Даўжыня крывой: Розніца паміж версіямі

[недагледжаная версія]

Змесціва выдалена Змесціва дададзена

Лінейны

Версія ад 06:20, 2 ліпеня 2009

Даўжынёй крывой у метрычнай прасторы $(X,\rho )$ завецца варыяцыя задавалага крывую адлюстравання, г.з. даўжыня крывой $\gamma :[a,b]\to X$ ёсць велічыня роўная:

\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k}))

,

дзе дакладная верхняя грань бярэцца па ўсіх разбіццях $P$ адрэзка $[a,b]$ .

Звязаныя азначэнні

Калі даўжыня канчатковая, то кажуць, што крывая выпрастальная, у адваротным выпадку неспрамляемая.

Формулы

Калі крывая класа $C^{1}$ у $\mathbb {R} ^{n}$ , то яе даўжыня роўная:

Увогуле выпадку $\mathbb {R} ^{n}$ — $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}\left(f'_{k}(t)\right)^{2}}}\,dt$ .
У $\mathbb {R} ^{3}$ — $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt$ .
Калі крывая зададзеная ў $\mathbb {R} ^{2}$ як f(x), то даўжыня роўная $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx$ .

Глядзіце таксама

Варыяцыя функцыі

@@ Радок 1: / Радок 1: @@
 {{арфаграфія}}
-'''Даўжынёй крывой''' у [[мэтрычная прастора|мэтрычнай прасторы]] <math>(X,\rho)</math> завецца [[варыяцыя функцыі|варыяцыя]] задавалага крывую адлюстраваньня,
+'''Даўжынёй крывой''' у [[метрычная прастора|метрычнай прасторы]] <math>(X,\rho)</math> завецца [[варыяцыя функцыі|варыяцыя]] задавалага крывую адлюстравання,
-г.з. даўжыня крывой <math>\gamma:[a,b]\to X</math> ёсьць велічыня роўная:
+г.з. даўжыня крывой <math>\gamma:[a,b]\to X</math> ёсць велічыня роўная:
 :<math>\sup\limits_{P} \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k))</math>,
-дзе [[дакладная верхняя грань]] бярэцца па ўсіх [[разьбіцьцё|разьбіцьцях]] <math>P</math> адрэзка <math>[a,b]</math>.
+дзе [[дакладная верхняя грань]] бярэцца па ўсіх [[разбіццё|разбіццях]] <math>P</math> адрэзка <math>[a,b]</math>.
+== Звязаныя азначэнні ==
-== Зьвязаныя азначэньні ==
-Калі даўжыня канчатковая, то кажуць, што крывая '''выпрастальная''', у адваротным выпадку '''неспрямляемая'''.
+Калі даўжыня канчатковая, то кажуць, што крывая '''выпрастальная''', у адваротным выпадку '''неспрамляемая'''.
 ==Формулы==
-Калі крывая кляса <math>C^1</math> у <math>\R^n</math>, то яе даўжыня роўная:
+Калі крывая класа <math>C^1</math> у <math>\R^n</math>, то яе даўжыня роўная:
 * Увогуле выпадку <math>\mathbb{R}^n</math> — <math>\int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \left( f'_k (t) \right)^2} \, dt</math>.