Вектар (матэматыка)

Вектар ${\overline {AB}}$

Вектар — накіраваны прасталінейны адрэзак, г.зн. адрэзак які мае вызначаную даўжыню і вызначаны кірунак.

Нататка: вектары могуць пазначацца, як ${\overrightarrow {a}}$ альбо ${\overline {a}}$. Памятайце, што гэта адзінае.

Геаметрычнае ўяўленне

Калі $A$ - пачатак, а $B$ - канчатак, тады ${\overline {AB}}$ ці ${\overline {a}}$ - вектар. Вектар ${\overline {BA}}$ завецца процілеглым вектару ${\overline {AB}}$. Вектар процілеглы вектару ${\overline {a}}$ вызначаецца $-{\overline {a}}$.

Даўжынёй ці модулем вектару ${\overline {AB}}$ завецца даўжыня адрэзка і пазначаецца $\left|{\overline {AB}}\right|$. Вектар, даўжыня якога роўная нулю завецца нулявым вектарам і вызначаецца ${\overline {0}}$. Нулявы вектар не мае накірунку.

Вектар, даўжыня якога роўная адзінцы, завецца адзінкавым вектарам і азначаецца ${\overline {e}}$. Адзінкавы вектар, накірунак якога супадае з вектарам ${\overline {a}}$ завецца ортам вектара ${\overline {a}}$ і вызначаецца ${\overline {a}}^{0}$.
Вектары ${\overline {a}}$ і ${\overline {b}}$ завуцца калінеарнымі калі яны знаходзяцца на адзінай прамой ці на роўналежных прамых. Натуецца ${\overline {a}}||{\overline {b}}$.
Калінеарныя вектары могуць быць накіраваныя аднолькава ці процілегла.
Нулявы вектар лічыцца калінеарным любому вектару.
Тры вектары завуцца кампланарнымі калі яны ляжаць у адной плоскасці ці ў паралельных плоскасцях. Калі сярод іх адзін вектар нулявы ці два іншых калінеарны, такія вектары таксама кампланарныя.

Алгебраічнае ўяўленне

У лінейнай алгебры вектар - гэта элемент вектарнай прасторы (або інакш: лінейнай прасторы). Вектары можна складаць і памнажаць на лік. Вектар таксама можна ўявіць у выглядзе лінейнай камбінацыі іншых вектараў. Базіс - гэта лінейна незалежная сукупнасць вектараў, якая спараджае ўсю прастору. У канечнамернай прасторы існуе канчатковы базіс, і тады любы вектар прасторы можа быць адзіным чынам прадстаўлены ў выглядзе раскладання выгляду

${\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i},$

дзе ${\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}$ - гэта базіс, а $x_{1},\dots ,x_{n}$ - каардынаты вектара ${\vec {x}}$ у зададзеным базісе.