Даўжыня крывой

Даўжынёй крывой у метрычнай прасторы $(X,\rho )$ называецца варыяцыя адлюстравання, якім задаецца крывая, г.з. даўжыня крывой $\gamma :[a,b]\to X$ ёсць велічыня, роўная:

$\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k}))$,

дзе дакладная верхняя грань бярэцца па ўсіх разбіццях $P$ адрэзка $[a,b]$.

Звязаныя азначэнні

Калі даўжыня канечная, то кажуць, што крывая выпрастальная, у адваротным выпадку невыпрастальная.

Формулы

Калі крывая належыць класу $C^{1}$ у $\mathbb {R} ^{n}$, то яе даўжыня роўная:

• У трохмернай еўклідавай прасторы $\mathbb {R} ^{3}$:

  $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt.$

• У агульным выпадку n-мернай еўклідавай прасторы $\mathbb {R} ^{n}$:

  $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}\left(f'_{k}(t)\right)^{2}}}\,dt.$

• Калі крывая зададзена на плоскасці $\mathbb {R} ^{2}$ як графік функцыі y = f(x), то яе даўжыня роўная

  $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.$