Няроўнасць

Няроўнасць

Няро́ўнасць — суадносіна між дзвюма аб'ектамі (лікамі, велічынямі, выразамі), у якім адзін з аб'ектаў большы (не большы) за іншы.

Адрозніваюць строгую і нястрогую няроўнасць. Нястрогая няроўнасць, у адрозненне ад строгай, дапушчае магчымасць роўнасці выразаў.

Няроўнасць абазначацца наступнымі знакамі:

• строгая няроўнасць
  • «>» (больш): «a > b» азначае «a больш за b»

$~a>b\ \Leftrightarrow \ a\geq b\ \land \ a\neq b$

• • «<» (менш): «a < b» азначае «a менш за b»

$~a<b\ \Leftrightarrow \ a\leq b\ \land \ a\neq b$

• нястрогая няроўнасць
  • «≥» (больш або роўна): «a ≥ b» азначае «a больш або роўна да b» або «a не менш за b»

$~a\geq b\ \Leftrightarrow \ a>b\ \lor \ a=b$

• • «≤» (менш або роўна): «a ≤ b» азначае «a менш або роўна да b» або «a не больш за b».

$~a\leq b\ \Leftrightarrow \ a<b\ \lor \ a=b$

Для любых двух аб'ектаў a і b мае месца адна, і толькі адна з суадносін:

• a > b
• a = b
• a < b

Няроўнасць з'яўляецца адносінай парадку, гэта значыць, яна з'яўляецца транзітыўнай, антысіметрычнай і рэфлексіўнай (для нястрогай) або антырэфлексіўнай (для строгай няроўнасці).

Лікавая няроўнасць

Напрыклад, трэба параўнаць лікі ${\frac {4}{5}}i{\frac {3}{4}}$. Для гэтага знойдзем іх рознасць:

${\frac {4}{5}}-{\frac {3}{4}}={\frac {16-15}{20}}={\frac {1}{20}}$

.

Значыць, ${\frac {4}{5}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{20}}$., г. зн. ${\frac {4}{5}}$ атрымліваецца прыбаўленнем да ліку ${\frac {3}{4}}$ дадатнага ліку ${\frac {1}{20}}$. Гэта адзначае, што лік ${\frac {4}{5}}$ большы за ${\frac {3}{4}}$ на ${\frac {1}{20}}$. Такім чынам, ${\frac {4}{5}}>{\frac {3}{4}}$, паколькі іх рознасць дадатная.

Складанне лікавых няроўнасцей

Пры складанні няроўнасцей аднолькавага знака атрымліваецца няроўнасць таго ж знака:
калі $~a>c$ i $~c>d$, то $~a+c>b+d$.

Множанне лікавых няроўнасцей

Пры множанні няроўнасцей аднолькавага знака, у якіх левыя і правыя часткі дадатныя, атрымліваецца няроўнасць таго ж знака:
калі $~a>c$, $~c>d$ і $~a,b,c,d$ - дадатныя лікі, то $~ac>bd$.

Уласцівасці

• Калі $~a>b$ i $~b>c$, то $~a>c$.

• Калі да абедзвюх частак няроўнасцей дадаюць адзін і той жа лік, то знак няроўнасці не зменіцца.

• Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на адзін і той жа дадатны лік, то знак няроўнасці не зменіцца.

Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на адзін і той жа адмоўны лік, то знак няроўнасці зменіцца на процілеглы.

Гл. таксама

• Лікавая няроўнасць