Трэба дапоўніць артыкул наступным чынам. Ураўненне Дзiрака можна абгрунтаваць з дапамогай прынцыпу адпаведнасці (гл. кнiгу: Мирозданье постигая ...: [физико-философские очерки], Александр Климец, выд-во Питер ПЭН, 2007, с.38, Нацыянальная бібліятэка Беларусі).
У спецыяльнай тэорыі адноснасці энергія і імпульс часціцы выяўляюцца праз суадносіны
![{\displaystyle E^{2}=p_{1}^{2}c^{2}+p_{2}^{2}c^{2}+p_{3}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6181f0417b4f683f7400a8ad1e83da798680f)
Гэта ураўненне можна, падзяліўшы на
абодва бакі, пераўтварыць да наступнага выгляда
![{\displaystyle E={\frac {v_{1}}{c}}p_{1}c+{\frac {v_{2}}{c}}p_{2}c+{\frac {v_{3}}{c}}p_{3}c+{\frac {v_{0}}{c}}m\,c^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a045e7568426e4404a03e5cba348e4523c94874e)
дзе велічыня
, а
;
На самай справе,
і г.д., а таксама
;
Ураўненне Дзiрака мае выгляд
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=(\alpha _{1}{\hat {p}}_{1}c+\alpha _{2}{\hat {p}}_{2}c+\alpha _{3}{\hat {p}}_{3}c+\alpha _{0}\,m\,c^{2})\psi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8e5cd8dfb477ab10e1ce2b4162a55c7900609a)
дзе
- матрыцы,
.
З прынцыпу адпаведнасці паміж ураўненнямі (1) і (2) вынікае, што
.
І на самай справе, ў квантавай механіцы паказана, што рэлятывісцкі аператар хуткасці
; мае выгляд
, г.зн. з'яўляецца матрычным аператарам (гл. падручнік: Барысаглебскі Л.А. "Квантавая механіка", Мінск, выд-ва "Універсітэцкае", 1988, с.340-342).
Сапраўды, аператар хуткасці знаходзіцца паводле агульных правілаў дыферэнцыявання аператараў па часе
![{\displaystyle {\frac {dx_{\nu }}{dt}}={\frac {\partial x_{\nu }}{\partial t}}+[H,x_{\nu }]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8efe93ae52a4b2d3828f180f9fdb965efc235ef0)
дзе аператар Гамільтана
![{\displaystyle H=\alpha _{\nu }p_{\nu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67522f81df4279f156b5b9fe21b09639ce16114)
Так як
- аператар каардынаты - не залежыць відавочна ад часу, то
.
Падстаўляючы сюды аператар Гамільтана, мы атрымаем
![{\displaystyle {\frac {dx_{\nu }}{dt}}=[(\alpha _{\mu }p_{\mu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}),\,x_{\nu }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959c046c2d5a8ed0d6580550c4216a327fbd432b)
Матрыца
камутуецца з
, таму матрычны аператар можна вынесці за дужкі. Канчаткова маем
![{\displaystyle dx_{\nu }/dt=c\alpha _{\mu }[p_{\mu },x_{\nu }]=c\alpha _{\mu }\delta _{\mu \nu }=c\alpha _{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe4d8a2a3e830181bc8eda083008e927e523d88)
Ўласныя значэння матрычнага аператара хуткасці роўныя
, але так як аператар хуткасці не камутуецца з аператарам Гамільтана, то на вопыце заўсёды вымяраецца сярэдняе значэнне рэлятывісцкага аператара хуткасці і яно менш
.
Такім чынам, адпаведнасць паміж ураўненнямі (1) і (2) пацвярджаецца.
Alexander Klimets (размовы) 11:49, 14 сакавіка 2017 (+03)[адказаць]