Размовы:Ураўненне Дзірака

Ураўненне Дзiрака і прынцып адпаведнасці

Трэба дапоўніць артыкул наступным чынам. Ураўненне Дзiрака можна абгрунтаваць з дапамогай прынцыпу адпаведнасці (гл. кнiгу: Мирозданье постигая ...: [физико-философские очерки], Александр Климец, выд-во Питер ПЭН, 2007, с.38, Нацыянальная бібліятэка Беларусі).

У спецыяльнай тэорыі адноснасці энергія і імпульс часціцы выяўляюцца праз суадносіны

$E^{2}=p_{1}^{2}c^{2}+p_{2}^{2}c^{2}+p_{3}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$

Гэта ураўненне можна, падзяліўшы на $E$ абодва бакі, пераўтварыць да наступнага выгляда

$E={\frac {v_{1}}{c}}p_{1}c+{\frac {v_{2}}{c}}p_{2}c+{\frac {v_{3}}{c}}p_{3}c+{\frac {v_{0}}{c}}m\,c^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

дзе велічыня $v_{0}={\sqrt {c^{2}-v^{2}}}$ , а $v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}$  ;

На самай справе, ${\frac {p_{1}c}{E}}={\frac {mv_{1}c(c/v_{0})}{mc^{2}(c/v_{0})}}={\frac {v_{1}}{c}}\,$ і г.д., а таксама ${\frac {mc^{2}}{E}}={\frac {mc^{2}}{mc^{2}(c/v_{0})}}={\frac {v_{0}}{c}}\,$;

Ураўненне Дзiрака мае выгляд

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=(\alpha _{1}{\hat {p}}_{1}c+\alpha _{2}{\hat {p}}_{2}c+\alpha _{3}{\hat {p}}_{3}c+\alpha _{0}\,m\,c^{2})\psi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

дзе $\alpha _{j}$ - матрыцы, $(j=0,1,2,3,)$. З прынцыпу адпаведнасці паміж ураўненнямі (1) і (2) вынікае, што $v_{j}/c\rightarrow \alpha _{j}$. І на самай справе, ў квантавай механіцы паказана, што рэлятывісцкі аператар хуткасці $v_{\nu }=dx_{\nu }/dt;(\nu =1,2,3)$; мае выгляд $v_{\nu }=c\alpha _{\nu }$, г.зн. з'яўляецца матрычным аператарам (гл. падручнік: Барысаглебскі Л.А. "Квантавая механіка", Мінск, выд-ва "Універсітэцкае", 1988, с.340-342).

Сапраўды, аператар хуткасці знаходзіцца паводле агульных правілаў дыферэнцыявання аператараў па часе

${\frac {dx_{\nu }}{dt}}={\frac {\partial x_{\nu }}{\partial t}}+[H,x_{\nu }]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

дзе аператар Гамільтана

$H=\alpha _{\nu }p_{\nu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}$

Так як $x_{\nu }$ - аператар каардынаты - не залежыць відавочна ад часу, то $dx_{\nu }/dt=[H,x_{\nu }]$. Падстаўляючы сюды аператар Гамільтана, мы атрымаем

${\frac {dx_{\nu }}{dt}}=[(\alpha _{\mu }p_{\mu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}),\,x_{\nu }]$

Матрыца $\alpha _{\mu }$ камутуецца з $x_{\nu }$, таму матрычны аператар можна вынесці за дужкі. Канчаткова маем

$dx_{\nu }/dt=c\alpha _{\mu }[p_{\mu },x_{\nu }]=c\alpha _{\mu }\delta _{\mu \nu }=c\alpha _{\nu }$

Ўласныя значэння матрычнага аператара хуткасці роўныя $\pm c$, але так як аператар хуткасці не камутуецца з аператарам Гамільтана, то на вопыце заўсёды вымяраецца сярэдняе значэнне рэлятывісцкага аператара хуткасці і яно менш $c$.

Такім чынам, адпаведнасць паміж ураўненнямі (1) і (2) пацвярджаецца.

Alexander Klimets (размовы) 11:49, 14 сакавіка 2017 (+03)