Найменшае агульнае кратнае

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Найме́ншае агу́льнае кра́тнае (найменшы агульны кратны лік, НАК) двух цэлых лікаў m і n — найменшы натуральны лік, які дзеліцца на m і n без астачы. Абазначаецца адным з наступных спосабаў:

  • НАК(mn);
  • [mn];
  • lcm(mn)    (ад англ.: Least Common Multiple).

Прыклад: НАК(16, 20) = 80.

Найменшае агульнае кратнае некалькіх лікаў — гэта найменшы натуральны лік, які дзеліцца на кожны з гэтых лікаў.

Адно з найбольш частых прымяненняў НАК — прывядзенне дробаў да агульнага назоўніка.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Перастаўляльнасць (камутатыўнасць):
  • Спалучальнасць (асацыятыўнасць):
  • Сувязь з найбольшым агульным дзельнікам gcd(a, b):
  • У прыватнасці, калі a і bузаемна простыя лікі(руск.) бел., то:
  • пры
  • Найменшае агульнае кратнае двух цэлых лікаў m і n з'яўляецца дзельнікам усіх іншых агульных кратных m і n. Больш таго, мноства агульных кратных m і n супадае з мноствам кратных для НАК(m, n).
  • Асімптотыкі для можна выразіць праз некаторыя тэарэтыка-лікавыя функцыі.
    • Функцыя Чабышова(англ.) бел.
    • . Гэта вынікае з азначэння і ўласцівасцей функцыі Ландау(руск.) бел. g(n).
    • , што вынікае з закона размеркавання простых лікаў(руск.) бел..

Вылічэнне НАК[правіць | правіць зыходнік]

НАК(a, b) можна вылічыць некалькімі спосабамі.

1. Калі вядомы найбольшы агульны дзельнік, можна выкарыстаць яго сувязь з НАК:

2. Няхай вядома кананічнае раскладанне абодвух лікаў на простыя множнікі:

дзе — розныя простыя лікі, а і — неадмоўныя цэлыя лікі (яны могуць быць нулямі, калі адпаведнага простага няма ў раскладанні). Тады НАК(a, b) вылічаецца па формуле:

Іншымі словамі, раскладанне НАК утрымлівае ўсе простыя множнікі, якія ўваходзяць хоць у адно з раскладанняў лікаў a і b, прычым з двух паказчыкаў ступені гэтага множніка бярэцца найбольшы. Прыклад:

Вылічэнне найменшага агульнага кратнага некалькіх лікаў можна звесці да некалькіх паслядоўных вылічэнняў НАК ад двух лікаў:

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]