Частковая вытворная

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

У матэматычным аналізе частковая вытворная — адно з абагульненняў паняцця вытворнай на выпадак функцыі некалькіх зменных.

У яўным выглядзе частковая вытворная функцыі у кропцы вызначаецца наступным чынам:

Графік функцыі z = x² + xy + y². Частковая вытворная ў кропцы (1, 1, 3) пры пастаянным y адпавядае вуглу нахілу датычнай прамой, паралельнай плоскасці xz.
Сячэнні графіка, намаляванага вышэй, плоскасцю y = 1

Абазначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Варта звярнуць увагу, што абазначэнне трэба разумець як цэльны сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай якую можна прадставіць, як адносіну дыферэнцыялаў функцыі і аргумента. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіну дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі: дзе частковы дыферэнцыял функцыі па зменнай . Часта неразуменне факта цэльнасці сімвала з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне ў выразе [1].

Геаметрычная інтэрпрэтацыя[правіць | правіць зыходнік]

Геаметрычна частковая вытворная з'яўляецца вытворнай па напрамку адной з каардынатных восей. Частковая вытворная функцыі у пункце па каардынаце роўная вытворнай па напрамку , дзе адзінка стаіць на k-ым месцы.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Аб'ём конуса залежыць ад вышыні і радыуса асновы

Аб'ём V конуса залежыць ад вышыні h і радыуса r, згодна з формулай

Частковая вытворная аб'ёму V адносна радыуса r

якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конуса, калі яго радыус мяняецца, а яго вышыня застаецца нязменнай. Напрыклад, калі лічыць адзінкі вымярэння аб'ёму , а вымярэнні даўжыні , то вышэйназваная вытворная будзе мець размернасць хуткасці змянення аб'ёму , г.зн. змяненне велічыні радыуса на 1 м будзе адпавядаць змяненню аб'ёму конуса на .

Частковая вытворная адносна h

якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конуса, калі яго вышыня мяняецца, а яго радыус застаецца нязменным.

Поўная вытворная V адносна r і h

і

Адрозненне паміж поўнай і частковай вытворнай — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй.

Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конуса застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаванай адносіне s,

Гэта дае поўную вытворную адносна r:

Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.

Зноскі

  1. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»