Вызначнік, алгебра

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Вызначнік[1] (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай матрыцы (мнагачлен ад n2 зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца выраджаная. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).

Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.

Строгае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы[правіць | правіць зыходнік]

Няхай

Вызначнік n × n-матрыцы A − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:

дзе складанне адбываецца па ўсіх перастаноўках σ мноства {1,...,n} , sgn(σ) − знак перастаноўкі σ, роўны +1, калі σ цотная, і роўны -1, калі σ няцотная.

Праз адметныя ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Няхай

матрыца, каэфіцыенты aij якой належаць колцу R, у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе адзінка.

Абазначым праз ai i-ты слупок матрыцы A:

Вызначнікам называецца функцыя ад матрыцы A, якая прымае значэнні з колца R і задавальняе наступныя ўмовы:

  1. Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:
  2. Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):
  3. Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:
  • Вызначнік здабытку матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:
  • Няхай колца R ёсць полем. Тады
  • Калі матрыца A трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: aij = 0 пры i > j; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: aij = 0 пры i < j), то яе вызначнік роўны здабытку яе дыяганальных элементаў:

Вызначнікі малых парадкаў[правіць | правіць зыходнік]

Для матрыцы першага парадку вызначнік роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:

Для матрыцы 2 × 2 вызначнік роўны

Для матрыцы n × n вызначнік можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як раскаданне па першым радку):

дзе дадатковы мінор элемента

Заўвага: каб атрымаць дадатковы мінор Mij элемента aij, трэба закрэсліць i-ты радок і j-ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.

Адсюль вынікае, што вызначнік матрыцы 3 × 3 раўняецца:

Зноскі

  1. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Крыніцы[правіць | правіць зыходнік]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры — Москва: Факториал Пресс, 2002.