Тэарэма Менелая: Розніца паміж версіямі
[недагледжаная версія] | [недагледжаная версія] |
Luckas-bot (размовы | уклад) др робат Дадаем: ca:Teorema de Menelau |
Няма тлумачэння праўкі |
||
Радок 1: | Радок 1: | ||
'''Тэарэма Менелая''' - гэта класычная тэарэма [[афінная геаметрыя|афіннай геаметрыі]]. |
'''Тэарэма Менелая''' - гэта класычная тэарэма [[афінная геаметрыя|афіннай геаметрыі]]. |
||
[[Выява:Teorema_menelaya.gif|right]] |
[[Выява:Teorema_menelaya.gif|right]] |
||
Калі пункты <math>A',B'</math> і <math>C'</math> ляжаць адпаведна на прамых <math>BC,CA</math> і <math>AB</math> трохкутніка <math>\triangle ABC</math>, то яны [[калінэарныя пункты|калінэарныя]], тады і |
Калі пункты <math>A',B'</math> і <math>C'</math> ляжаць адпаведна на прамых <math>BC,CA</math> і <math>AB</math> трохкутніка <math>\triangle ABC</math>, то яны [[калінэарныя пункты|калінэарныя]], тады і толькі тады калі |
||
:<math>\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.</math> |
:<math>\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.</math> |
||
Версія ад 16:23, 15 снежня 2009
Тэарэма Менелая - гэта класычная тэарэма афіннай геаметрыі.
Калі пункты і ляжаць адпаведна на прамых і трохкутніка , то яны калінэарныя, тады і толькі тады калі
Тут , і азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:
Гісторыя
Падобны вынік у сферычнай геаметрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Менелая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналагічны вынік на плоскасці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Мэнэлая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.
Доказ
Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэньня гэтай прамой з прамой A'C' . Трохкутнікі і падобныя (па двум вуглам), таму
і, значыць -
- .
З другога боку, падобнымі з'яўляюцца таксама і трохкутнікі і , таму
і, такім чынам -
- .
Але ў такім выпадку
або
- .
Магчымыя два размяшчэнні пунктаў і , альбо два з іх ляжаць на адпаведных баках трохкутніка і адзін на падаўжэнні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэннях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем