Прагляд зыходнага тэксту старонкі 0 (лік)

'''0''' ('''нуль''' ад {{lang-la|nullus}} — ніякі) — [[цэлы лік]], які раздзяляе на [[лікавая вось|лікавай прамой]] [[дадатны лік|дадатныя]] і [[адмоўны лік|адмоўныя]] лікі. Выконвае цэнтральную роль у матэматыцы як элемент, {{нп5|Нейтральны элемент|нейтральны|en|Identity element}} адносна [[Складанне|складання]] цэлых, [[Рэчаісны лік|рэчаісных лікаў]], і іншых {{нп5|Алгебраічная структура|алгебраічных структур|en|Algebraic structure}}.

У {{нп5|Пазіцыйная натацыя|пазіцыйнай натацыі|en|Positional notation}}, напрыклад [[Дзесятковая сістэма злічэння|дзесятковай]], нуль выступае яшчэ і як [[лічба]] для пазначэння таго, што адпаведная ступень 10 не дамнажаецца ні на што і не дадаецца да выніку. Здаецца, што гістарычна такую канцэпцыю было цяжка прыдумаць.

== Асноўныя ўласцівасці нуля ==
* Нуль не мае [[знак]]а.
* Любы [[лік]] пры [[Складанне|складанні]] з нулём не мяняецца.
* Пры [[адніманне|адніманні]] нуля з любога ліку атрымліваецца той жа лік.
* [[Множанне|Дамнажэнне]] любога ліку на нуль дае нуль.
* Пры [[Дзяленне|дзяленні]] нуля на любы лік, акрамя самога 0, атрымліваецца нуль. Дзяленне нуля на нуль прыводзіць да [[Раскрыццё нявызначанасцей|нявызначанасці]] <math>(0/0)</math>.
* Нуль з’яўляецца [[цотныя і няцотныя лікі|цотным]] лікам, бо пры дзяленні на 2 атрымліваецца [[цэлы лік]].
* [[Дзяленне на нуль]] немагчыма ў прасторы камплексных лікаў. На самай справе, калі абазначыць <math>\frac{a}{0} = b</math>, то па азначэнні дзялення фармальна павінна быць <math>b \cdot 0 = a</math>, у той час як выраз <math>b \cdot 0</math>, пры любым камплексным <math>b</math>, ровен нулю. Іншымі словамі, для нуля не існуе [[Адваротны лік|адваротнага ліку]] ў прасторы комплексных лікаў. Але гэта магчыма на [[Камплексная плоскасць#Бесканечна аддалены пункт|пашыранай камплекснай плоскасці]].
* Пры ўзвядзенні любога ліку, акрамя нуля, ў нулявую ступень па азначэнні атрымліваецца 1: <math>n^0 = 1</math>, пры <math>n \neq 0</math>.

=== Абагульненні ===
Аналаг нуля можна ўвесці ў любым мностве, на якім вызначана аперацыя складання; у [[Абстрактная алгебра|вышэйшай алгебры]] такі элемент называецца '''[[Нейтральны элемент|нейтральным элементам]]''' (або, у залежнасці ад умоўнай назвы групавой аперацыі, '''адытыўным нулём''', ці '''мультыплікатыўнай адзінкай'''). Часцей за ўсё выкарыстоўваецца [[рэчаісны лік|рэчаісны]] нуль, г.зн. нуль у кантэксце мноства [[рэчаісныя лікі|рэчаісных лікаў]]. Іншыя распаўсюджаныя варыяцыі:
* [[Нулявая матрыца]]
* [[Нулявы вектар|Нуль-вектар]]
* [[Пункт]] (як [[Размернасць прасторы|нульмерны аб'ект]], ці нульмерная прастора)
* Нулявы [[мнагачлен]]

== Адносіны да натуральных лікаў ==
Існуюць два падыходы да вызначэння [[Натуральны лік|натуральных лікаў]] — адны аўтары адносяць нуль да натуральных лікаў<ref>{{cite book |title=The historical roots of elementary mathematics |first1=Lucas Nicolaas Hendrik
|last1=Bunt |first2=Phillip S. |last2=Jones |first3=Jack D. |last3=Bedient |publisher=Courier Dover Publications |year=1976
|isbn=0-486-13968-9 |pages=254–255 |url=http://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC}}, [http://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA255 Extract of pages 254—255]</ref>, іншыя — не. У краінах былога СССР (у тым ліку, і Беларусі) у школьных праграмах па матэматыцы не прынята адносіць нуль да натуральных лікаў (бо натуральнымі лікамі там азначаюцца як лікі, якія выкарыстоўваюцца пры лічэнні, а 0 пры лічэнні не выкарыстоўваецца), хоць гэта абцяжарвае некаторыя фармулёўкі (напрыклад, прыходзіцца адрозніваць дзяленне з астачай і дзяленне без астачы).

== Ужыванне ==
=== У матэматыцы ===
* Нулявы [[Лікі Фібаначы|лік Фібаначы]], нулявы [[лік Мерсена]], нулявы [[трохвугольны лік]] і г. д.
* 0[[Фактарыял|!]] (Нуль [[фактарыял]]) вызначаецца як 1.
* Становішчы 0 і [[360, лік|360]] [[Градус, геаметрыя|градусаў]] супадаюць
* [[Нуль функцыі]]

; Нявызначанасці з удзелам нуля
У [[матэматычны аналіз|матэматычным аналізе]] магчыма 7 [[Раскрыццё нявызначанасцей|нявызначаных сітуацый]], у 4 з якіх фармальна прысутнічае нуль (ён абазначае [[Аналіз бесканечна малых|бесканечна малую велічыню]]):
<center>
{| class="wikitable"
|-align="center"
| width="70"  | <math>\left ( \frac{0}{0} \right )</math>
| width="70"  | <math>(0^0)</math>
| width="70"  | <math>(\infty^0)</math>
| width="70"  | <math>(0\cdot\infty)</math>
|}
</center>
І цалкам вызначаная сітуацыя, калі разглядаецца граніца бесканечна малой велічыні ([[Аднабаковая граніца|справа ці злева]]):
:* Правая граніца: <math>\lim_{x \to 0+0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty</math> &emsp; ці &emsp; <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} 0+0]{} +\infty</math>
:* Левая граніца: <math>\lim_{x \to 0-0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty</math> &emsp; ці &emsp; <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} 0-0]{} -\infty</math>

=== У фізіцы ===
* [[Абсалютны нуль тэмпературы]].

=== У іншых галінах ===
* [[ASCII]] — код кіруючага сімвала <code>NULL</code>.
* [[0 год|Нулявога года]] ў [[юліянскі каляндар|юліянскім]] і [[Грыгарыянскі каляндар|Грыгарыянскім]] календары няма, гэтак жа, як няма нулявога дня ў годзе і нулявога дня ў месяцы. Аднак існуе {{нп4|астранамічнае летазлічэнне||en|Astronomical year numbering}}, у якім [[0 год|нулявы]] год ёсць.
* [[Нулявы кіламетр]].

== Гісторыя ==

=== Старажытны Блізкі Усход ===

{| style="float:right; clear:right; text-align:center; border: 1px solid; margin: 8px" align=right cellspacing=0 cellpadding=8
|-
!нефер<br />&nbsp;
|сэрца з [[трахея]]й<br />прыгожы, прыемны, добры
|<hiero>F35</hiero>
|}

Старажытныя [[Егіпецкая сістэма злічэння|егіпецкія лічбы]] былі [[Дзесятковая сістэма злічэння|дзесятковымі]]<ref>{{Cite web |title=Egyptian numerals |url=http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Egyptian_numerals.html |access-date=21 December 2019 |website=[[mathshistory.st-andrews.ac.uk]] |archive-date=15 November 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191115221313/http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Egyptian_numerals.html |url-status=live }}</ref>. [[Егіпецкія іерогліфы|Іерогліфы]] выкарыстоўваліся ў якасці лічбаў у {{нп5|Непазіцыйная натацыя|непазіцыйнай натацыі|en|Sign-value notation}}. К 1770 г. да н.э. у егіпцян з’явіўся сімвал нуля ў гаспадарчых тэкстах. Сімвал {{нп5|Нефер|нефер|en|Nefer}}, што значыць прыгожы, выкарыстоўвалі яшчэ і для абазначэння базавага ўзроўню на малюнках магільняў і пірамід, ад якога адмяраліся ўсе адлегласці зверху і знізу<ref>{{Cite book |last=Joseph |first=George Gheverghese |url=https://archive.org/details/crestpeacocknone00jose |title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics |publisher=Princeton UP |year=2011 |isbn=978-0-691-13526-7 |edition=Third |page=[https://archive.org/details/crestpeacocknone00jose/page/n116 86] |url-access=registration}}</ref>.

К сярэдзіне [[2 тысячагоддзе да н.э.|2-га тысячагоддзя да н.э.]] {{нп5|Вавілонская матэматыка|вавілонская матэматыка|en|Babylonian mathematics}} мела складаную {{нп5|Шасцідзесятковая сістэма злічэння|шасцідзесятковую|en|Sexagesimal}} сістэму злічэння. Адсутнасць пазіцыйнага значэння пазначалася прабелам паміж шасцідзесятковымі лічбамі. На таблічцы, раскапанай у [[Кіш (Шумер)|Кішы]] (якая датуецца яшчэ 700 г. да н. э.), перапісчык Бел-бан-аплу выкарыстаў тры кручкі замест прабелу ў той жа {{нп5|Вавілонскія лічбы|вавілонскай сістэме|en|Babylonian cuneiform numerals}}<ref name="multiref1">Kaplan, Robert. (2000). ''The Nothing That Is: A Natural History of Zero''. Oxford: Oxford University Press.</ref>. К 300 г. да н.э. знак двух нахіленых кліноў ужываўся ў якасці запаўняльніка<ref>{{Cite web |title=Zero |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero/ |access-date=2021-09-07 |website=Maths History |language=en |archive-date=21 September 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210921191118/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero/ |url-status=live }}</ref><ref>{{Cite web |title=Babylonian mathematics: View as single page |url=https://www.open.edu/openlearn/ocw/mod/oucontent/view.php?printable=1&id=1976 |access-date=2021-09-07 |website=www.open.edu |archive-date=7 September 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210907135356/https://www.open.edu/openlearn/ocw/mod/oucontent/view.php?printable=1&id=1976 |url-status=live }}</ref>.

=== Дакалумбава Амерыка ===

[[File:Cero maya.svg|thumb|Нуль у мая]]

{{нп5|Мезаамерыканскі календар доўгага падліку|Мезаамерыканскі каляндар доўгага падліку|en|Mesoamerican Long Count calendar}}, распрацаваны ў паўднёва-цэнтральнай частцы Мексікі і Цэнтральнай Амерыцы, патрабаваў выкарыстання нуля ў якасці запаўняльніка ў сваёй {{нп5|Дваццатковая сістэма злічэння|дваццатковай|en|Vigesimal}} пазіцыйнай сістэме злічэння. Многія гліфы, у тым ліку частковы {{нп5|Чатырохліснік|чатырохліснік|en|Quatrefoil}}, выкарыстоўваліся ў якасці нулявога сімвала для запісу дат, найраннейшы з якіх (на Стэле 2 у Ч’япа-дэ-Корса, [[Ч’япас]]) датуецца 36 г. да н.э.{{efn|Да 3-га стагоддзя нашай эры не было знойдзена ніводнай даты доўгага падліку з выкарыстаннем лічбы 0, але праз тое, што сістэма доўгага падліку не мела б сэнсу без нейкага запаўняльніка і тое, што мезаамерыканскія гліфы звычайна не пакідалі пустых месцаў, гэтыя больш раннія даты ўважаюцца ўскоснымі доказамі таго, што канцэпцыя нуля ўжо існавала ў той час.}}

Восем найраннейшых дат доўгага падліку з’яўляюцца па-за межамі рассялення мая<ref>Diehl, p. 186</ref>, таму звычайна ўважаецца, што выкарыстанне нуля ў Амерыцы пачалося раней за мая і, магчыма, было вынаходніцтвам альмекаў<ref>{{Cite news |last=Mortaigne |first=Véronique |date=28 November 2014 |title=The golden age of Mayan civilisation – exhibition review |work=[[The Guardian]] |url=https://www.theguardian.com/culture/2014/nov/28/mayan-civilisation-paris-exhibition |url-status=live |access-date=10 October 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141128222215/http://www.theguardian.com/culture/2014/nov/28/mayan-civilisation-paris-exhibition |archive-date=28 November 2014}}</ref>. Многія з ранніх дат доўгага падліку былі знойдзены ў асяродку рассялення [[Альмекі|альмекаў]], хаця іх цывілізацыя знікла ў 4 стагоддзі да н.э., за некалькі стагоддзяў да найраннейшых вядомых дат доўгага падліку.

Нягледзячы на тое, што нуль стаў неад’емнай часткай {{нп5|Лічбы мая|злічэння мая|en|Maya numerals}} з пустой чарапахападобнай «формай панцыра», якая часта выкарыстоўвалася для адлюстравання лічбы «нуль», мяркуецца, што гэта не паўплывала на сістэмы злічэння [[Стары Свет|Старога Свету]].

[[Кіпу]], прылада з шнуроў з вузламі, якая выкарыстоўвалася ў [[Імперыя Інкаў|Імперыі Інкаў]] і папярэдніх грамадствах у рэгіёне [[Анды|Анд]] для запісу бухгалтарскіх і іншых лічбавых даных, адпавядае [[Дзесятковая сістэма злічэння|дзесятковай]] пазіцыйнай сістэме. Нуль прадстаўлены адсутнасцю вузла ў адпаведным становішчы.

=== Класічная антычнасць ===

[[Старажытныя грэкі]] не мелі сімвала для нуля ({{lang-grc|μηδέν}}, вымаўляецца як «мідэн») і не выкарыстоўвалі лічбавы запаўняльнік для яго<ref>{{Cite web |last=Wallin |first=Nils-Bertil |date=19 November 2002 |title=The History of Zero |url=http://yaleglobal.yale.edu/about/zero.jsp |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20160825124525/http://yaleglobal.yale.edu/about/zero.jsp |archive-date=25 August 2016 |access-date=1 September 2016 |website=YaleGlobal online |publisher=The Whitney and Betty Macmillan Center for International and Area Studies at Yale.}}</ref>. Паводле матэматыка {{нп5|Чарлз Сайфэ|Чарлза Сайфэ|en|Charles Seife}}, старажытныя грэкі сапраўды пачалі карыстацца вавілонскім нулём для прац па астраноміі пасля 500 г. да н.э., прадстаўляючы яго малой грэчаскай літарай ό ([[о мікрон]])<ref name="Seife2000">{{cite book | first = Charles | last = Seife | date = 1 September 2000 | title = Zero: The Biography of a Dangerous Idea | publisher = Penguin | pages = 39 | isbn = 978-0-14-029647-1 | oclc = 1005913932 | url = https://books.google.com/books?id=obJ70nxVYFUC | access-date = 30 April 2022 | archive-date = 30 April 2022 | archive-url = https://web.archive.org/web/20220430084920/https://books.google.com/books?id=obJ70nxVYFUC | url-status = live }}</ref>. Тым не менш, пасля выкарыстання вавілонскага нуля для астранамічных разлікаў яны звычайна пераводзілі лічбы назад у [[Грэчаская сістэма злічэння|грэчаскія]]<ref name="Seife2000" />. Грэкі, здавалася, мелі філасофскую апазіцыю да выкарыстання нуля ў якасці ліку<ref name="Seife2000" />. Іншыя навукоўцы прысвойваюць грэчаскаму частковаму прыняццю вавілонскага нуля пазнейшую дату, так навуковец Андрэас Нідэр датуе гэта пасля 400 г. да н.э., а матэматык Роберт Каплан называе перыяд пасля {{нп5|Войны Аляксандра Македонскага|заваёў Аляксандра Македонскага|en|Wars of Alexander the Great}}<ref name="Nieder2019">{{cite book | first = Andreas | last = Nieder | date = 19 November 2019 | title = A Brain for Numbers: The Biology of the Number Instinct | publisher = MIT Press | pages = 286 | isbn = 978-0-262-35432-5 | url = https://books.google.com/books?id=x4y5DwAAQBAJ&pg=PA286 | access-date = 30 April 2022 | archive-date = 30 April 2022 | archive-url = https://web.archive.org/web/20220430093316/https://books.google.com/books?id=x4y5DwAAQBAJ&pg=PA286 | url-status = live }}</ref><ref name="Kaplan1999">{{cite book | first = Robert | last = Kaplan | date = 28 October 1999 | title = The Nothing that Is: A Natural History of Zero | publisher = Oxford University Press | pages = 17 | isbn = 978-0-19-802945-8 | oclc = 466431211 | url = https://books.google.com/books?id=Bn0EBVsfi1YC | access-date = 30 April 2022 | archive-date = 24 June 2014 | archive-url = https://web.archive.org/web/20140624063502/http://books.google.com/books?id=Bn0EBVsfi1YC | url-status = live }}</ref>
.

Грэкі, здаецца, не былі ўпэўненыя ў статусе нуля як ліку. Некаторыя з іх задаваліся пытаннем: «Як небыццё можа быць?», што прывяло да філасофскіх, а ў перыяд [[сярэднявечча]] і рэлігійных аргументаў аб прыродзе і існаванні нуля і [[вакуум]]у. {{нп5|Апорыі Зянона|Апорыі|en|Zeno's paradoxes}} [[Зянон Элейскі|Зянона Элейскага]] шмат у чым грунтуюцца на няпэўнай інтэрпрэтацыі нуля<ref>{{cite encyclopedia |last=Huggett |first=Nick |title=Zeno's Paradoxes |date=2019 |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2019/entries/paradox-zeno/ |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |edition=Winter 2019 |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |access-date=2020-08-09 |archive-date=10 January 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210110135804/https://plato.stanford.edu/archives/win2019/entries/paradox-zeno/ |url-status=live }}</ref>.

[[File:P. Lund, Inv. 35a.jpg|thumb|right|300px|alt=Фрагмент папірусу з выразным грэчаскім пісьмом, у правым ніжнім куце намаляваны малюсенькі нуль з двухканцовай стрэлкай над ім|Прыклад ранняга грэчаскага сімвала нуля (правы ніжні кут) з папіруса 2-га стагоддзя]]

К 150 г. нашай эры [[Пталемей]] пад уплывам [[Гіпарх]]а і [[Вавілонія|вавілонян]] выкарыстоўваў сімвал нуля <math>\overline{\circ}</math><ref>{{Cite book |last=Neugebauer |first=Otto |url=https://archive.org/details/exactsciencesant00neug |title=The Exact Sciences in Antiquity |journal=Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium |publisher=[[Dover Publications]] |year=1969 |isbn=978-0-486-22332-2 |edition=2 |volume=9 |pages=[https://archive.org/details/exactsciencesant00neug/page/n30 13]–14, plate 2 |pmid=14884919 |author-link=Otto E. Neugebauer |orig-year=1957 |url-access=registration}}</ref><ref name="Mercier">{{cite web |last=Mercier |first=Raymond |title=Consideration of the Greek symbol 'zero' |url=http://www.raymondm.co.uk/prog/GreekZeroSign.pdf |work=Home of Kairos |access-date=28 March 2020 |archive-date=5 November 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201105113109/http://www.raymondm.co.uk/prog/GreekZeroSign.pdf |url-status=live }}</ref> у сваёй працы па [[Тэарэтычная астраномія|тэарэтычнай астраноміі]] пад назвай Syntaxis Mathematica, таксама вядомай як {{нп5|Альмагест|Альмагест|en|Almagest}}<ref name="Ptolemy">{{cite book |last=Ptolemy |title=Ptolemy's Almagest |pages=306–307 |year=1998 |orig-year=1984,  каля 150 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=0-691-00260-6 |author-link=Ptolemy |translator-last=Toomer |translator-first=G. J. |translator-link=Gerald J. Toomer}}</ref>. Гэты эліністычны нуль быў, мабыць, самым раннім дакументальна пацверджаным выкарыстаннем лічбы, якая прадстаўляе нуль, у Старым Свеце<ref>{{cite web |last1=O'Connor |first1=J J |title=A history of Zero |url=http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html |publisher=MacTutor History of Mathematics |last2=Robertson |first2=E F |access-date=28 March 2020 |archive-date=7 April 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200407074239/http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html |url-status=live }}</ref>. Пталамей шмат разоў выкарыстоўваў яго ў сваім Альмагесце (VI.8) для апісання [[Сонечнае зацьменне|сонечных]] і [[Месячнае зацьменне|месячных зацьменняў]].

Самае ранняе выкарыстанне нуля пры {{нп5|Пасхалія|вылічэнні даты юліянскага Вялікадня|en|Date of Easter}} адбылося да 311 года н.э., у першым запісе ў табліцы {{нп5|Эпакта|эпактаў|en|Epact}}, захаванай у [[Эфіопія|эфіопскім]] дакуменце за 311—369 гады, з выкарыстаннем {{нп5|Геэз|геэзскага|en|Geʽez}} слова для «нішто» разам з геэзскімі лічбамі (на аснове грэчаскіх лічбаў). Табліца была перакладзена з эквівалентнай табліцы, апублікаванай {{нп5|Александрыйская царква|Александрыйскай царквой|en|Church of Alexandria}} на {{нп5|Сярэднягрэчаская мова|сярэднягрэчаскай мове|en|Medieval Greek}}<ref name="Neugebauer">{{cite book |last=Neugebauer |first=Otto |title=Ethiopic Astronomy and Computus |pages=25, 53, 93, 183, Plate I |year=2016 |orig-year=1979 |edition=Red Sea Press |publisher=Red Sea Press |isbn=978-1-56902-440-9 |author-link=Otto Neugebauer}}. The pages in this edition have numbers six less than the same pages in the original edition.</ref>. Тое ж фіксуецца ў 525 годзе ў эквівалентнай табліцы, пры перакладзе якой на лацінскую [[Дыянісій Малы]] ўжываў слова nulla ў адным шэрагу з [[Рымская сістэма злічэння|рымскімі лічбамі]]<ref name="Dionysius">{{cite web |last=Deckers |first=Michael |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen Year Cycle of Dionysius |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |year=2003 |orig-year=525 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |archive-date=15 January 2019}}</ref>. Калі дзяленне давала нуль у якасці рэшты, выкарыстоўваўся nihil, што азначае «нічога». Гэтыя сярэднявечныя нулі выкарыстоўвалі ўсе наступныя сярэднявечныя вылічальнікі Вялікадня. Ініцыял «N» выкарыстоўваў у якасці нулявога сімвала ў табліцы рымскіх лічбаў [[Беда Вялебны]] або яго калегі каля 725 г. н.э.<ref name="zero">C. W. Jones, ed., ''Opera Didascalica'', vol. 123C in ''Corpus Christianorum, Series Latina''.</ref>

=== Кітай ===

[[File:Zero in Rod Calculus.png|thumb|right|alt=Пяць клетак злева направа ўтрымліваюць Т-падобную форму, пустую клетку, тры вертыкальныя палоскі, тры ніжнія гарызантальныя палоскі з перавернутай шырокай Т-формай уверсе і яшчэ адну пустую клетку. Лічбы злева направа ніжэй — шэсць, нуль, тры, дзевяць і нуль|Адлюстраванне нуля з дапамогай кітайскіх {{нп5|Лічыльныя палачкі|лічыльных палачак|en|Counting rods}} на прыкладзе з «Гісторыі матэматыкі». Пустая клетка выкарыстоўваецца для прадстаўлення нуля<ref name="Hodgkin" />.]]

{{нп5|Матэматычны дапаможнік Суньцзы|Матэматычны дапаможнік Суньцзы|en|Sunzi Suanjing}}, датаваны, паводле ацэнак, з 1-е па 5-е стагоддзямі нашай эры, і японскія запісы, датаваныя 18-м стагоддзем, апісваюць, як кітайская сістэма {{нп5|Лічыльныя палачкі|лічыльных палачак|en|Counting rods}} у 4-м стагоддзі да н.э. дазваляла выконваць дзесятковыя вылічэнні. Як адзначаецца ў {{нп5|Матэматычны дапаможнік Сяхоу Яна|матэматычным дапаможніку Сяхоу Яна|en|Xiahou Yang Suanjing}} (425—468 гг. н. э.), каб памножыць або падзяліць лік на 10, 100, 1000 ці 10000, усё, што трэба зрабіць, трымаючы палачкі на дошцы для падліку, гэта перасунуць іх наперад, або назад, на адну, дзве, тры або чатыры клеткі<ref>{{Cite web |last=O'Connor |first=J.J. |date=Jan 2004 |title=Chinese numerals |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Chinese_numerals/ |access-date=14 June 2020 |website=Mac Tutor |publisher=School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland |archive-date=14 June 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200614115729/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Chinese_numerals/ |url-status=live }}</ref>, Згодна з «Гісторыяй матэматыкі», палачкі «давалі дзесятковае прадстаўленне ліку, дзе пустая клетка абазначала нуль»<ref name="Hodgkin">{{Cite book |last=Hodgkin |first=Luke |url=https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg |title=A History of Mathematics : From Mesopotamia to Modernity: From Mesopotamia to Modernity |date=2005 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-152383-0 |page=[https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg/page/85 85] |url-access=registration}}</ref>. Сістэма лічыльных палачак лічыцца {{нп5|Пазіцыйная натацыя|пазіцыйнай сістэмай запісу|en|Positional notation}}<ref>Crossley, Lun. 1999, p. 12 «the ancient Chinese system is a place notation system»</ref>.

У 690 г. н. э. імператрыца [[У Цзэцянь]] абнародавала {{нп5|Іерогліфы імператрыцы У|іерогліфы|en|Chinese characters of Empress Wu}}, адным з якіх быў «〇» (сін); першапачаткова іерогліф абазначаў зорку, а пазней стаў выкарыстоўвацца для запісу нуля.

Нуль у той час разглядаўся не як лік, а як «пустая пазіцыя»<ref name="Crossley">{{Cite book |last1=Kang-Shen Shen |url=https://books.google.com/books?id=eiTJHRGTG6YC3 |title=The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary |last2=John N. Crossley |last3=Anthony W.C. Lun |last4=Hui Liu |publisher=Oxford UP |year=1999 |isbn=978-0-19-853936-0 |page=35 |quote=zero was regarded as a number in India ... whereas the Chinese employed a vacant position}}</ref>. {{нп5|Матэматычны трактат у дзевяці раздзелах|Матэматычны трактат у дзевяці раздзелах|en|Mathematical Treatise in Nine Sections}} [[Цынь Цзюшаа]] 1247 года з’яўляецца найстарэйшым захаваным кітайскім матэматычным тэкстам, які выкарыстоўвае круглы сімвал для нуля<ref name="Qin">{{Cite web |title=Mathematics in the Near and Far East |url=http://grmath4.phpnet.us/istoria/the_history_of%20math_greece/the_history_of%20math_greece_3-5.pdf |website=grmath4.phpnet.us |page=262 |access-date=7 June 2012 |archive-date=10 August 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131104120005/http://grmath4.phpnet.us/istoria/the_history_of%20math_greece/the_history_of%20math_greece_3-5.pdf |url-status=live }}</ref>. Кітайскія аўтары былі знаёмыя з ідэяй адмоўных лікаў у часы [[Імперыя Хань|дынастыі Хань]] (2 стагоддзе нашай эры), як відаць у {{нп5|Дзевяць раздзелаў матэматычнага мастацтва|Дзевяці раздзелах матэматычнага мастацтва|en|The Nine Chapters on the Mathematical Art}}<ref name="struik33">Struik, Dirk J. (1987). ''A Concise History of Mathematics''. New York: Dover Publications. pp. 32-33. «''In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history.''»</ref>.

=== Індыя ===

{{нп5|Пінгала|Пінгала|en|Pingala}} (прыблізна 3-е/2-е стагоддзі да н.э.<ref name=plofker>{{Cite book |last=Plofker |first=Kim |title=Mathematics in India |title-link=Mathematics in India (book) |publisher=Princeton University Press |year=2009 |isbn=978-0-691-12067-6 |pages=[https://books.google.com/books?id=DHvThPNp9yMC&pg=PA54 54–56] |author-link=Kim Plofker}}</ref>), даследуючы [[Метр (вершаскладанне)|метр]] санскрыцкіх вершаў<ref>{{Cite book |last=Vaman Shivaram Apte |url=https://books.google.com/books?id=4ArxvCxV1l4C&pg=PA648 |title=Sanskrit Prosody and Important Literary and Geographical Names in the Ancient History of India |publisher=Motilal Banarsidass |year=1970 |isbn=978-81-208-0045-8 |pages=648–649 |access-date=21 April 2017 |archive-date=22 April 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170422124355/https://books.google.com/books?id=4ArxvCxV1l4C&pg=PA648 |url-status=live }}</ref>, выкарыстоўваў [[Двайковая сістэма злічэння|двайковыя лікі]] ў выглядзе кароткіх і доўгіх складоў (апошнія роўныя па даўжыні двум кароткім складам) — запіс, падобны да [[Азбука Морзэ|азбукі Морзэ]]<ref>{{Cite web |title=Math for Poets and Drummers |url=http://people.sju.edu/~rhall/Rhythms/Poets/arcadia.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20190122014628/http://people.sju.edu/~rhall/Rhythms/Poets/arcadia.pdf |archive-date=22 January 2019 |access-date=20 December 2015 |website=people.sju.edu}}</ref>. Пінгала яўна выкарыстоўваў [[Санскрыт|санскрыцкае]] слова {{нп5|Шуньята|шунья|en|Śūnyatā}} для абазначэння нуля<ref name=plofker/>.

Канцэпцыя нуля як пісьмовай лічбы ў дзесятковай пазіцыйнай натацыі была распрацавана ў Індыі<ref name="bourbaki46">Bourbaki, Nicolas ''Elements of the History of Mathematics'' (1998), p. 46</ref>. Сімвал нуля, вялікая кропка, якая, верагодна, з’яўляецца папярэднікам распаўсюджанага цяпер пустога сімвала, выкарыстоўваецца ў {{нп5|Рукапіс Бахшалі|рукапісе Бахшалі|en|Bakhshali manuscript}}, практычным дапаможніку па арыфметыцы для гандляроў<ref name="Weiss">{{Cite news |last=Weiss |first=Ittay |date=20 September 2017 |title=Nothing matters: How India's invention of zero helped create modern mathematics |work=The Conversation |url=https://theconversation.com/nothing-matters-how-the-invention-of-zero-helped-create-modern-mathematics-84232 |access-date=12 July 2018 |archive-date=12 July 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180712124031/https://theconversation.com/nothing-matters-how-the-invention-of-zero-helped-create-modern-mathematics-84232 |url-status=live }}</ref>. У 2017 годзе [[радыевугляроднае датаванне]] паказала, што тры ўзоры з рукапісу паходзяць з трох розных стагоддзяў: з 224—383, 680—779 і 885—993 гг. н.э. Невядома, якім чынам фрагменты [[Бяроста|берасцянай]] кары розных стагоддзяў, якія складалі рукапіс, былі ўкладзеныя разам<ref>{{Cite news |last=Devlin |first=Hannah |date=13 September 2017 |title=Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol |work=The Guardian |url=https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol |access-date=14 September 2017 |issn=0261-3077 |archive-date=20 November 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171120225416/https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol |url-status=live }}</ref><ref>{{Cite news |last=Revell |first=Timothy |date=14 September 2017 |title=History of zero pushed back 500 years by ancient Indian text |work=New Scientist |url=https://www.newscientist.com/article/2147450-history-of-zero-pushed-back-500-years-by-ancient-indian-text |access-date=25 October 2017 |archive-date=25 October 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171025185119/https://www.newscientist.com/article/2147450-history-of-zero-pushed-back-500-years-by-ancient-indian-text |url-status=live }}</ref><ref>{{Cite news |date=14 September 2017 |title=Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero' |work=Bodleian Library |url=http://www.bodleian.ox.ac.uk/bodley/news/2017/sep-14 |access-date=25 October 2017 |archive-date=14 September 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170914215604/http://www.bodleian.ox.ac.uk/bodley/news/2017/sep-14 |url-status=live }}</ref>.

{{нп5|Локавібхага|Локавібхага|en|Lokavibhaga}}, [[Джайнізм|джайнісцкі]] тэкст па [[Касмалогія|касмалогіі]] 458 г. н.э. (эра Сака 380), што захаваўся ў сярэднявечным санскрыцкім перакладзе з [[пракрыт]]у, выкарыстоўвае дзесятковую {{нп5|Пазіцыйная натацыя|пазіцыйную|en|Positional notation}} сістэму з нулём. У гэтым тэксце шунья («пусты») таксама выкарыстоўваецца для абазначэння нуля<ref>Ifrah, Georges (2000), p. 416.</ref>.

{{нп5|Ар’ябхатыя|Ар’ябхатыя|en|Aryabhatiya}} (каля 500 г.) сцвярджае, што «ад месца да месца кожнае ў дзесяць разоў перавышае папярэдняе»<ref name="Aryab">''Aryabhatiya of Aryabhata'', translated by [[Walter Eugene Clark]].</ref><ref>{{Cite web |last=O'Connor, Robertson |first=J.J., E.F. |title=Aryabhata the Elder |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aryabhata_I.html |access-date=26 May 2013 |publisher=School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland |archive-date=11 July 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150711055702/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aryabhata_I.html |url-status=live }}</ref><ref>{{Cite book |url=https://books.google.com/books?id=cuN7rH6RzikC&pg=PA97 |title=The Britannica Guide to Numbers and Measurement (Math Explained) |date=15 August 2010 |publisher=The Rosen Publishing Group |isbn=978-1-61530-108-9 |editor-last=William L. Hosch |pages=97–98 |access-date=26 September 2016 |archive-date=4 August 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160804025243/https://books.google.com/books?id=cuN7rH6RzikC&pg=PA97 |url-status=live }}</ref>.

Правілы, якія рэгулююць выкарыстанне нуля, з’явіліся ў {{нп5|Брахмаспутасідханта|Брахмаспутасідханце|en|Brāhmasphuṭasiddhānta}} [[Брахмагупта|Брахмагупты]] (7-е стагоддзе), дзе гаворыцца, што сума нуля з самім сабой роўная нулю, і згадваецца дзяленне нуля і {{нп5|Дзяленне на нуль|на нуль|en|Division by zero}}<ref name="brahmagupta">[https://archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft ''Algebra with Arithmetic of Brahmagupta and Bhaskara''], translated to English by Henry Thomas Colebrooke (1817) London</ref><ref name="Kaplan">{{Cite book |last=Kaplan |first=Robert |url=https://archive.org/details/nothingthatisnat00kapl |title=The Nothing That Is: A Natural History of Zero |publisher=Oxford University Press |year=1999 |isbn=978-0-19-514237-2 |location=New York |pages=[https://archive.org/details/nothingthatisnat00kapl/page/68 68–75] |url-access=registration}}</ref>:

{{цытата|аўтар=[[Брахмагупта]]|Дадатны або адмоўны лік пры дзяленні на нуль утварае дроб з нулём у якасці назоўніка. Нуль, падзелены на адмоўны або дадатны лік, альбо роўны нулю, альбо выражаецца ў выглядзе дробу з нулём у якасці лічніка і канечнай велічыні ў якасці назоўніка. Нуль, падзелены на нуль, — гэта нуль.}}

Першае вядомае выкарыстанне [[гліф]]а нуль у сучасным выглядзе маленькага круга, знойдзена на каменным надпісе ў храме {{нп5|Храм Чатурбхудж, Гваліёр|Чатурбхудж|en|Chaturbhuj Temple, Gwalior}}, [[Гваліёр]], у Індыі, датаваным 876 г.<ref>{{Cite web |last=Casselman |first=Bill |author-link=Bill Casselman (mathematician) |title=All for Nought |url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-india-zero |website=ams.org |publisher=University of British Columbia), American Mathematical Society |access-date=20 December 2015 |archive-date=6 December 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151206184352/http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-india-zero |url-status=live }}</ref><ref>Ifrah, Georges (2000), p.&nbsp;400.</ref>

=== Сярэднявечча ===

==== З'яўленне ў ісламскім свеце ====

[[Арабская мова|Арабскамоўная]] навука збольшага грунтавалася на [[Старажытная Грэцыя|грэчаскай]]<ref>{{Cite book |last=Pannekoek |first=A. |title=A History of Astronomy |publisher=George Allen & Unwin |year=1961 |page=165}}</ref> з індускімі ўплывамі<ref name="Durant">Will Durant (1950), ''The Story of Civilization'', Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300, Simon & Schuster, {{ISBN|978-0-9650007-5-8}}, p. 241, "The Arabic inheritance of science was overwhelmingly Greek, but Hindu influences ranked next. In 773, at Mansur's behest, translations were made of the ''Siddhantas'' – Indian astronomical treatises dating as far back as 425 BC; these versions may have the vehicle through which the "Arabic" numerals and the zero were brought from India into Islam. In 813, al-Khwarizmi used the Hindu numerals in his astronomical tables."</ref>. У 773 годзе на загад {{нп5|Аль-Мансур|Аль-Мансура|en|al-Mansur}} былі зробленыя пераклады многіх старажытных трактатаў, у тым ліку грэчаскіх, рымскіх, індыйскіх і іншых.

У 813 г. н.э. [[Персія|персідскі]] матэматык [[Мухамад Аль-Харэзмі]] падрыхтаваў астранамічныя табліцы, у якіх карыстаўся індыйскімі лікамі<ref name="Durant" />. Каля 825 г. ён апублікаваў кнігу ў якой сумяшчалася грэцкая і індуская навука, а таксама яго ўласны ўнёсак у матэматыку, у тым ліку тлумачэнне выкарыстання нуля<ref>{{Cite book |last=Brezina |first=Corona |url=https://books.google.com/books?id=955jPgAACAAJ |title=Al-Khwarizmi: The Inventor of Algebra |publisher=The Rosen Publishing Group |year=2006 |isbn=978-1-4042-0513-0 |access-date=26 September 2016 |archive-date=29 February 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200229035314/https://books.google.com/books?id=955jPgAACAAJ |url-status=live }}</ref>. Гэтая кніга была перакладзена на [[Лацінская мова|лаціну]] ў XII ст. пад назвай ''Algoritmi de numero Indorum'' (Аль-Харэзмі пра лікі індыйцаў). Слова "Algoritmi" было перакладчыцкай лацінізацыяй імя Аль-Харэзмі, і з тых пор пачало набываць значэнне якой-кольвек арыфметычнай працэдуры<ref name="Durant" />.

У 976 годзе Мухамад аль-Харэзмі сцвярджаў, што калі ў падліках на месцы дзясяткаў не з'яўляецца лік, трэба выкарыстоўваць маленькі кружок, «каб захаваць радкі». Гэты кружок называўся ṣifr<ref>Will Durant (1950), ''The Story of Civilization'', Volume 4, The Age of Faith, Simon & Schuster, {{ISBN|978-0-9650007-5-8}}, p. 241, "In 976, Muhammad ibn Ahmad, in his ''Keys of the Sciences'', remarked that if, in a calculation, no number appears in the place of tens, a little circle should be used "to keep the rows". This circle the Mosloems called ''ṣifr'', "empty" whence our cipher."</ref>.

==== З'яўленне ў Еўропе ====

Дзесятковая {{нп5|Інда-арабская сістэма злічэння|інда-арабская сістэма злічэння|en|Hindu–Arabic numeral system}} патрапіла ў Заходнюю Еўропу ў XI ст. праз [[Аль-Андалус]] ад іспанскіх [[Мусульмане|мусульман]], [[Маўры|маўраў]], разам з класічнай [[астраномія]]й і такімі інструментамі як [[астралябія]]. Вяртанне забытай навукі ў каталіцкую Еўропу прыпісваецца [[Сільвестр II|Герберту Арыльякскаму]]. З гэтай прычыны лічбы сталі вядомыя ў Еўропе як "арабскія лічбы". Італьянскі матэматык [[Фібаначы]], або Леанарда Пізанскі, адыграў важную ролю ў распаўсюдзе сістэмы лікаў у Еўрапейскай матэматыцы, напісаўшы ў 1202 г.:

<blockquote>Пасля прызначэння майго бацькі на радзіме дзяржаўным чыноўнікам на мытні Буджа для пізанскіх гандляроў, якія тоўпіліся ля яе, ён узяў на сябе кіраўніцтва; і для карысці і зручнасці, перавёз мяне малога да сябе і хацеў, каб я прысвяціў сябе і быў навучаны лічэнню некаторы час. Там, пасля майго знаёмства, як следства цудоўнага навучання майстэрству, з дзевяццю лічбамі індусаў, гэтае майстэрства вельмі спадабалася мне перад усімі іншымі, і я зразумеў, што ўсе яго аспекты вывучаліся ў Егіпце, Сірыі, Грэцыі, Сіцыліі і Правансе з іх рознымі метадамі. Я працягваў паглыбленае вывучэнне і навучыўся кампрамісам у спрэчках. Але нават усё гэта, і алгарызм, як і майстэрства Піфагора, я лічыў ледзь не памылкай у параўнанні з метадам [[Індуізм|індусаў]] (Modus Indorum). Дзеля таго я больш строга прытрымліваўся гэтага індускага метаду і больш рупліва стараўся яго вывучаць, адначасова дадаючы некаторыя рэчы з майго ўласнага разумення і ўстаўляючы таксама некаторыя рэчы з тонкасцей геаметрычнага майстэрства Эўкліда. Я імкнуўся скласці гэтую кнігу як мага больш зразумелай, падзяліўшы яе на пятнаццаць раздзелаў. Амаль усё, што я прадставіў, я паказаў з дакладнымі доказамі, каб тыя, хто далей паглыбляецца ў гэтую навуку з яе найвыдатнейшым метадам, маглі атрымаць інструкцыі, а таксама каб лацінскі народ не быў пазбаўлены яе, як да гэтага часу. Калі я выпадкова прапусціў што-небудзь больш-менш належнае або неабходнае, прашу паблажлівасці, бо няма нікога, хто быў бы беззаганным і цалкам прадбачлівым ва ўсім. Дзевяць індыйскіх лічбаў: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. З дапамогай гэтых дзевяці лічбаў і са знакам 0 ... можа быць запісаны любы лік<ref>Sigler, L., ''Fibonacci's Liber Abaci''. English translation, Springer, 2003.</ref><ref>Grimm, R.E., "The Autobiography of Leonardo Pisano", ''[[Fibonacci Quarterly]]'' 11/1 (February 1973), pp. 99–104.</ref><ref>{{Cite book |last=Hansen |first=Alice |url=https://books.google.com/books?id=COJsbuUI1h8C&q=%22Therefore%2C+embracing+more+stringently+that+method+of+the+Hindus%2C+and+taking+stricter+pains+in+its+study%2C+while+adding+certain+things+from+my+own+understanding+and+inserting+also+certain+things+from+the+niceties+of+Euclid%27s+geometric+art.%22&pg=PT31 |title=Primary Mathematics: Extending Knowledge in Practice |date=2008-06-09 |publisher=SAGE |isbn=978-0-85725-233-3 |language=en |access-date=7 November 2020 |archive-date=7 March 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210307234959/https://books.google.com/books?id=COJsbuUI1h8C&q=%22Therefore%2C+embracing+more+stringently+that+method+of+the+Hindus%2C+and+taking+stricter+pains+in+its+study%2C+while+adding+certain+things+from+my+own+understanding+and+inserting+also+certain+things+from+the+niceties+of+Euclid%27s+geometric+art.%22&pg=PT31 |url-status=live }}</ref>.</blockquote>

Тут Леанарда Пізанскі піша "знак 0" маючы на ўвазе што ён падобны да знакаў арыфметычных дзеянняў, такіх як складанне і множанне. З XIII ст. у Еўропе становяцца папулярнымі падручнікі па лічэнні (складанне, множанне, караняванне і інш.), якія называліся {{нп5|Алгарызм|алгарызмамі|en|Algorism}} паводле персідскага матэматыка [[Мухамад Аль-Харэзмі|Аль-Харэзмі]]. Найвядомейшы падручнік быў напісаны {{нп5|Іаган дэ Сакрабоска|Іаганам дэ Сакрабоска|en|Johannes de Sacrobosco}} каля 1235 г. і ў 1488 г. стаў адной з першых надрукаваных навуковых кніг. Да канца XV-га стагоддзя сярод матэматыкаў, падобна, пераважалі інда-арабскія лічбы, у той час як гандляры аддавалі перавагу [[Рымская сістэма злічэння|рымскім]]. У XVI стагоддзі арабскія лічбы сталі шырока ўжывацца ў Еўропе.

У Еўропе доўгі час нуль лічыўся ўмоўным знакам і не прызнаваўся лікам. Нават у XVII стагоддзі [[Джон Валіс|Валіс]] пісаў: «Нуль не ёсць лік». У арыфметычных працах адмоўны лік тлумачыўся як доўг, а нуль — як сітуацыя поўнага спусташэння. Поўнаму ўраўнаванню яго ў правах з іншымі лікамі асабліва спрыялі працы [[Леанард Эйлер|Леанарда Эйлера]].

== Гл. таксама ==
* [[Адмоўны і дадатны нуль|-0 і +0]] — фіктыўныя паняцці ў [[Матэматычны аналіз|матэматычным аналізе]].
* [[Машынны нуль]]
* [[Нуль, лічба|Лічба 0]]
* [[Адмоўны лік]]
* [[Дзельнік нуля]]
* [[1 (лік)|Лік 1]] — [[Нейтральны элемент|мультыплікатыўная адзінка]]

== Заўвагі ==
{{notelist}}

== Зноскі ==
{{reflist}}

== Спасылкі ==
* [http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-38973/ История нуля]
* [http://www.vremia.ua/rubrics/khronograf/2902.php Почему нельзя делить на ноль?] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20150402191234/http://www.vremia.ua/rubrics/khronograf/2902.php |date=2 красавіка 2015 }}
* [http://www.ytime.com.ua/ru/24/347/0 Символика чисел (нуль)] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20150402102121/http://www.ytime.com.ua/ru/24/347/0 |date=2 красавіка 2015 }} /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
* [http://library.mephi.ru/data/scientific-sessions/2003/6/046.html О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто»] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20160304103634/http://library.mephi.ru/data/scientific-sessions/2003/6/046.html |date=4 сакавіка 2016 }} Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
* [http://bikubik.com/ru/?c=000000 Свойства числа ноль] {{ref-ru}}
{{Вонкавыя спасылкі}}
{{Лікі}}

[[Катэгорыя:Лікі з уласнымі імёнамі]]
[[Катэгорыя:Цэлыя лікі|*0]]