеныя ў Брахма-спхута-сіддханта, сведчаць аб высокім узроўні яго даследаванняў і навуковай прадбачлівасці. Так, у сёмым раздзеле працы, які называецца «Аб зацьменні Месяца», Брахмагупта абвяргае ўяўленні аб том, што Месяц знаходзіцца далей ад Зямлі, чым Сонца[13].

7.1. Калі б Месяць быў вышэшы за Сонца, то яго бліжэйшая да Сонца палавіна заўсёды была б асветлена.

7.2. Гэтак жа, асветленая Сонцам частка Месяца заўсёды была б бачная, а неасветленая частка заставалася б нябачнай.

7.3. Яркасць [асветленай часткі Месяца] павялічваецца ў напрамку Сонца. У канцы светлага паўмесяца палавіна асветлена, а другая палавіна цёмная. Такім чынам, вышыню рагоў паўмесяца можна вылічыць.

Брахмагупта тлумачыць, што раз Месяць бліжэшы да Зямлі, чым Сонца, ступень асветленасці Месяца залежыць ад узаемнага становішча Сонца і Месяца, і можа быць вылічана зыходзячы з велічыні вугла паміж гэтымі двума нябеснымі целамі.

Важным укладам Брахмагупты ў астраномію з'яўляюцца метады разліку становішча нябесных цел з цягам часу (эфемерыды), іх усходаў і заходаў, злучэнняў, а таксама разліку сонечных і месячных зацьменняў. Брахмагупта раскрытыкаваў уяўленні пуранічнай касмалогіі пра тое, што Зямля плокая або пустая ў сярэдзіне. Ён сцвярджаў, што Зямля і неба маюць сферычную форму, і што Зямля рухаецца. У 1030 годзе газневідскі астраном Абу аль-Райхан аль-Біруні ў сваёй працы «Та’рых аль-Хінд», пракаменціраваў працу Брахмагупты. Біруні адзначаў, што на заўвагі крытыкаў тэорыі шарападобнай Зямлі («Каб так было, то б камні і дрэвы падалі з зямлі») Брахмагупта адказаў:

«Наадварот, каб гэта так было [Зямля была плоская], то Зямля не магла б захоўваць сваю форму нават на працягу хвілін. […] Усе цяжкія рэчы прыцягваюцца да цэнтра зямлі […] Зямля аднолькавая з усіх бакоў. Усе людзі на Зямлі стаяць, і ўсе цяжкія рэчы падаюць на зямлю па закону прыроды, так устроена прырода Зямлі, каб прыцягваць і трымаць рэчы, таксама як прырода вады — цячы, агня — гарэць, ветру — прыводзіць у рух … Зямля — гэта адзіная нізкая рэч, усе прадметы заўсёды вернуцца к ёй з любога кірунку, куды б вы іх не кінулі, і ніколі не падымуцца ўверх ад зямлі».

— Брахмагупта, Брахма-спхута-сіддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)

Пра сілу цяжару Зямлі Брахмагупта казаў:

«Целы падаюць на зямлю, бо гэта ў прыродзе Зямлі — прыцягваць іх, гэтак жа як у прыродзе вады - цячы.»

— Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2.

Публікацыі[правіць | правіць зыходнік]

  • Brahmagupta. Brahma-Sphuta-Siddhanta. New Delhi, 1966. vol. 1.

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke, 1817, p. xxxv-xxxvi
  2. Brahmagupta. Encyclopedia of World Biography (2006). Праверана 20 жніўня 2013.
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 J J O'Connor and E F Robertson Brahmagupta. MacTutor History of Mathematics archive. Праверана 20 жніўня 2013.
  4. Plofker, 2007, p. 418—419
  5. Brahmagupta. Complete Dictionary of Scientific Biography. Праверана 20 жніўня 2013.
  6. Takao Hayashi Brahmagupta. Энцыклапедыя Брытаніка. Праверана 20 жніўня 2013.
  7. Katz V. J., Imhausen A. История человечества — Издательский дом Магистр-Пресс, 2003. — Т. IV. VII-XVI века. — P. 410-412. — 796 p. (руск.) 
  8. Pearce Ian Brahmagupta, and the influence on Arabia. MacTutor History of Mathematics archive. Праверана 20 жніўня 2013.
  9. Plofker, 2007, p. 428—434
  10. 10,0 10,1 Plofker, 2007, p. 428-434
  11. Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 285-286. ISBN 0-691-00659-8. .
  12. В. В. Прасолов, Задачи по планиметрии
  13. Plofker, 2007, p. 419—420

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Brahmagupta, Bhaskara, Colebrooke H.-T. Algebra, with arithmetic and mensuration, from Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara — John Murray, 1817. — 378 p. (англ.) 
  • Plofker K. Mathematics in India // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A sourcebook / Editor Katz V. J. — Princeton University Press, 2007. — 685 p. (англ.) 
  • Ван дер Варден Б. Л. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. Успехи математических наук, 31, вып. 5(191), 1976, с. 57-70.
  • Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. — М.: Наука, 1977.
  • Юшкевич А. П. История математики в средние века — М.: Физматгиз, 1961.
  • Gupta R. C. Brahmagupta’s formulas for the area and diagonals of a cyclic quadrilateral. The Mathematics Education, 8, 1974, p. 33-36.
  • Sarasvati Amma T. A. Geometry in ancient and medieval India. Delhi: Motilal Banarsidass, 1979.
  • История математики, т.1, М., 1970.

Ссылки[правіць | правіць зыходнік]