Мультыплікатыўная функцыя

У тэорыі лікаў, мультыплікатыўная функцыя ― арыфметычная функцыя $f(m)$, такая што

$f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})$

для любых узаемна простых лікаў $m_{1}$ і $m_{2}$.

Звычайна мяркуецца, што f(m) не роўная тоесна нулю, гэта раўназначна ўмове

$f(1)=1.$

Мультыплікатыўная функцыя называецца моцна мультыплікатыўнаю, калі

$f(p^{\alpha })=f(p)$

для ўсіх простых $p$ і ўсіх натуральных $\alpha$.

У тэорыі лікаў функцыі $f(m)$, якія задавальняюць умову мультыплікатыўнасці для ўсіх натуральных $m_{1},m_{2}$, называюцца цалкам мультыплікатыўнымі (поўнасцю мультыплікатыўнымі).

Варта адзначыць, што па-за тэорыяй лікаў пад мультыплікатыўнаю функцыяй разумеюць любую функцыю $f$, вызначаную на некаторым мностве $X$ так, што

$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$

для любых $x_{1},x_{2}\in X.$

Прыклады

• Функцыя $\tau (m)$ ― лік натуральных дзельнікаў натуральнага $m$.
• Функцыя $\sigma (m)$ ― сума натуральных дзельнікаў натуральнага $m$.
• Функцыя Эйлера $\varphi (m)$.
• Функцыя Мёбіуса $\mu (m)$.
• Функцыя ${\frac {\varphi (m)}{m}}$ з'яўляецца моцна мультыплікатыўнаю.
• Ступенная функцыя $f(m)=m^{\alpha }$ з'яўляецца цалкам мультыплікатыўнаю.

Уласцівасці

Калі $f(m)$ — мультыплікатыўная функцыя, то функцыя

$g(m)=\sum _{d|m}f(d)$

таксама будзе мультыплікатыўнаю. Наадварот, калі функцыя $g(m)$, вызначаная гэтымі суадносінамі, з'яўляецца мультыплікатыўнаю, то і зыходная функцыя $f(m)$ таксама мультыплікатыўная.

Больш таго, калі $f(m)$ і $g(m)$ — мультыплікатыўныя функцыі, то мультыплікатыўнаю будзе і іх згортка Дзірыхле

$h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right).$

Літаратура

• Кубилюс Й. П. Мультипликативная арифметическая функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 3.
• Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• Paul T. Baterman, Harold G. Diamond. 2.5 Multiplicative functions // Analytic Number Theory. An introductory course. — Singapore: World Scientific Publishing, 2004. — С. 31—38. — ISBN 981-238-938-5.

Гл. таксама

• Арыфметычная функцыя