Дыскрэтнае пераўтварэнне Абеля

У матэматычным аналізе дыскрэтным пераўтварэннем А́беля называецца наступная тоеснасць:

$\sum \limits _{k=1}^{N}a_{k}b_{k}=\sum \limits _{k=1}^{N-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})+a_{N}B_{N},$

дзе элементы $a_{k},b_{k}$ зададзены, а $B_{k}$ — частковая сума элементаў $b_{i}$ (па індэксах ад 1 да k уключна):

$B_{k}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}=b_{1}+b_{2}+\dots +b_{k}.$

Пераўтварэнне Абеля з'яўляецца дыскрэтным адпаведнікам інтэгравання па частках і іншы раз называецца сумаваннем па частках.

Пераўтварэнне было названа ў гонар нарвежскага матэматыка Нільса Хенрыка Абеля і выкарыстоўваецца пры доказе прыкметы збежнасці Дзірыхле.

У літаратуры пераўтварэнне Абеля можа сустракацца ў розных эквівалентных фармулёўках.

Доказ

Ёсць дзве паслядоўнасці $(a_{n})$ і $(b_{n}),$ пры $n\in \mathbb {N} .$ Разгледзім наступны рад:

$S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}.$

Абазначым

$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k},$

тады для ўсіх n > 0 маем

$b_{n}=B_{n}-B_{n-1}.$

Адкуль адразу ж атрымліваем

$S_{N}=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),$

$S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{1}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).$

У выніку атрымліваем наступную роўнасць:

$S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).$