Першаісны корань (тэорыя лікаў)

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search

Першаі́сны корань па модулю mцэлы лік g такі, што

і

пры

дзе функцыя Эйлера(руск.) бел..

Іншымі словамі, першаісны корань — гэта ўтваральны элемент мультыплікатыўнай групы(руск.) бел. колца вылікаў па модулю m.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Існаванне[правіць | правіць зыходнік]

Першаісныя карані існуюць толькі па модулях m віду

m = 2, 4, pa, 2pa,

дзе p > 2просты лік. Толькі ў гэтых выпадках мультыплікатыўная група колца вылікаў(руск.) бел. па модулю m з'яўляецца цыклічнаю групаю парадку φ(m).

Індэкс ліку па модулю[правіць | правіць зыходнік]

Для першаіснага кораня g яго ступені g0=1, g, …, gφ(m)-1 непараўнальныя паміж сабою па модулю m і ўтвараюць прыведзеную сістэму рэшт па модулю m. Таму для кожнага ліку a, узаемна простага з m, знойдзецца паказчык ℓ, 0 ⩽ ℓ ⩽ φ(m)-1, такі што

Такі лік ℓ называецца індэксам ліку a па аснове g.

Колькасць[правіць | правіць зыходнік]

Калі па модулю m існуе першаісны корань g, то ўсяго існуе φ(φ(m)) розных першаісных каранёў па модулю m, прычым усе іх можна атрымаць як gk, дзе 1 ⩽ k ⩽ φ(m)-1 і лік k узаемна просты з φ(m).

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Першаісныя карані для простых модуляў p былі ўведзены Эйлерам, але існаванне першаісных каранёў для любых простых модуляў p даказаў толькі Гаус у 1801 годзе.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Лік 3 з'яўляецца першаісных коранем па модулю 7. Каб пераканацца ў гэтым, дастаткова кожны лік ад 1 да 6 прадставіць як некаторую ступень тройкі па модулю 7:

Прыклады найменшых першаісных каранёў па модулю m (паслядоўнасць A046145 у OEIS):

Модуль m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Першаісны корань 1 2 3 2 5 3 2 3 2 2 3

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • И. М. Виноградов. Основы теории чисел.. — М.: Наука, 1972.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]